人教版（2024）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十四章全等三角形14.3角的平分線（第1課時(shí)

角平分線的性質(zhì)）目錄0203050604

典型例題（含課本例題）

知識(shí)點(diǎn)講解

情景導(dǎo)入

課堂小結(jié)與布置作業(yè)

課堂練習(xí)（分層練習(xí)）01學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線，知道作圖的理論依據(jù).（重點(diǎn)）2.探索并證明角的平分線的性質(zhì)，能夠利用該性質(zhì)解決幾何問題；（難點(diǎn)）3.熟練掌握證明幾何命題的一般步驟.新課導(dǎo)入

前面我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，知道可以通過證明三角形全等，來證明線段相等或角相等.本節(jié)利用這個(gè)方法研究角的平分線，研究角的平分線上的點(diǎn)具有什么特性，以及滿足什么條件的點(diǎn)在角的平分線上.

角的平分線上的點(diǎn)的特性是由其與角的兩邊的關(guān)系體現(xiàn)的.我們先來看角的平分線上的點(diǎn)與角兩邊上的點(diǎn)所連線段的數(shù)量關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)講解

如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的任意一點(diǎn)，M，N分別是OA，OB上的點(diǎn)，我們研究PM與PN的關(guān)系.CABOMNP研究幾何圖形的關(guān)系時(shí)，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.圖中當(dāng)OM與ON滿足什么關(guān)系時(shí)，PM=PN？探究CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.圖1反過來，如圖，M，N

分別是∠AOB

的邊OA，OB

上的點(diǎn)，OM=ON，點(diǎn)P

在∠AOB

的內(nèi)部，PM=PN.連接OP.ABOMNOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，∴△OPM

≌△OPN(SSS)，就有∠POM=∠PON.P即點(diǎn)P

在∠AOB

的平分線上.圖2思考由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎？先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn).在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn).以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過這個(gè)點(diǎn)的射線.作法：如圖，已知∠AOB.(1)以點(diǎn)O

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA

于點(diǎn)M，交OB

于點(diǎn)N.ABO(2)分別以點(diǎn)M，N

為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧（想一想為什么），兩弧在∠AOB

的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.MNC(3)作射線OC.射線OC

即為∠AOB

的平分線.如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P1，P2，P3，···在OC

上，過點(diǎn)P1，P2，P3，···分別畫OA

與OB

的垂線，垂足分別為D1

與E1、D2

與E2、D3

與E3······.分別比較P1D1

與P1E1、P2D2

與P2E2、P3D3

與P3E3······，你有什么發(fā)現(xiàn)？CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4可以發(fā)現(xiàn)：P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······猜想：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

下面，我們證明這個(gè)性質(zhì).首先，要分清其中的“已知”和“求證”，顯然，已知為“一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上”，要證的結(jié)論為“這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”，為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證.探究CABODEP如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證PD=PE.分析：如果能證明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由題意可知，△OPD和△OPE具備“角角邊”的條件證明：∵OC

是∠AOB

的平分線，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC

，∠PDO=∠PEO

，OP=OP

，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.一般情況下，要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即定義與概念角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等應(yīng)用定理需具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：證明線段相等典型例題

經(jīng)典例題例2如圖14.3-5，OD平分∠EOF，在OE，OF

上分別取點(diǎn)A，B，使OA=OB，P為OD

上一點(diǎn)，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM=PN.證明：∵OD

平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD.在△BOD

和△AOD

中，∴△BOD

≌△AOD(SAS).∴∠BDO=∠ADO，即DO

平分∠BDA.又∵

P為DO上一點(diǎn)，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.OB=OA，∠BOD=∠AOD，OD=OD，總結(jié)歸納解題秘方：在圖中找出符合角的平分線的性質(zhì)的模型，利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等.課堂練習(xí)基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1

角平分線的作法

知識(shí)點(diǎn)2

角平分線的性質(zhì)

B

DA.17

B.34

C.38

D.68

提升題

拓展題

課堂小結(jié)角的平分線為證明線段相等提供了又一途徑.性質(zhì)定理過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線段.

一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等.輔助線添加本節(jié)課同學(xué)們學(xué)到了什么？布置作業(yè)作業(yè)題教科書第50頁練習(xí)第1，2題課本練習(xí)1.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P在∠AOB

的內(nèi)部，且點(diǎn)P

到射線OA和OB的距離相等.解：如圖所示：作∠AOB的平分線與MN交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.ABONMP2.如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.點(diǎn)F，G

分別在OA，O

B上，DF=EG，連接PF，PG.求證PF=PG.CABOGFDEP在△DPF和△EPG中，證明：∵