27.3圓中的計(jì)算問題（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2021·廣西北海·一模）如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，以為圓心的半圓分別與相切于點(diǎn)．已知，的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接OM、ON，根據(jù)半圓分別與AB，AC相切于點(diǎn)M，N．可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根據(jù)的長(zhǎng)為π，可得OM=ON=r=3，連接OA，根據(jù)Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=，進(jìn)而可求圖中陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，連接、，半圓分別與，相切于點(diǎn)，．，，，，，的長(zhǎng)為，，，，連接，在中，，，，，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算、扇形面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式．2．（2020·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，C是線段上的任一點(diǎn)，分別以為直徑在線段同側(cè)作半圓，則這三個(gè)半圓周圍成的圖形被阿基米德稱為“鞋匠刀形”（即圖中陰影部分）．當(dāng)“鞋匠刀形”的面積等于以為直徑的半圓的面積時(shí)，過C作，交圓周于點(diǎn)D，連結(jié)，則與的比值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，如圖，設(shè)，，根據(jù)題意得到，則，再利用圓周角定理得到，而，根據(jù)射影定理得到，則，從而得到的值．【詳解】解：連接，如圖，設(shè)，，“鞋匠刀形”的面積等于以為直徑的半圓的面積，，，為直徑，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．3．（2021·山東嶗山·二模）如圖，在矩形中，為對(duì)角線，，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，過作于點(diǎn),此時(shí)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，，再根據(jù)等邊三角形判定得出為等邊三角形，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化到新的三角形之中，利用勾股定理求得，最終求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求解即可．【詳解】如下圖，連接，過作于點(diǎn),在矩形中，∵，，，∴，,又∵，，∴為等邊三角形，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等邊三角形的判定、割補(bǔ)法求面積、扇形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，屬于選擇題中的壓軸題，靈活運(yùn)用相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·廣西梧州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸正半軸上有一點(diǎn)C，使∠ACB＝30°，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（）A．34 B．12 C．6+3 D．6【答案】A【分析】如圖，作的外接圓連接過作軸于作軸于則四邊形是矩形，再證明是等邊三角形，再分別求解即可得到答案.【詳解】解：如圖，作的外接圓連接過作軸于作軸于則四邊形是矩形，是等邊三角形，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，三角形的外接圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.5．（2021·江蘇·蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，內(nèi)接于，，，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)，直線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)沿弧運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OB，設(shè)OB的中點(diǎn)為M，連接ME．作OH⊥BC于H．首先判斷出點(diǎn)E在以O(shè)B為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)D與C重合時(shí)∠EMB的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接OB，設(shè)OB的中點(diǎn)為M，連接ME．作OH⊥BC于H．

∵OD⊥BE，

∴∠OEB＝90°，

∴點(diǎn)E在以O(shè)B為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，∵∠BOC＝2∠A＝120°，

∴∠BOE＝60°，

∴∠EMB＝2∠BOE＝120°，

∵BC＝12，OH⊥BC，

∴BH＝CH＝6，∠BOH＝∠COH＝60°，

∴OB＝，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡、弧長(zhǎng)公式、三角形的外接圓與外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找軌跡，屬于中考?？碱}型．6．（2021·山東日照·中考真題）如圖，平面圖形由直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角和扇形組成，點(diǎn)在線段上，，且交或交于點(diǎn)．設(shè)，圖中陰影部分表示的平面圖形（或）的面積為，則函數(shù)關(guān)于的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)的位置，分點(diǎn)在上和點(diǎn)在弧上兩種情況討論，分別寫出和的函數(shù)解析式，即可確定函數(shù)圖象．【詳解】解：當(dāng)在上時(shí)，即點(diǎn)在上時(shí)，有，此時(shí)陰影部分為等腰直角三角形，，該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，排除，選項(xiàng)；當(dāng)點(diǎn)在弧上時(shí)，補(bǔ)全圖形如圖所示，陰影部分的面積等于等腰直角的面積加上扇形的面積，再減去平面圖形的面積即減去弓形的面積，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，在，選項(xiàng)中分別找到這兩個(gè)特殊值，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形的面積等內(nèi)容，選擇題中利用特殊值解決問題是常見方法，構(gòu)造圖形表達(dá)出陰影部分面積是本題解題關(guān)鍵．二、填空題7．（2021·四川·達(dá)州中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，直線l為y=x，過點(diǎn)A1（1，0）作A1B1⊥x軸，與直線l交于點(diǎn)B1，以原點(diǎn)O為圓心，OB1長(zhǎng)為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A2；再作A2B2⊥x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以原點(diǎn)O為圓心，OB2長(zhǎng)為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A3；……，按此作法進(jìn)行下去，則扇形B2020OA2021的面積為_______．【答案】【分析】依據(jù)直線l為y=x，點(diǎn)（1，0），⊥x軸，可得（2，0），同理可得，（4，0），（8，0），…，依據(jù)規(guī)律可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），可得O的長(zhǎng)，由扇形公式可求解．【詳解】解：∵直線l為y=x，點(diǎn)（1，0），⊥x軸，∴當(dāng)x=1時(shí)，y=，即（1，），∴tan∠=，∴∠=60°，∠=30°，∴O=2O2，∵以原點(diǎn)O為圓心，O長(zhǎng)為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)，∴（2，0），同理可得（4，0），（8，0）…，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），∴O=，∴O=，∴扇形B2020OA2021的面積為=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律是本題的關(guān)鍵．8．（2021·河南宛城·一模）如圖所示，在扇形中，，長(zhǎng)為2的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在線段、上滑動(dòng)，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，連結(jié)、．若的長(zhǎng)是，則線段的最小值是________，此時(shí)圖中陰影部分的面積是______________．

【答案】1【分析】①由題意可得E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，所以O(shè)F與CD相交時(shí)EF的值最小；②過E作EM⊥OB于M，則所求陰影面積即為S扇形OBF-S△BOE．【詳解】①如圖，連接OF，令弧AF所對(duì)圓心角為n°，∵弧AF=，∴n=30°，∵∠AOB=90°，E為CD中點(diǎn)，∴，∴E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，∴OF與CD交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)，此時(shí)EF最短，EF=OF-OE=1；②過E作EM⊥OB于M，∴∠AOF=30°，∠EOM=60°，∴EM=，∴S陰=S扇形OBF-S△BOE==，故答案為1；．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A心角與弧的關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2021·湖北恩施·一模）如圖，在等腰直角三角形中，，，以邊中點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為__________．（用含的式子表示）【答案】【分析】連接DE，如圖，利用圓周角定理得到∠CEB=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A=∠B=45°，所以∠CDE=90°，根據(jù)扇形面積公式和計(jì)算出由AC、AE和弧CE所圍成的圖形，然后利用陰影部分的面積由AC、AE和弧CE所圍成的圖形的面積進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：連接DE，如圖，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，即BC為直徑，∴∠CEB=90°，∴CE⊥AB，而△ACB為等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∴∠CDE=90°，由AC、AE和弧CE所圍成的圖形的面積∴陰影部分的面積由AC、AE和弧CE所圍成的圖形的面積故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則或（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）；求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．10．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)在邊上，在射線上取一點(diǎn)，使，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為______，線段的最大值是______．【答案】4【分析】以AB為邊在正方形ABCD內(nèi)作等邊三角形ABO，點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，可知圓的半徑為2，延長(zhǎng)AO，BC交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)BO，AD交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交⊙O于連接可知點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可，BG最大值為BH，根據(jù)圓的直徑即可得解．【詳解】解：如圖，以AB為邊在正方形ABCD內(nèi)作等邊三角形ABO，點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，則點(diǎn)G在⊙O上延長(zhǎng)AO，BC交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)BO，AD交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交⊙O于連接∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°∴點(diǎn)K，H，在⊙O上∴∠BKA=∠AHB=∠AGB=30°∵F從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，則G點(diǎn)從K運(yùn)動(dòng)到，即G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為，正方形∴，∵圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦為直徑，由圖可知BG最大值為BH∵BH為O直徑，即BH=2r=4，∴BG最大值為4．故答案為：π；4【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，圓周角，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，正確作出輔助圓是解答此題的關(guān)鍵．11．（2021·湖南·長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)O是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，，已知，則___________，___________．【答案】【分析】（1）由已知，三角形ABC的外接圓的圓心為O，根據(jù)圓周角定理可求∠BOC度數(shù)；（2）三角形OBC的面積可求，只需求出三角形OAB和三角形OAC的面積即可求出三角形ABC的面積；為此，延長(zhǎng)AO交三角形ABC的外接圓于點(diǎn)P，分別過點(diǎn)B、C作BM⊥AP于點(diǎn)M，CN⊥AP于點(diǎn)N，求出BM+CN的長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）∵OA=OB=OC=4，∴的外接圓的圓心為O，半徑為4，如圖所示．故答案為：（2）延長(zhǎng)AO交于點(diǎn)P，分別過點(diǎn)B、C作BM⊥AP于點(diǎn)M，CN⊥AP于點(diǎn)N，如圖所示．在和中，在中，∵CN-BM=1，∴設(shè)BM=x，則CN=x+1．整理得，解得，（不合題意，舍去）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟知上述知識(shí)點(diǎn)、根據(jù)題目特征，構(gòu)造三角形的外接圓是解決第（1）問的基礎(chǔ)；構(gòu)造和底邊OA上的高是解決第（2）問的關(guān)鍵．12．（2021·四川溫江·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝＋2，AD＝．把AD沿AE折疊，使點(diǎn)D恰好落在AB邊上的D'處，再將△AED'繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△A′ED″，使得EA'恰好經(jīng)過BD'的中點(diǎn)F,A'D″交AB于點(diǎn)G，連接AA'．有如下結(jié)論：①△A'AF≌△A'EG；②扇形ED′D″圍成的圓錐底面積為π；③A'F的長(zhǎng)度是﹣2；④＝﹣1，上述結(jié)論中．所有正確的序號(hào)是___．【答案】②③④【分析】①判斷，可得結(jié)論．②求出，利用弧長(zhǎng)公式，圓的周長(zhǎng)公式，圓的面積公式即可得出結(jié)論．③求出，可得結(jié)論．④證明，可得．【詳解】解：把沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的處，，，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，故③正確；，，，弧的長(zhǎng)度，設(shè)扇形圍成的圓錐底面圓的半徑為，則有，，圓錐的底面積，故②正確，，，，，，，△△，，，，又，，，故④正確，，，，△與△不全等，故①錯(cuò)誤所以所有正確的序號(hào)為：②③④．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理證明是本題的關(guān)鍵．13．（2021·四川武侯·二模）如圖，在一個(gè)的網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OA沿直線OP進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接BC，以BC為斜邊在直線BC的左側(cè)（或下方）構(gòu)造等腰直角三角形，則點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，線段BC的長(zhǎng)的最小值為____________，線段BD所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）____________．【答案】4【分析】根據(jù)僅當(dāng)C在OB上時(shí)等號(hào)成立，由折疊性質(zhì)可知OA=OC，從而求出BC的最小值；再證明，而且相似比為：1，從而得出點(diǎn)D在以為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，由此畫出圖形即可得出格點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖，連接OB，AD．∵，∴，又∵僅當(dāng)C在OB上時(shí)等號(hào)成立，∴BC的最小值，又∵，∴BC的最小值，∵和均為等腰直角三角形，∴，，又∵，，∴，∴，∴，即，∴如圖：點(diǎn)D在以為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D在處，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)D在處，∴線段BD所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）4個(gè)．故答案為：，4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱變換和旋轉(zhuǎn)相似，解題關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)相似證明，從而得出點(diǎn)D在以為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)畫圖得出結(jié)論．三、解答題14．（2021·四川省南部中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接DE，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為C′，AC′并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)P，過點(diǎn)D，B分別作DF⊥AP于F，BK⊥AP于K．（1）求∠FDP的度數(shù)（2）連接BP，試證明BP＝AF．（3）連接BC，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是，請(qǐng)直接寫出△BCP面積的最大值．【答案】（1）45°；（2）見解析；（3）【分析】（1）證明∠CDE=∠C'DE和∠ADF=∠C'DF，可得∠FDP'=∠ADC=45°；（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP=DP'，可得DP+BP=PP′=AP，可得結(jié)論；（3）作正方形的外接圓，圓心為O，說明點(diǎn)P在圓O上，根據(jù)BC不變可得當(dāng)點(diǎn)P距離BC最大時(shí)，△BPC的面積最大，連接OP，與BC交于點(diǎn)Q，求出PQ的長(zhǎng)即可解決問題．【詳解】解：（1）由對(duì)稱得：CD=C'D，∠CDE=∠C'DE，在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，∴AD=C'D，∵F是AC'的中點(diǎn)，∴DF⊥AC'，∠ADF=∠C'DF，∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'=∠ADC=45°；（2）如圖，作AP'⊥AP交PD的延長(zhǎng)線于P'，∴∠PAP'=90°，在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90°，∴∠DAP'=∠BAP，由（1）可知：∠FDP=45°，∵∠DFP=90°，∴∠APD=45°，∴∠P'=45°，∴AP=AP'，DP=PF，在△BAP和△DAP'中，，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP=DP'，∴DP+BP=PP′=AP，∴DP+BP=PF+BP=AP，∴BP=（AP-PF）=AF；（3）作正方形的外接圓，圓心為O，由（2）得：∠APD=45°，又∠AOD=90°，∴點(diǎn)P在圓O上，在△BPC中，BC=，∴當(dāng)點(diǎn)P距離BC最大時(shí)，△PBC的面積最大，連接OP，與BC交于點(diǎn)Q，則當(dāng)點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離PQ最大，∵OC=AC=，∴OP=OC=1，而OQ=，∴PQ=OP-OQ=，此時(shí)△BPC的面積為=．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形和輔助圓解決問題．15．（2021·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過，且與軸正半軸交于，兩點(diǎn)．（1）如圖1，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得落在軸的負(fù)半軸上，求點(diǎn)的路徑長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)線段至，使得，若，且，求拋物線的解析式；（3）如圖3，拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸交于，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、，若在軸上存在、，使，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由點(diǎn)的路徑長(zhǎng)，即可求解；（2）證明，則，即，得到，而，，得到，即可求解；（3）由點(diǎn)、的坐標(biāo)得到，若在軸上有且僅有一點(diǎn)，使，則過中點(diǎn)的圓與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為，得到，求出，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1），將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得落在軸的負(fù)半軸上，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為，點(diǎn)的路徑長(zhǎng)；（2）連接如圖2：，，，，，的橫坐標(biāo)是方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：，即，故，，為頂點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，結(jié)合頂點(diǎn)公式：，，即，解得（舍去）或3，拋物線的表達(dá)式為；（3）由題意得：，解得，故拋物線的表達(dá)式為：；設(shè)點(diǎn)，，而點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得，則，若在軸上有且僅有一點(diǎn)，使，則以中點(diǎn)為圓心的圓與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)，，則，即，化簡(jiǎn)得：，解得：（不合題意的值已舍去），．若在軸上存在、，使，則以為直徑的圓和軸相交，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了圓的基本知識(shí)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形等，有一定的綜合性，難度適中．16．（2021·湖南·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段OB，OC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得DEF為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)∠BFD的度數(shù)最大時(shí)，求tan∠OBF的值．【答案】（1）y＝x2+x+4；（2）存在，DEF為等邊三角形時(shí)，E（，0），F(xiàn)（0，﹣2）；（3）tan∠OBF＝【分析】（1）將一般式配方成為頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，列出方程，求出的值，即可求解；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，證明，得到，再由中點(diǎn)求出，，則，求出，又由，則，可求，；（3）過的外接圓，當(dāng)與軸相切時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)最大，設(shè)的中點(diǎn)，則，，可證明，由，求出，則，，求出直線的解析式為，設(shè)，則，由，得到，再由，可求，則，即可求．【詳解】解：（1）將拋物線化為頂點(diǎn)式：y＝ax2﹣2ax﹣3a，＝a（x﹣1）2﹣4a，∴﹣4a＝，∴a＝，∴拋物線的解析式：；（2）存在，理由如下：設(shè)E（a，0），F(xiàn)（0，b），令x＝0，則y＝4，∴C點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），令y＝0，則，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵D為BC的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)（，2），如圖1，延長(zhǎng)DE至G，使DE＝EG，連接FG，過點(diǎn)D作DM⊥y軸交于點(diǎn)M，過G點(diǎn)作GN⊥y軸交于點(diǎn)N，∵DEF是等邊三角形，∴EF＝EG＝DF＝DE，∠DEF＝∠DFE＝60°，∴∠FEG＝120°，∴∠EFG＝30°，∴∠DFG＝90°，∵∠MFD+∠MDF＝90°，∠MFD+∠NFG＝90°，∴∠MDF＝∠NFG，∴FMD∽GNF，，，，∴，，，，，∵E點(diǎn)是DG的中點(diǎn)，∴G（2a﹣，﹣2），∴ON＝2，，，，，，，，，，為等邊三角形時(shí)，，，；（3）如圖2，過BDF的外接圓M，當(dāng)⊙M與y軸相切時(shí)，切點(diǎn)為F，此時(shí)∠BFD最大，設(shè)的中點(diǎn)，則，，，∵OC＝4，BO＝3，∴CB＝5，∵∠COB＝∠BHG＝90°，∠CBO＝∠HBG，∴BOC∽BHG，，即，，，，設(shè)直線GH的解析式為y＝kx+b，則，，，設(shè)M（r，t），則F（0，t），∵FM＝MB＝r，∴r2＝t2+（3﹣r）2，∴t2＝6r﹣9，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形等相關(guān)知識(shí)以及（2）中倍長(zhǎng)線段、構(gòu)造字型相似，（3）中構(gòu)造的外接圓與軸相切時(shí)最大是解題的關(guān)鍵．17．（2021·湖南·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)月考）對(duì)y關(guān)于x的函數(shù)圖象做出如下定義：在0≤x≤2時(shí)，函數(shù)圖象最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B滿足2yB＞yA且A、B位于x軸上方圖象上，則我們稱線段AB為“青一?”線段．（1）若函數(shù)y＝x+a圖象上存在“青一?”線段，求a的取值范圍，并求出線段長(zhǎng)；（2）判斷函數(shù)圖象上是否存在“青一?”線段，若存在，求出以A，B，O為頂點(diǎn)的三角形外接圓面積；不存在，請(qǐng)說明理由；（3）已知函數(shù)y＝x2﹣2mx+1，在其圖象上是否存在A，B構(gòu)成“青一?”線段，若存在，求出滿足條件的m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）a＞2，AB＝；（2）上存在“青一?”線段，三角形外接圓面積為；（3）函數(shù)y＝x2﹣2mx+1，在其圖象上不存在A，B構(gòu)成“青一?”線段，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)“青一”線段的定義，可直接求出的范圍，再由，都在函數(shù)圖象上，利用兩點(diǎn)的距離公式，可求出；（2）先求出的對(duì)稱軸，再求出，，然后利用“青一”線段的定義即可判斷；利用，，到圓心的距離相等求出圓心，然后求出半徑，即可算出面積；（3）先算出，的對(duì)稱軸，然后根據(jù)對(duì)稱軸的位置分情況討論，求出滿足條件的即可．【詳解】解：（1）∵y＝x+a，∴當(dāng)0≤x≤2時(shí)，有yA＝a+2，yB＝a，∵2yB＞yA，∴2a＞a+2，∴a＞2，∵A，B都在y＝x+a上，；（2）上存在“青一?”線段，，∴當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨著x的增大而減小，，，∴2yB＞yA，∴的圖象上存在“青一?”線段；由題意得A（0，4），B（2，3），設(shè)以A，B，O為頂點(diǎn)的三角形外接圓的圓心為P（x，y），則PA＝PB＝PO，∴（y﹣4）2+x2＝（y﹣3）2+（x﹣2）2＝y(tǒng)2+x2，解得：，，圓的面積為：；（3）∵y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2﹣m2+1，∴該拋物線的對(duì)稱軸為x＝m，①當(dāng)m≤0，在0≤x≤2上y隨著x的增大而增大，∴yA＝4﹣4m+1＝5﹣4m，yB＝1，∴2＞5﹣4m，解得：，與m＜0矛盾，∴當(dāng)m＜0時(shí)，不存在A，B構(gòu)成“青一?”線段，②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，有：yA＝5﹣4m，，即：2（1﹣m2）＞5﹣4m，化簡(jiǎn)得：無解，∴當(dāng)0＜m＜1時(shí)，不存在A，B構(gòu)成“青一?”線段，③當(dāng)m＝1時(shí)，yA＝1，yB＝0，∵2yB＜yA，不滿足要求，∴當(dāng)m＝1時(shí)，不存在A，B構(gòu)成“青一?”線段，④當(dāng)1＜m≤2時(shí)，有yA＝1，，若2yB＞yA，則2﹣2m2＞1，解得：，與1＜m≤2矛盾，∴當(dāng)1＜m＜2時(shí)，不存在A，B構(gòu)成“青一?”線段，⑤當(dāng)m＞2時(shí)，yA＝1，yB＝5﹣4m，若2yB＞yA，則10﹣8m＞1，解得：，與m＞2矛盾，∴當(dāng)m＞2時(shí)，不存在A，B構(gòu)成“青一?”線段，綜上，函數(shù)y＝x2﹣2mx+1，在其圖象上不存在A，B構(gòu)成“青一?”線段．【點(diǎn)睛】本題主要考查和二次函數(shù)有關(guān)的新定義概念，關(guān)鍵是要理解“青一”線段的定義，還有二次函數(shù)的基本知識(shí)，包括求對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，增減性等，當(dāng)題目中出現(xiàn)求字母的取值范圍時(shí)，一般可考慮分情況討論，找出滿足條件的范圍即可，也考查了三角形的外接圓的相關(guān)知識(shí)．18．（2021·江蘇工業(yè)園區(qū)·九年級(jí)月考）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．波波決定研究一下圓．如圖，、是的兩條半徑，，C是半徑上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于D，過點(diǎn)D作圓的切線交的延長(zhǎng)線于E，已知．（1）求證：；（2）若，求長(zhǎng)；（3）當(dāng)從增大到的過程中，求弦在圓內(nèi)掃過的面積．【答案】（1）見解析；（2）8；（3）【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則，，在中，由勾股定理得出方程，解法長(zhǎng)即可；（3）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，當(dāng)時(shí)，，得出，，，當(dāng)時(shí)，，，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）證明：連接，如圖1所示：是的切線，，，，、是的兩條半徑，，，，，；（2）解：，，，設(shè)，，，，，，即：，解得：，；（3）解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，如圖2所示：當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)從增大到的過程中，在圓內(nèi)掃過的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握切線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．19．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的乘積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線段的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形該邊的“好點(diǎn)”，如圖1，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，若，則稱點(diǎn)是中邊的“好點(diǎn)”．（1）如圖1，在中，，若點(diǎn)是邊的“好點(diǎn)”，且，則線段的長(zhǎng)是__________；（2）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)是中邊的“好點(diǎn)”，求的值；（3）如圖2，的外接圓是圓，點(diǎn)在邊上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若點(diǎn)是中邊的“好點(diǎn)”，，的半徑為，且，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)“好點(diǎn)”的定義知，代入即可；（2）設(shè)，則，設(shè)，，，，表示出，的長(zhǎng)，可得，再根據(jù)“好點(diǎn)”定義即可得出答案；（3）連接，可證，得，再根據(jù)點(diǎn)是中邊上的“好點(diǎn)”，得，則，設(shè)，則，，勾股定理得，再求出，即可解決問題．【詳解】解：（1），，，由題可知：，，故答案為．（2）聯(lián)立，得：，設(shè)，，，，令，則，，，，，由題可知：，，，，（3）連接，，，，，，點(diǎn)是中邊上的“好點(diǎn)”，，，，，又，，是的直徑，，設(shè)，則，，在中，，，在中，，點(diǎn)是中邊上的“好點(diǎn)”，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解，以及勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是將“新定義”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”．20．（2021·江蘇·靖江市靖城中學(xué)一模）如圖，拋物線y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝．（1）求拋物線的對(duì)稱軸與拋物線的解析式；（2）設(shè)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．①當(dāng)△BCD的外接圓的圓心在△BCD的邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍．【答案】（1），對(duì)稱軸是直線；（2）①D（2，5）或D（2，）或（0，）或D（2，-1）；②或【分析】（1）先根據(jù)，，得到OC=3OA，∠CBO=45°，則OC=OB，再求出拋物線對(duì)稱軸為，OC=n，，，A（，0），B（n，0），由此求出n的值即可求出拋物線的解析式；（2）①當(dāng)△BCD的外接圓圓心在△BCD邊上時(shí)，△BCD是直角三角形，設(shè)D（2，t），則，，，然后分別討論當(dāng)B、C、D為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理求解；②由圖形可知當(dāng)D在D1和D3之間或D4與D2之間時(shí)，△BCD是銳角三角形，其中D1是C為直角頂點(diǎn)時(shí)D點(diǎn)的位置，D3是D為直角頂點(diǎn)D的位置，D4和D2分別是以B和D為直角頂角的位置．【詳解】解：（1）由題意可知，∠COA=90°，∴，∴OC=3OA，∠CBO=45°，∴OC=OB，∵拋物線y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)C，∴C（0，n），拋物線對(duì)稱軸為，∴OC=n，∴，，∴A（，0），B（n，0），∴，∴n=3，∴C（0，3），B（3，0），A（1，0），∴把A（1，0）代入拋物線解析式得：，∴m=1，∴拋物線解析式為；（2）①當(dāng)△BCD的外接圓圓心在△BCD邊上時(shí)，△BCD是直角三角形，∵D為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，∴設(shè)D（2，a）∵C（0，3）B（3，0），∴，，，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，即，解得a=5，∴D（2，5）；當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，即，解得，∴D（2，）或（0，）；當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，即，解得a=-1，∴D（2，-1）；∴綜上所述：D（2，5）或D（2，）或（0，）或D（2，-1）；②由圖形可知當(dāng)D在D1和D3之間或D4與D2之間時(shí)，△BCD是銳角三角形，其中D1是C為直角頂點(diǎn)時(shí)D點(diǎn)的位置，D3是D為直角頂點(diǎn)D的位置，D4和D2分別是以B和D為直角頂角的位置，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)距離公式，勾股定理，二次函數(shù)與直角三角形的綜合，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．21．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)春申中學(xué)九年級(jí)月考）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若經(jīng)過三點(diǎn)，N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．（3）點(diǎn)P是二次函數(shù)圖像上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交直線于點(diǎn)Q，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為；（2）的取值范圍為：；（3）故點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．【分析】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)代入求解即可，（2）根據(jù)題意得出是的外接圓，確定點(diǎn)M為線段AB，BC垂直平分線的交點(diǎn)，分別求出線段AB，BC垂直平分線表達(dá)式再求出圓心M坐標(biāo)即可，（3）先求出AC的函數(shù)表達(dá)式，再求出BC函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)，交直線于點(diǎn)Q，，設(shè)出點(diǎn)P，Q坐標(biāo)，根據(jù)列方程求解即可；【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)，∴把點(diǎn)代入得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為；（2）∵經(jīng)過三點(diǎn)，即是的外接圓，故點(diǎn)M為線段AB，BC垂直平分線的交點(diǎn)，∵點(diǎn)，∴線段AB垂直平分線表達(dá)式為：，由拋物線的表達(dá)式為知點(diǎn)C坐標(biāo)為：（0，3），∴線段BC中點(diǎn)P坐標(biāo)為：，又∵，∴OC=OB，∴線段BC垂直平分線即為直線OP，解得：，∴點(diǎn)M坐標(biāo)即為：（1，1），∵N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)N在點(diǎn)B，點(diǎn)C時(shí)MN最大，在點(diǎn)P時(shí)MN最小，即當(dāng)N在點(diǎn)B，點(diǎn)C時(shí)，，當(dāng)N在點(diǎn)P時(shí)，，∴的取值范圍為：；（3）由（1）知，設(shè)AC的函數(shù)表達(dá)式為：，把點(diǎn)A，C代入解得：，設(shè)BC表達(dá)式為：，把點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入解得：，∵，交直線于點(diǎn)Q，過P作x軸的垂線，過Q作QF垂直PF（如圖），∵，CO∥PF∴，∴，

∵AO=1，OC=3∴，∴設(shè)，∴解得：，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為（1，4），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為（2，3），故點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，涉及到三角形外接圓，三角形相似相關(guān)知識(shí)，及函數(shù)上有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的線段取值范圍，有一定難度．22．（2021·湖北宜都·九年級(jí)期中）已知：拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊）頂點(diǎn)為C點(diǎn)．已知點(diǎn)．（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）．（2）若點(diǎn)D為的外心，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，若，求m的取值范圍；（4）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)D重