第2章邏輯函數(shù)及其化簡2.1邏輯代數(shù)2.2邏輯代數(shù)的常用公式和規(guī)則2.3邏輯函數(shù)及其表示方法2.4邏輯函數(shù)的化簡 2.1邏輯代數(shù)

2.1.1三種基本邏輯

1.與邏輯

如圖2－1－1所示串聯(lián)開關(guān)電路表示了一個(gè)簡單的與邏輯電路。電源通過開關(guān)A和B向燈泡供電，只有開關(guān)A和B同時(shí)閉合時(shí)，燈泡才亮。A和B中只要有一個(gè)斷開或二者都斷開，燈泡就不亮。該電路功能如表2－1－1所示。對于此例，可以得出這樣一種因果關(guān)系：當(dāng)決定某一事件(如燈亮)的條件(如開關(guān)合上)全部具備時(shí)，該事件才會(huì)發(fā)生。這樣的因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系，簡稱與邏輯。圖2－1－1與邏輯舉例表2－1－1與邏輯舉例狀態(tài)表

2.或邏輯

如圖2－1－2所示并聯(lián)開關(guān)電路表示了一個(gè)簡單的或邏輯電路。電源通過開關(guān)A和B向燈泡供電，只要開關(guān)A或B中有一個(gè)或者兩個(gè)都閉合時(shí)，燈泡就會(huì)亮；而當(dāng)A和B同時(shí)斷開時(shí)，燈泡才不亮。該電路功能如表2－1－2所示。這樣可得出另一種因果關(guān)系：當(dāng)決定某一事件的所有條件中，只要有一個(gè)或幾個(gè)條件具備，該事件就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系叫做或邏輯關(guān)系，簡稱或邏輯。圖2－1－2或邏輯舉例表2－1－2或邏輯舉例狀態(tài)表

3.非邏輯

如圖2－1－3所示開關(guān)電路表示了一個(gè)簡單的非邏輯電路。電源通過開關(guān)A和燈泡并聯(lián)電路向燈泡供電，當(dāng)開關(guān)A斷開時(shí)，燈泡亮；反之，當(dāng)開關(guān)A閉合時(shí)，燈泡則不亮。該電路功能如表2－1－3所示。這種因果關(guān)系是：當(dāng)某一條件具備了，事情不會(huì)發(fā)生；而此條件不具備時(shí)，事情反而發(fā)生。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系，簡稱非邏輯。圖2－1－3非邏輯舉例表2－1－3非邏輯舉例狀態(tài)表上述三種基本邏輯可以用邏輯代數(shù)來描述。設(shè)定變量A和B對應(yīng)兩個(gè)開關(guān)的狀態(tài)，開關(guān)閉合的狀態(tài)用1表示，開關(guān)斷開的狀態(tài)用0表示；設(shè)變量Y與燈泡的狀態(tài)對應(yīng)，燈泡亮用1表示，不亮用0表示。根據(jù)上述設(shè)定，可得到與、或、非三種基本邏輯關(guān)系的表格分別如表2－1－4、表2－1－5、表2－1－6所示。這種表格稱為邏輯真值表，簡稱真值表。表2－1－4與邏輯真表表2－1－5或邏輯真值表表2－1－6非邏輯真值表在邏輯代數(shù)中，把與、或、非看做邏輯變量間的三種最基本的邏輯運(yùn)算，并以符號“·”表示與運(yùn)算，在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略；符號“＋”表示或運(yùn)算；用變量上方的符號“-”表示非運(yùn)算。因此，三種基本邏輯關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，可以寫成:

與邏輯Y=A·B=AB

或邏輯Y=A+B

非邏輯Y=A

在數(shù)字邏輯電路中，把實(shí)現(xiàn)與邏輯關(guān)系的基本單元電路稱做與門，實(shí)現(xiàn)或邏輯的基本單元電路稱做或門，實(shí)現(xiàn)非邏輯的基本單元電路稱做非門(或反相器)。邏輯電路中，采用了一些邏輯圖形符號來表示上述三種基本邏輯關(guān)系。這些圖形符號也用于表示相應(yīng)的門電路。如圖2－1－4所示，圖中第(1)行符號是目前國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的符號，第(2)行符號是一些國外資料及書刊常用符號。圖2－1－4基本邏輯的邏輯符號與門的邏輯符號中，符號“&”表示與運(yùn)算，“&”在英文中是and的速寫?；蜷T的邏輯符號中，符號“≥1”表示或運(yùn)算，表示輸入中有一個(gè)及一個(gè)以上的1，輸出就為1。非門的邏輯符號中，用小圓圈“”表示非運(yùn)算，符號中的“1”表示緩沖。2.1.2基本邏輯運(yùn)算

最基本的邏輯運(yùn)算有三種：邏輯加、邏輯乘、邏輯非。

1.邏輯加(或運(yùn)算)

Y=A+B邏輯加的意義是A或B只要有一個(gè)為1，則函數(shù)值就為1。它表示或邏輯關(guān)系，因此，邏輯加又稱為或運(yùn)算。邏輯加的運(yùn)算規(guī)則為0+0=0

0+1=11+0=11+1=1必須指出，邏輯加的運(yùn)算和二進(jìn)制加法的規(guī)則是不同的。

由此可推出邏輯加運(yùn)算的一般形式：A+0=AA+1=1A+A=A

2.邏輯乘(與運(yùn)算)

Y=A·B邏輯乘的意義是只有A和B都為1時(shí)，函數(shù)值才為1。它表示與邏輯關(guān)系，因此，邏輯乘又稱為與運(yùn)算。邏輯乘的運(yùn)算規(guī)則為0·0=00·1=01·0=01·1=1由此可推出邏輯乘運(yùn)算的一般形式：A·0=0A·1=AA·A=A

3.邏輯非(非運(yùn)算)

Y=A邏輯非的意義是函數(shù)值為輸入變量的反。它表示非邏輯關(guān)系，因此，邏輯非又稱為非運(yùn)算。邏輯非的運(yùn)算規(guī)則為。0=11=0A=AA+A=1A·A=0＝由此可推出：

4.復(fù)合邏輯運(yùn)算

在數(shù)字系統(tǒng)中，除應(yīng)用與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算之外，還廣泛應(yīng)用與、或、非的不同復(fù)合邏輯，最常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或和同或運(yùn)算。

1)與非運(yùn)算

與和非的復(fù)合運(yùn)算稱為與非運(yùn)算。它是將輸入變量先進(jìn)行與運(yùn)算，然后再進(jìn)行非運(yùn)算。其邏輯表達(dá)式為Y=AB與非邏輯的真值表如表2－1－7所示。由真值表可見，對于與非邏輯，只有輸入變量中有一個(gè)為0，輸出就為1?；蛘哒f，只有輸入變量全部為1時(shí)，輸出才為0。其邏輯符號如圖2－1－5(a)所示。2)或非運(yùn)算

或和非的復(fù)合運(yùn)算稱為或非運(yùn)算。它是將輸入變量先進(jìn)行或運(yùn)算，然后再進(jìn)行非運(yùn)算。其邏輯表達(dá)式為Y=A+B或非邏輯的真值表如表2－1－8所示。由真值表可見，對于或非邏輯，只有輸入變量中有一個(gè)為1，輸出就為0?；蛘哒f，只有輸入變量全部為0時(shí)，輸出才為1。其邏輯符號如圖2－1－5(b)所示。表2－1－7與非邏輯的真值表表2－1－8或非邏輯的真值表3)與或非運(yùn)算

與或非邏輯是與邏輯和或非邏輯運(yùn)算的復(fù)合。它是先將輸入變量A、B及C、D先進(jìn)行與運(yùn)算，然后再進(jìn)行或非運(yùn)算。其邏輯表達(dá)式為Y=AB+CD與或非邏輯的真值表如表2－1－9所示，邏輯符號如圖2－1－5(c)所示。表2－1－9與或非邏輯的真值表圖2－1－5復(fù)合邏輯符號4)異或及同或邏輯

所謂異或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量A和B取值不同時(shí)，輸出Y為1，取值相同時(shí)輸出為0的一種邏輯運(yùn)算。其邏輯表達(dá)式為Y=A⊕B=AB+AB式中,符號“⊕”表示異或運(yùn)算。異或邏輯的真值表如表2－1－10所示，邏輯符號如圖2－1－6(a)所示。表2－1－10異或邏輯的真值表異或邏輯的運(yùn)算規(guī)則為

0⊕0=0

0⊕1=1

1⊕0=1

1⊕1=0

由此可推出異或運(yùn)算的一般形式：

A⊕0=A

A⊕1=A

A⊕A=1

A⊕A=0所謂同或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量A和B取值相同時(shí)輸出為1，取值不相同時(shí)輸出為0的一種邏輯運(yùn)算。其邏輯表達(dá)式為Y=A⊙B=AB+AB式中,符號“⊙”表示同或運(yùn)算。同或邏輯的真值表如表2－1－11所示，邏輯符號如圖2－1－6(b)所示，是異或邏輯符號的取非。表2－1－11同或邏輯的真值表圖2－1－6異或及同或邏輯符號同或邏輯的運(yùn)算規(guī)則為0⊙0=1

0⊙1=01⊙0=01⊙1=1由此可推出同或運(yùn)算的一般形式：A⊙0=A

A⊙1=AA⊙A=0A⊙A=1由表2－1－10和表2－1－11可見，異或和同或互為反運(yùn)算，即有A⊕B=A⊙BA⊙B=A⊕B所以，有時(shí)又將同或邏輯稱為異或非邏輯。對于兩變量來說，若兩變量的原變量相同，則取非后兩變量的反變量也相同；若兩變量的原變量相異，則取非后兩變量的反變量也必相異。因此，可得到另外，若變量A和B相同，則A必與B相異或A與B相異；若變量A和B相異，則A必與B相同或A與B相同。因此又有對于有n個(gè)輸入變量的異或邏輯，其輸出值和輸入變量取值的對應(yīng)關(guān)系是：輸入變量的取值組合中，有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，異或邏輯的輸出值為1；反之，輸出值為0。奇偶校驗(yàn)碼校驗(yàn)位的產(chǎn)生電路即利用了此特性。

此外，偶數(shù)個(gè)變量的同或運(yùn)算，等于這偶數(shù)個(gè)變量的異或之非。例如：奇數(shù)個(gè)變量的同或運(yùn)算，等于這奇數(shù)個(gè)變量的異或。例如：A⊙B⊙C=A⊕B⊕C

2.2邏輯代數(shù)的常用公式和規(guī)則

2.2.1邏輯代數(shù)的基本公式

1.常量與變量之間的關(guān)系

0－1律：A+0=AA·

1=AA+1=1A·0=0A⊙0=ＡA⊕1=ＡA⊙1=A

A⊕0=A同一律：A+A=AA·A=AA⊙A=1A⊕A=0互補(bǔ)律：A+A=1A·A=0A⊙A=0A⊕A=1

2.邏輯代數(shù)的基本公式

邏輯代數(shù)中，常用的基本定律有9個(gè)，分別為0－1律、互補(bǔ)律、重疊律、交換律、結(jié)合律、分配律、反演律、吸收律和還原律,其公式列于表2－2－1。其中，與普通代數(shù)相似的定律有交換律、結(jié)合律和分配律，特殊的定律有反演律(摩根定律)和還原律。表2－2－1邏輯代數(shù)的基本公式【例2－2－1】試證明反演律AB=A+B。

證明用列真值表法，對應(yīng)A、B所有取值組合，列出原式兩邊相應(yīng)的真值表如表2－2－2所示。表2－2－2反演律(摩根定律)真值表由表2－2－2可看出，AB和A+B真值表結(jié)果完全相同，故原式成立。

除了上述基本公式，同或、異或邏輯的特點(diǎn)還表現(xiàn)在變量的交換律。

同或交換律為

若A⊙B=C，則必有

A⊙C=B，B⊙C=A

異或交換律為

若A⊕B=C，則必有

A⊕C=B，B⊕C=A

由變量交換律，不難證明

A·B=A⊙B⊙(A+B)

A+B=AB(A·B)2.2.2邏輯代數(shù)的三個(gè)規(guī)則

在邏輯代數(shù)運(yùn)算中有三個(gè)重要規(guī)則，即代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則。利用這些規(guī)則可以擴(kuò)充上述基本定律的使用范圍。

1.代入規(guī)則

在任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式中，若將所有出現(xiàn)A的地方都代之以另一個(gè)邏輯式，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則就叫代入規(guī)則。

利用代入規(guī)則，可以將上述基本等式中的變量用某一邏輯函數(shù)來代替，從而擴(kuò)大公式的應(yīng)用范圍。

2.反演規(guī)則

對任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，若將其中所有的與、或互換，“0”、“1”互換，原、反變量互換，長非號(兩個(gè)或兩個(gè)以上變量上的非號)不變，這樣可得Y的反函數(shù)Y。這個(gè)規(guī)則叫做反演規(guī)則。

反演規(guī)則又稱為摩根定律，或稱互補(bǔ)規(guī)則。它的意義在于運(yùn)用反演規(guī)則可方便地求得反函數(shù)Y。

【例2－2－3】已知 ,求。

解根據(jù)反演規(guī)則，可直接寫出【例2-2-4】已知,求。解：根據(jù)反演規(guī)則，可直接寫出

3.對偶規(guī)則

對偶式：對任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，若將其中所有的與、或互換，“0”和“1”互換，這樣可得一個(gè)新的邏輯式Y(jié)*。Y*就叫做Y的對偶式，或者說Y和Y*互為對偶式。

【例2－2－5】已知Y=AB+CD+0，求Y的對偶式Y(jié)*。

解可直接寫出Y*=(A+B)(C+D)·1寫對偶式時(shí)，同樣應(yīng)注意運(yùn)算的優(yōu)先順序，必要時(shí)要增減擴(kuò)號。但需注意，不要將原、反變量互換。對偶規(guī)則：若等式Y(jié)=W成立，則等式Y(jié)*=W*也成立。

【例2－2－6】已知(A+B)·C=AC+BC成立，試證明A·B+C=(A+C)·(B+C)。

證明令Y1=(A+B)·C，Y2=AC+BC,則Y1、Y2的對偶式分別為由已知條件知Y1=Y2，利用對偶規(guī)則得到Y(jié)1*=Y2*，上式即得證。利用對偶規(guī)則，可以使要證明和記憶的公式數(shù)目減少一半，如表2－2－1中的公式1和公式2互為對偶式。利用對偶式，有時(shí)可以簡化等式的證明，因?yàn)橛行┣闆r下證明對偶式相等更為容易些。2.2.3邏輯代數(shù)的常用公式

公式1A+AB=A

證明

A+AB=A·(1+B)=A特點(diǎn)：兩個(gè)乘積項(xiàng)中，若其中一項(xiàng)(AB項(xiàng))以另一項(xiàng)(A項(xiàng))為因子，則該項(xiàng)(AB項(xiàng))是多余的，可以消去。根據(jù)對偶規(guī)則有A·(A+B)=A

公式2

A+AB=A+B

證明

特點(diǎn)：兩個(gè)乘積項(xiàng)中，如果一項(xiàng)取反后是另一項(xiàng)的因子，則此因子是多余的。

根據(jù)對偶規(guī)則有特點(diǎn)：兩個(gè)乘積項(xiàng)，除公有因子外，不同因子恰好互補(bǔ)，則這兩個(gè)乘積項(xiàng)可合并為一個(gè)由公有因子組成的乘積項(xiàng)。根據(jù)對偶規(guī)則有公式3

證明

AB+AB=AAB+AB=A·(B+B)=A·1=A特點(diǎn)：兩個(gè)乘積項(xiàng)，除公有因子外，不同因子恰好互補(bǔ)，則這兩個(gè)乘積項(xiàng)可合并為一個(gè)由公有因子組成的乘積項(xiàng)。根據(jù)對偶規(guī)則有(A+B)·(A+B)=A上述公式1、2、3稱為吸收律。公式4

(冗余律)此定律可推廣為證明證明公式4及其推論的特點(diǎn)：若兩個(gè)乘積項(xiàng)中的部分因子恰好互補(bǔ)，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其余因子都是第三乘積項(xiàng)中的因子，則第三乘積項(xiàng)是多余的。

根據(jù)對偶規(guī)則有

公式5

(交叉互換律)根據(jù)對偶規(guī)則有 2.3邏輯函數(shù)及其表示方法

2.3.1邏輯函數(shù)的概念

如果以邏輯變量作為輸入，以某種邏輯運(yùn)算結(jié)果作為輸出,那么，當(dāng)輸入變量的取值確定后，輸出的結(jié)果也會(huì)隨之而定。輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的這種關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，一般寫作Y=F(A、B、C、D…)其中，A、B、C、D…稱為輸入邏輯變量，F(xiàn)稱為輸出邏輯函數(shù)。由于輸入變量和輸出邏輯函數(shù)值的取值都是只有0和1兩種狀態(tài)，所以稱之為二值邏輯函數(shù)。2.3.2邏輯函數(shù)的表示方法

1.邏輯真值表

將輸入邏輯變量的所有可能的取值組合和與之對應(yīng)的輸出函數(shù)值排列在一起而組成的一個(gè)表格稱為真值表。真值表是采用逐點(diǎn)觀察法來描述邏輯問題的。

【例2－3－1】三個(gè)人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，試用真值表建立該邏輯函數(shù)。

解第一步：設(shè)輸入變量為A、B、C三個(gè)信號，“同意”用邏輯1表示，“不同意”用邏輯0表示。那么，三個(gè)輸入變量一共有8種可能的取值組合，即000、001、010、011、100、101、110、111。

第二步：設(shè)輸出變量為Y，“事情通過”為邏輯1，“事情沒通過”為邏輯0。

第三步：根據(jù)題意及上述規(guī)定列出函數(shù)的真值表如表2－3－1所示。表2－3－1例2－3－1邏輯函數(shù)的真值表

2.邏輯函數(shù)表達(dá)式

按照對應(yīng)的邏輯關(guān)系，把輸出變量表示為輸入變量的與、或、非等運(yùn)算的組合形式，稱為邏輯函數(shù)表達(dá)式。如Y=AB+AB是一個(gè)與或表達(dá)式，與或表達(dá)式是最常用的一種函數(shù)表達(dá)式。其實(shí)一個(gè)邏輯問題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來表示，通常邏輯函數(shù)的表達(dá)形式可分為以下幾種。

與或表達(dá)式：或與表達(dá)式:與非－與非表達(dá)式:

或非－或非表達(dá)式:與或非表達(dá)式:以上是同一個(gè)邏輯函數(shù)的不同表示形式。那么由真值表如何方便地寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式呢？方法是：找出真值表中使輸出邏輯函數(shù)Y=1的所有輸入變量取值的組合，將對應(yīng)的每一種組合用一個(gè)乘積項(xiàng)來表示，表示時(shí)變量取值為１用原變量表示，變量取值為０用反變量表示，最后將所有Y＝１的乘積項(xiàng)相加，即得Y的與或表達(dá)式，或稱為積之和式。

例如，表2－3－2所示真值表中，對應(yīng)于Y＝１的輸入變量組合有A=0、B=0，用乘積項(xiàng)A=1、B＝１來表示；有A=1、B=1，用乘積項(xiàng)AB來表示。最后將所有Y＝1的乘積項(xiàng)相加，得到邏輯函數(shù)表達(dá)式為Y=AB+AB。表2－3－2真值表

3.邏輯電路圖

用相應(yīng)的邏輯符號將邏輯表達(dá)式的邏輯運(yùn)算關(guān)系表示出來，就可以畫出邏輯函數(shù)的邏輯電路圖，簡稱邏輯圖。如圖2－3－1所示邏輯圖即為表達(dá)式L=AB+AB對應(yīng)的邏輯電路圖。圖2－3－1

L=AB+AB的邏輯電路圖

由邏輯圖也可以寫出其相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。例如，圖2－3－2所示邏輯電路圖的函數(shù)表達(dá)式為L=AB+BC+AC

圖2－3－2

L=AB+BC+AC的邏輯電路圖2.3.3邏輯函數(shù)相等

邏輯函數(shù)Ｆ1（Ａ1

，Ａ2，…Ａn)和邏輯函數(shù)F2（Ａ1，Ａ2，…Ａn)，如果對應(yīng)于輸入變量Ａ1，Ａ2，…Ａn的任一組狀態(tài)組合，Ｆ1和F2的值都相同，則稱Ｆ1和F2是相等的，記作F1=F2。如果F1=F2，那么它們就應(yīng)該有相同的真值表，或者說，如果F1和F2的真值表相同，則F1=F2。因此，可以用真值表來證明兩個(gè)函數(shù)是否相等。表2－3－3例2－3－2的真值表2.3.4邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式有兩種:標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式，即最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式。在討論邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式之前，首先要了解最小項(xiàng)、最大項(xiàng)的定義和性質(zhì)。

1.標(biāo)準(zhǔn)與或式——最小項(xiàng)表達(dá)式

我們已經(jīng)知道，一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的。例如：(2-3-2)

包含A、B、C3個(gè)變量的邏輯函數(shù)應(yīng)該有23=8個(gè)最小項(xiàng)。輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對應(yīng)的最小項(xiàng)的值為1。例如,當(dāng)A、B、C取值為1、0、1時(shí)，最小項(xiàng)ABC=1，若把ABC的取值101看做一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，那么它對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是5。為了使用方便，將最小項(xiàng)ABC記作m5，這樣，可以對每個(gè)變量取值組合用一個(gè)編號來表示，使得邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式書寫十分方便。例如，邏輯函數(shù)表2－3－4

3變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及編號【例2－3－3】將函數(shù)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。

解

=m0+m7+m3+m6+m4=∑m（0，3，4，6，7）

【例2-10】將邏輯函數(shù)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。

解：這是一個(gè)包含A、B、C、D4個(gè)輸入變量的函數(shù)，所以需把各個(gè)乘積項(xiàng)所缺的變量逐步補(bǔ)齊。=∑m（3，7，9，10，11，14，15）

2.標(biāo)準(zhǔn)或與式——最大項(xiàng)表達(dá)式

邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式除去最小項(xiàng)表達(dá)式外，還有最大項(xiàng)表達(dá)式。

在邏輯函數(shù)

的或-與表達(dá)式中，每個(gè)或項(xiàng)都包含了全部變量，每個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在或項(xiàng)中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，這種包含了全部輸入變量的或項(xiàng)稱為最大項(xiàng)。3變量邏輯函數(shù)有23個(gè)最大項(xiàng)，n變量邏輯函數(shù)則有2n個(gè)最大項(xiàng)，其數(shù)目與最小項(xiàng)數(shù)目是相等的。輸入變量只有一組取值組合才能使最大項(xiàng)的值為0。表2－3－5

3變量最大項(xiàng)編號表【例2－3－5】將邏輯函數(shù)F(A，B，C)=(A+B)(B+C)寫成最大項(xiàng)表達(dá)式。=M2·M3·M0·M4

=∏M(0，2，3，4)=∏M(0，2，3，4)

(3)一個(gè)n變量函數(shù)，它的最小項(xiàng)表達(dá)式形式下標(biāo)號與最大項(xiàng)表達(dá)式形式下標(biāo)號恰好互補(bǔ)，而且最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的下標(biāo)號的總和為2n

。

例如,F=∑m(0，1，3，6)可轉(zhuǎn)換為F=

M(2,4,5,7)

【例2－3－6】試將邏輯函數(shù)Y=ABC+BC化為最大項(xiàng)乘積的形式。

解

2.4邏輯函數(shù)的化簡

2.4.1公式化簡法

公式化簡法的原理就是反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式，來消去函數(shù)式中多余的乘積項(xiàng)和多余的因子，以求得函數(shù)式的最簡形式。公式化簡法經(jīng)常使用的方法歸納如下。

1.并項(xiàng)法

常運(yùn)用公式AB+AB=A將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)?！纠?－4－1】

2.吸收法

常利用公式A+AB=A消去多余項(xiàng)AB。3.消項(xiàng)法：

利用公式：消去多余項(xiàng)BC。【例2－4－3】

4.消因子法

常利用公式A+AB=A+B消去多余因子A。

【例2－4－4】

5.配項(xiàng)法

(1)利用A+A=A配項(xiàng)。

【例2－4－5】

(2)利用A+A=1配項(xiàng)。

【例2－4－6】化簡時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用以上方法?！纠?－4－7】化簡函數(shù)解【例2－4－8】化簡函數(shù)方法2先將或與表達(dá)式轉(zhuǎn)換成它的對偶式(與或表達(dá)式)形式，再對對偶式(與或表達(dá)式)進(jìn)行化簡，最后將化簡后的結(jié)果再取對偶，即得到原函數(shù)的最簡或與表達(dá)式。先求F的對偶式并進(jìn)行化簡：再求F*的對偶式，即可見，兩種化簡方法結(jié)果是相同的。2.4.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

1.卡諾圖的概念

卡諾圖是由美國工程師卡諾首先提出的一種描述函數(shù)的特殊方格圖。我們知道，描述一個(gè)邏輯函數(shù)可以用它的真值表，但直接把真值表作為運(yùn)算工具十分不方便。如果將真值表變換成方格圖的形式，并按循環(huán)碼的規(guī)則來排列變量的取值組合，即可得到卡諾圖。所以，卡諾圖是變形的真值表，它的每一個(gè)小方格對應(yīng)真值表上的一行，即對應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)。n變量函數(shù)的卡諾圖應(yīng)該有2n個(gè)小方格，且任意兩個(gè)相鄰小方格所代表的最小項(xiàng)只有一個(gè)變量取值不同，稱為邏輯相鄰項(xiàng)。卡諾圖上，最小項(xiàng)排列的規(guī)則是幾何相鄰的最小項(xiàng)必須邏輯相鄰，邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以合并。利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理是：具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并。用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的突出優(yōu)點(diǎn)是簡便直觀、規(guī)律性強(qiáng)，因而在邏輯電路的設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。

圖2－4－1所示為3變量和4變量的卡諾圖。3變量的卡諾圖有23個(gè)小方塊，4變量的卡諾圖有24個(gè)小方塊。圖形兩側(cè)標(biāo)注的0和1表示使對應(yīng)小方格內(nèi)最小項(xiàng)為1的變量取值，并且這些取值對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為對應(yīng)的最小項(xiàng)序號。圖2－4－1

3變量和4變量卡諾圖

2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

既然任何一個(gè)n變量邏輯函數(shù)都能表示成最小項(xiàng)之和的形式，而n變量卡諾圖則包含了n變量的所有最小項(xiàng)，所以任何一個(gè)n變量函數(shù)都可用n變量卡諾圖來表示。

由真值表畫卡諾圖時(shí)，先根據(jù)邏輯函數(shù)的輸入變量個(gè)數(shù)畫出卡諾圖，再將真值表的值填寫在每一個(gè)小方格中即可。需注意二者的順序不同。

【例2－4－9】已知邏輯函數(shù)Y的真值表如表2－4－1所示，要求畫出Y的卡諾圖。表2－4－1邏輯函數(shù)Y的真值表

解該函數(shù)為3變量。先畫出3變量函數(shù)卡諾圖，然后根據(jù)真值表將8個(gè)最小項(xiàng)的取值0或者1填入卡諾圖中對應(yīng)的8個(gè)小方格中即可,如圖2－4－2所示。

由最小項(xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖時(shí)，只需把邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式中包含有的最小項(xiàng)在對應(yīng)的小方格中填入1，其余的小方格中填入0即可。圖2－4－2函數(shù)Y的卡諾圖

【例2－4－10】畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0，3，5，7，9，12，15)的卡諾圖。

解該函數(shù)為4變量邏輯函數(shù)。先畫出4變量函數(shù)卡諾圖，然后根據(jù)函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式將卡諾圖中最小項(xiàng)m0、m3、m5、m7、m9、m12、m15對應(yīng)的小方格中填入邏輯1，其余的小方格填入邏輯0即可,如圖2－4－3所示。圖2－4－3例2－4－10卡諾圖對非標(biāo)準(zhǔn)邏輯函數(shù)表達(dá)式，將之變換成最小項(xiàng)表達(dá)式后再畫圖。

有些函數(shù)變換成最小項(xiàng)表達(dá)式時(shí)十分繁瑣，可以采用直接觀察法來填卡諾圖。基本原理是：在邏輯函數(shù)的與或式中，乘積項(xiàng)中只要有一個(gè)變量因子取值為0，該乘積項(xiàng)則為0，相應(yīng)方格填0；只有所有變量因子的取值全部為1時(shí)，該乘積項(xiàng)才為1。如果乘積項(xiàng)中沒有包含全部變量因子，即不是最小項(xiàng)，但只要乘積項(xiàng)中現(xiàn)有變量因子能滿足使該乘積項(xiàng)為1的條件，該乘積項(xiàng)的值即為1。圖2－4－4函數(shù)的卡諾圖

1)卡諾圖中最小項(xiàng)合并的規(guī)律

2個(gè)最小項(xiàng)相鄰，可消去1個(gè)取值不同的變量而合并為1項(xiàng)，圖2－4－5示出了2個(gè)最小項(xiàng)合并的例子。4個(gè)最小項(xiàng)相鄰，可消去2個(gè)取值不同的變量而合并為1項(xiàng)，圖2－4－6示出了4個(gè)最小項(xiàng)合并的例子。8個(gè)最小項(xiàng)相鄰，可消去3個(gè)取值不同的變量而合并為1項(xiàng)，圖2－4－7示出了8個(gè)最小項(xiàng)合并的例子。圖2－4－5

2個(gè)最小項(xiàng)合并舉例圖2－4－6

4個(gè)最小項(xiàng)合并舉例圖2－4－7

8個(gè)最小項(xiàng)合并舉例

2)利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

在卡諾圖上化簡邏輯函數(shù)時(shí)，采用畫圈合并最小項(xiàng)的方法。函數(shù)化簡后乘積項(xiàng)的數(shù)目等于合并圈的數(shù)目；每個(gè)乘積項(xiàng)所含變量因子的多少，取決于合并圈的大小。合并圈越大，合并后乘積項(xiàng)中變量數(shù)就越少，表達(dá)式越簡單?？傊?，化簡原則是合并圈數(shù)盡可能少，每個(gè)合并圈盡可能大。多余項(xiàng)：一個(gè)主要項(xiàng)的圈如果不包含有“特定”1格，也就是它所包含的1格均被其它的主要項(xiàng)圈所覆蓋，這個(gè)主要項(xiàng)就是多余項(xiàng)，也稱冗余項(xiàng)。如圖2-4-8（c）中的AB，它所包含的兩個(gè)1格分別被AC和BC圈所覆蓋，因此它是一個(gè)多余項(xiàng)。圖2－4－8主要項(xiàng)、必要項(xiàng)及多余項(xiàng)舉例用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時(shí)，需注意：

①卡諾圖中的每個(gè)“1”都要圈到。每個(gè)圈必須包含2i個(gè)“1”，并且合并圈盡量地大。

②“1”可被重復(fù)圈，但每圈至少要包含一個(gè)自己特有的“1”格。

③圈完后，進(jìn)行圈內(nèi)變量的化簡，變量之間的關(guān)系是相與。

④圈與圈之間的關(guān)系是相或，最后得最簡與或式。用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：

①畫出邏輯函數(shù)相應(yīng)的卡諾圖。

②圈出所有沒有相鄰項(xiàng)的孤立1格主要項(xiàng)。

③找出只有一種合并可能的1格，從它出發(fā)把相鄰2i個(gè)1格圈起來，構(gòu)成主要項(xiàng)。

④剩下的1格可以在多種合并方式中選擇一種來加圈合并，所選的合并方式必須使所有1格都無遺漏地至少被圈一次，而且總?cè)?shù)最少。

⑤圈內(nèi)變量相與，圈與圈之間相或，得最簡與或式。

【例2－4－11】化簡函數(shù)。

解畫出函數(shù)Y的卡諾圖如圖2－4－9所示?？ㄖZ圖化簡得最簡與或式為

【例2－4－12】化簡函數(shù)F=∑m(1，2，4，5，6，7，11，12，13，14)。

解

(1)作出相應(yīng)的卡諾圖，如圖2－4－10(a)所示。為了敘述方便，在卡諾圖中可標(biāo)出函數(shù)F的最小項(xiàng)號碼，也可在對應(yīng)最小項(xiàng)中填1。

(2)圈出沒有相鄰項(xiàng)的孤立最小項(xiàng)m11，如圖2－4－10(b)所示。圖2－4－9例2-4-11卡諾圖圖2－4－10例2－4－12卡諾圖化簡

【例2－4－13】化簡F=∑m(0，2，5，6，7，8，9，10，11，14，15)。

解作出相應(yīng)的卡諾圖，如圖2－4－11所示。首先從只有一種圈法的最小項(xiàng)開始，從m0出發(fā)圈出∑m(0，2，8，10),從m5出發(fā)圈出∑m(5，7),從m9出發(fā)圈出∑m(8，9，10，11)。余下的最小項(xiàng)m6、m14、m15均有兩種圈法，在這些不同的圈法中，應(yīng)選取既采用最少的圈數(shù)又能將余下的最小項(xiàng)全部圈入的圈法，即只用一個(gè)圈∑m(6，7，14，15)就將余下的最小項(xiàng)m6、m14、m15全部覆蓋。因此，F(xiàn)化簡后的表達(dá)式為圖2－4－11例2－4－13卡諾圖化簡前面所述是對卡諾圖中所有1格進(jìn)行加圈合并，得到函數(shù)的最簡與或式。同理，也可以對卡諾圖中所有0格進(jìn)行加圈合并，得到函數(shù)的最簡或與式。