項目3單相正弦交流電路3.1正弦交流電的概念3.2正弦量的表示法3.3正弦電路定律的相量形式3.4阻抗串并聯(lián)的計算3.5正弦交流電路穩(wěn)態(tài)分析3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率及功率因數(shù)的提高3.7諧振項目3單相正弦交流電路【項目要求】理解正弦交流電的基本概念；熟悉正弦交流電的表示方法；理解相量的概念；掌握單相正弦交流電路的分析和計算方法；理解功率因數(shù)概念。1.知識要求（1）理解正弦交流電的基本特性、表示方法及其相量表示；（2）理解單個參數(shù)的正弦交流電路特點，掌握其相量計算方法；（3）理解復(fù)合正弦交流電路的特點，掌握其相量計算方法；（4）理解正弦電路中阻抗、阻抗角的意義及其在電路中的計算；（5）理解串聯(lián)諧振的意義和條件，了解并聯(lián)諧振的意義和條件；（6）理解正弦交流電路的不同功率之間的關(guān)系，掌握其計算方法。2.技能要求（1）能夠運用交流電壓表、交流電流表和功率表測量電路等效參數(shù)；（2）能夠掌握日光燈電路連接方法?！緦嵤┠繕?biāo)】（1）掌握運用相量法分析正弦電路；（2）能夠運用三表法測量電路等效參數(shù)；（3）掌握日光燈電路連接方法，研究改善電路功率因數(shù)的途徑；（4）運用仿真軟件演示RLC串聯(lián)電路的幅頻特性及諧振時的條件和特點。【實施器材】（1）電源、導(dǎo)線、自耦變壓器、日光燈管、電容器、鎮(zhèn)流器（電感線圈）、白熾燈、電感線圈；（2）交流電流表、交流電壓表、功率表；（3）計算機、Multisim軟件【實施步驟】（1）講解項目要求的相關(guān)知識；（2）搭建測試電路，能夠運用三表法測量在正弦交流信號激勵下的元件值或阻抗值，并能夠判斷電路的阻抗性質(zhì)；（3）掌握日光燈電路連接方法，研究改善電路功率因數(shù)的途徑；（4）運用仿真軟件演示RLC串聯(lián)電路的幅頻特性及諧振時的條件和特點。【實訓(xùn)報告】實訓(xùn)報告內(nèi)容包括實施目標(biāo)、實施器材、實施步驟、測量數(shù)據(jù)、比較數(shù)據(jù)，并總結(jié)體會。【相關(guān)知識】

3.1正弦交流電的概念案例3.1

常用的家用電器如電視、照明燈、冰箱等采用是都是交流電，其交流電產(chǎn)生原理見圖3-1所示。即使是采用直流電的家用電器如復(fù)讀機等也是通過穩(wěn)壓電源將交流電轉(zhuǎn)變?yōu)橹绷麟姾笫褂?。這些電器設(shè)備的電路模型在交流電路中的規(guī)律與直流電路中的規(guī)律是不一樣的，因此本節(jié)分析交流電路的特征及相應(yīng)電路模型的交流響應(yīng)。3.1.1正弦量的三要素i—正弦量的瞬時值。Im—正弦量的振幅，也稱為最大值。ω—正弦量的角頻率，國際單位制中，角頻率的單位是弧度?秒-1(rad·s-1)。

—正弦量的相位角，簡稱為相位，是隨時間變化的角度。為時的相位角，稱為初相角或初相位。初相位的單位用弧度或度表示，通常在主值范圍內(nèi)取值，即；初相位值與計時零點有關(guān)。由式可知一個正弦量的特征由振幅、角頻率(或頻率)、初相角來確定，因此，振幅、角頻率(或頻率)、初相角稱為正弦量的三要素。3.1.2正弦電壓、電流有效值若周期電流為正弦量時，可得例3-1一個正弦交流電的初相角為30o，在時刻的電流值為2A，試求該電流的有效值。解根據(jù)式(3-1)，代入已知條件，有亦即所以則電流的有效值3.1.3同頻率正弦量的相位差則電壓與電流的相位差為了使超前、滯后的概念更確切，規(guī)定。若，則稱u超前于i；若，則稱u滯后于i；若，則稱u與i同相；若，則稱u與i正交；若，則稱u與i反相。

若，則電壓u的初相角比電流i的初相角滯后

，即u相位滯后于i相位。若，則電壓u的初相角比電流i的初相角超前

，即u相位超前于i相位。若，電壓u與電流i同相位。例3-2有兩個正弦電壓分別為，

，問兩個電壓的相位關(guān)系如何?

解按照的規(guī)定，根據(jù)將轉(zhuǎn)換表示為因此u1相位滯后于u2相位90o?！舅阋凰恪?.1.1如果正弦波的8個周期需要2ms，求角頻率。3.1.2一個電容量只能承受1000V的直流電壓，試問能否接到有效值1000V的交流電路中使用？為什么？3.2正弦量的表示法3.2.1復(fù)數(shù)的實部、虛部和模如圖3-4所示，有向線段A可用復(fù)數(shù)表示為A=a+jb。r表示復(fù)數(shù)的大小，稱為復(fù)數(shù)的模。有向線段與實軸正方向間的夾角，稱為復(fù)數(shù)的幅角，用表示，規(guī)定幅角的絕對值小于180°。復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)式為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式復(fù)數(shù)的運算3.2.2正弦量的向量表達(dá)式由于正弦量和有向線段有相似的特征，故可以用復(fù)數(shù)表示正弦量。為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，我們把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量，并在大寫字母上打“·”表示。

——電壓的幅值相量；

——電壓的有效值相量。電壓和電流的相量圖按照正弦量的大小和相位關(guān)系，共用初始位置的有向線段畫出的若干個相量的圖形，稱為相量圖。例3-3試寫出表示，和

的相量，并畫出相量圖。解分別用有效值相量UU、UV和UW。表示正弦電壓uU、uV和uW

，則相量圖如圖3-6所示?！鞠胍幌搿?.2.1指出下列各式中的錯誤。（1）（2）3.2.2當(dāng)時，一定有嗎？成立嗎？3.3正弦電路定律的相量形式

3.3.1基爾霍夫定律的相量形式正弦交流電路中各支路電流、電壓都是同頻率的正弦量，因此可以用相量法將基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）轉(zhuǎn)化為相量形式

.3.3.2電阻、電感、電容元件伏安關(guān)系的相量形式1．電阻元件伏安關(guān)系的相量形式2．電感元件伏安關(guān)系的相量形式，即電感元件的端電壓有效值等于電流有效值、角頻率和自感三者之積。，即電感上電壓相位超前電流相位。

3．電容元件伏安關(guān)系的相量形式例3-4一個的電感元件，其兩端電壓為

，求流過電感元件的電流。解用相量法求解，【算一算】3.3.10.7H的電感在50Hz時的感抗為多少？的電容在120Hz時的容抗為多少？3.3.2一個電容在1KHz時的容抗的大小為20Ω，那么20KHz時該電容的容抗大小為多少？3.4阻抗串并聯(lián)的計算

3.4.1阻抗和導(dǎo)納對一個含線性電阻、電感和電容等元件，但不含獨立電源的單端口，當(dāng)它在角頻率為的正弦電壓(或正弦電流)激勵下處于穩(wěn)定狀態(tài)時，端口的電流(或電壓)將是同頻率的正弦量。因此定義端口電壓相量與電流相量的比值為該端口的阻抗(又稱復(fù)數(shù)阻抗)，用大寫字母Z表示，其圖形符號如圖3-10(b)所示。，稱為交流電阻，簡稱電阻；，稱為交流電抗，簡稱電抗；

為阻抗Z為阻抗的模，即端口電壓有效值與電流有效值之比。為阻抗角，即電壓與電流的相位差。導(dǎo)納(又稱復(fù)數(shù)導(dǎo)納)定義為同一端口上電流相量與電壓相量之比，用Y表示。

，稱為交流電導(dǎo)，簡稱電導(dǎo)；，稱為交流電納，簡稱電納。3.4.2電路的阻抗計算當(dāng)RLC串聯(lián)電路在角頻率為的正弦電壓激勵下，得串聯(lián)RLC電路的復(fù)阻抗其中為感抗，為容抗，稱為串聯(lián)電路的電抗。按阻抗的代數(shù)形式，R、X、之間的關(guān)系可以用一個直角三角形表示(如圖3-11所示)。這個三角形稱為阻抗三角形。

（1）當(dāng)時，，電路中電壓超前電流，電路呈感性。時，，電路中電壓滯后電流，電路呈容性。時，，電路中電壓和電流同相，電路呈電阻性。（2）當(dāng)（3）當(dāng)例3-5電路如圖3-12(a)所示，已知

，R=2Ω、L=2H、C=0.25F，求電路中電流和各元件上的電壓。解畫出原電路的相量模型如圖3-12(b)所示，根據(jù)已知條件得到根據(jù)(3-19)式得故瞬時值表達(dá)式為：例3-6電路如圖3-13所示，R1=15Ω、R2=15Ω、XL=15Ω、XC=15Ω，電源電壓。試求：(1)電路的等效阻抗Z；

(2)電流、和。解（1）（2）由分流公式得：【算一算】3.4.1在80Hz時，一個20Ω的電阻和一個20mH的電感串聯(lián)的阻抗大小是多少？3.4.2求在800Hz時阻抗大小為12Ω的電容值和電感值。此電容和電感在在1.6kHz時的電抗是多少？將這個電容和電感串聯(lián)起來，頻率為1.2kHz時的阻抗為多少？3.5正弦交流電路穩(wěn)態(tài)分析分析線性電阻電路的各種定律、定理和分析方法，如KCL、KVL，電阻串、并聯(lián)的規(guī)則和等效變換方法，支路電流法，節(jié)點電壓法，網(wǎng)孔電流法、疊加定理及戴維南定理等均可推廣應(yīng)用于正弦交流電路中。二者的區(qū)別在于電阻電路得到的方程為代數(shù)方程，運算為代數(shù)運算；而正弦交流電路得到的方程為相量形式的代數(shù)方程(復(fù)數(shù)方程)，運算為復(fù)數(shù)運算。例3-7電路如圖3-14(a)所示，已知

，R=20Ω，L=20mH，，求。解畫出圖3-14(a)所示電路的相量模型圖，如圖3-14(b)，根據(jù)已知條件將電壓源用相量表示為則：由KCL得：瞬時值表達(dá)式為例3-8電路如圖3-15(a)所示，，用戴維南定理求解。

解如圖3-15(b)所示電路，將負(fù)載斷開，求開路電壓U0，得如圖3-15(c)所示電路，將電壓源短路，求等效內(nèi)阻抗Z0，得戴維南等效電路如圖3-16所示，電流為

，得

【算一算】3.5.1圖3-17電路中R1=100Ω，R2=100Ω，R3=50Ω，，L3=50mH，U=100V，求各支路電流。3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率及功率因數(shù)的提高案例3.2

電氣設(shè)備及其負(fù)載都要提供或吸收一定的功率。如某臺變壓器提供的容量為250kVA，某臺電動機的額定功率為2.5kW，一盞白熾燈的功率為60W等等。由于電路中負(fù)載性質(zhì)的不同，它們的功率性質(zhì)及大小也各自不一樣。前面所提到的感性負(fù)載就不一定全部都吸收或消耗能量。所以我們要對電路中的不同功率進(jìn)行分析。案例3.3

電力系統(tǒng)中的負(fù)載大多是呈感性的。這類負(fù)載不僅消耗電網(wǎng)能量，還要占用電網(wǎng)能量，這是我們所不希望的。日光燈負(fù)載內(nèi)帶有電容器就是為了減小感性負(fù)載占用電網(wǎng)的能量。這種利用電容來達(dá)到減小占用電網(wǎng)能量的方法稱為無功補償法，也就是本節(jié)后面提到的提高功率因數(shù)。3.6.1正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

1．瞬時功率

2．平均功率(有功功率)P稱為該端口的功率因數(shù)角稱為該端口的功率因數(shù)，通常用λ表示對電阻元件R3．無功功率在工程上我們引入無功功率的概念，用Q表示，其表達(dá)式為對電感元件L對電容元件C4．視在功率電力設(shè)備的容量是由其額定電流與額定電壓的乘積決定的，定義單端口電路的電流有效值與電壓有效值的乘積為該端口的視在功率，用S表示。即視在功率表征了電氣設(shè)備容量的大小。在使用電氣設(shè)備時，一般電壓、電流都不能超過其額定值。視在功率的量綱與有功功率相同，為了反映與有功功率的區(qū)別，在國際單位制(SI)中，視在功率的單位用伏安(VA)或千伏安(kVA)表示。5．功率三角形例3-9將電阻R=60Ω，電感L=255mH的線圈串聯(lián)后，接入頻率為f=50Hz，電壓U=220V的交流電路中，分別求出XL、┃Z┃、UR、UL、、P、Q、S。

解感抗阻抗電流電阻兩端電壓電感兩端電壓回路的功率因數(shù)有功功率無功功率視在功率3.6.2功率因數(shù)的提高

1．功率因數(shù)提高的意義根據(jù)有功功率的計算公式可知，發(fā)電機、變壓器等電氣設(shè)備輸出的有功功率(即負(fù)載消耗的有功功率)，與負(fù)載的功率因數(shù)有關(guān)。如一臺的變壓器，當(dāng)負(fù)載的功率因數(shù)時，變壓器提供的有功功率為；當(dāng)負(fù)載的功率因數(shù)時，變壓器提供的有功功率為?？梢娙粢浞掷迷O(shè)備的容量，應(yīng)提高負(fù)載的功率因數(shù)。同時功率因數(shù)的提高，還可以降低輸電線路的電能損耗，并有利于提高供電質(zhì)量和供電效率。2．功率因數(shù)提高的方法例3-11有一臺220V，50Hz，100kw的電動機，功率因數(shù)為0.6。(1)在使用時，電源提供的電流是多少?無功功率是多少?(2)如欲使功率因數(shù)達(dá)到1，需要并聯(lián)的電容器電容值是多少?此時電源提供的電流是多少?無功功率是多少?

解(1)由于所以電源提供的電流無功功率(2)并聯(lián)C后，，即，所以無功功率則電容提供的無功功率由于因此需并聯(lián)的電容器的電容值為此時電源提供的電流【算一算】3.6.1如果功率因數(shù)為0.75（滯后），電流滯后電壓的角度是多少？3.6.2如果有功功率為600W，無功功率為－300var，視在功率為多少？3.7諧振案例3.4在無線電技術(shù)中常應(yīng)用串聯(lián)諧振的選頻特性來選擇信號。收音機通過接收天線，接收到各種頻率的電磁波，每一種頻率的電磁波都要在天線回路中產(chǎn)生相應(yīng)的微弱的感應(yīng)電流。為了達(dá)到選擇信號的目的，通常在收音機里采用如圖3-23所示的諧振電路。把調(diào)諧回路中的電容C調(diào)節(jié)到某一值，電路就具有一個固有的頻率。如果這時某電臺的電磁波的頻率正好等于調(diào)諧電路的固有頻率，就能收聽該電臺的廣播節(jié)目，其它頻率的信號被抑制掉，這樣就實現(xiàn)了選擇電臺的目的。3.7.1