勾股定理折疊問題專項(xiàng)訓(xùn)練（共30道）

一、單選題

1.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm.現(xiàn)將直角邊AC沿直線力。折疊，使它落

在斜邊力B上，且與4E重合，則CD等于（）

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【答案】c

【分析】本題考勾股定理與折疊問題，勾股定理求出ZB的長，折疊，得到乙4E。=〃=90°fAE=ACtCD=DE,

設(shè)在RtaOEB中，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：=90°,AC=6cm,BC=8cm,

.,.AB=V62+82=10cm,

,?,折疊,

：.Z.AED=Z-C=90°,AE—AC—6cm,CD=DE,

"DEB=90°,BE=AB—AE=4cm,

設(shè)CO=xcm,則：DE=xcm,BD=BC—CD=（8—%）cm,

由勾股定理，得：（8—X）2=/+42,

解得：x=3；

.--CD=3cm；

故選C.

2.如圖，長方形紙片ZBCD中，AB=6,AD=18,將此長方形紙片折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)”

的位置，折痕為EF,則BE的長度為（）

H

A.6B.10C.24D.48

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題；由折疊可知ED=BE,設(shè)4E=x,BE=ED=18—%,利用勾股定

理進(jìn)行分析計(jì)算即可.

【詳解】解：由折疊可知ED=BE,

設(shè)4E=x,BE=EZ)=18—招

22

由勾股定理可得+AE=BE,

BP62+x2=(18—x)2,

解得％=8,

BE=18-8=10,

故選：B.

3.如圖，三角形紙片4BC中，/.BAC=9Q°,AB=2,AC=3,沿4。和EF將紙片折疊，使點(diǎn)8和點(diǎn)C都落在

邊BC上的點(diǎn)尸處，則2E的長是()

【答案】A

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得4P=4B=2,ZB=^APB,CE=PE,乙C=ACPE,可得乙4PE=90。，繼而設(shè)4E=%,則

CE=DE=3-x,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：???沿過點(diǎn)/的直線將紙片折疊，使點(diǎn)8落在邊BC上的點(diǎn)尸處，

-.AP=AB=2,Z.B=Z.APB,

???折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)尸重合，

:.CE-PE,Z.C-Z.CPE,

=90°,

：./.B+/.C=90°,

■.^APB+乙CPE=90°,

■.AAPE=90°,

.'.AP2+PE2=AE2,

設(shè)/E=x,

則CE=PE=3-x,

.-.22+(3—%)2=%2,

解得X=葺，

即2E=?

6

故選：A.

4.如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=18cm,BC=24cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線4。折疊,使它落

在斜邊4B上，且與4E重合，則BD的長為()cm.

【答案】A

【分析】本題主要考查勾股定理、圖形折疊的性質(zhì)，設(shè)BD=xcm,則CD=DE=BC—BD=(24—x)cm,

根據(jù)B￡>2=BE2+DE2,即可求得答案.

【詳解】解：由勾股定理，得：AB=VXC2+BC2=30cm

根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知AC=4E=18cm,CD=DE,貝—4E=12cm.

設(shè)BD=xcm,貝iJCD=DE=BC—BD=(24—%)cm.

根據(jù)B￡)2=BE2+DE2,可得

%2=122+(24-x)2

解得：x=15

所以，BD=15cm.

故選：A

5.如圖，在△ABC中，AB=5,BC=3,zC=90°,將△ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在力B邊上的點(diǎn)E處，

則線段CD的長為()

43

A.4B.-C.3D.—

【答案】B

【分析】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用勾股定理列方程

解決問題是求解的關(guān)鍵；求出4C=AMB2—BC2=4,根據(jù)將△ABC沿4)折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處,

知N4E0=NC=90。=ABED,CD=DE,4E=aC=4,故BE==1,由勾股定理，即可解得

CD.

【詳解】解：--AB=5,BC=3,ZC=90°,

AC=7AB2一BC2=V52-32=4,

?.?將△ABC沿2。折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，

?-?Z.AED=“=90°=/.BED,CD=DE,AE=AC=4,

.■.BE^AB-AE=5-4=1,BD=BC—CD=3—CD,

在RtZkBDE中，BD2=DE2+BE2,

???(3-CD)2=C￡)2+l2,

解得CD=l，

故選：B.

6.如圖，在長方形48CD中，AB=3cm,BC=4cm.將長方形沿對角線AC折疊，點(diǎn)O落在了。位置，AD'

與BC相交于點(diǎn)￡.則BE的長等于()

_2r5

C.^cmD-6?

【答案】A

【分析】本題主要考查了圖形的折疊問題，勾股定理.設(shè)BE=xcm,貝|EC=(4—x)cm,根據(jù)題意可證得

△ABE三ACED',可得BE=EO=%cm.在Rt^CE。中，根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于x的方程，求解即可得

到答案.

【詳解】解：設(shè)BE=%cm,貝歸。=(4—%)cm.

根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得：CD=CD'ZD=LD'.

???四邊形48CD為長方形，

：.AB=CD=3cm,Z-B=乙D=90°.

：.AB=CD'=3cm/B=Z-D'=90°.

在△ZBE和△CEO,中

vzB=Z-D',Z-AEB=Z-CED'tAB=CD',

△ABE=△CEO，(AAS).

：.BE=ED=xcm.

在Rt△CEO中，EC2=ED'2+CD，2

即(4—%)2=x2+32.

解得：久=(.

o

；.CBLE=-7cm.

o

故選：A.

7.如圖，有一張直角三角形的紙片ABC,兩直角邊AC=4,BC=8,現(xiàn)將Rt^ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)4重

合，得到折痕MN,則aacM的面積為()

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是明確翻折前后對應(yīng)邊相等，利用勾股定理列方程求解即

可.設(shè)BM=x,由翻折易得AM=B”,利用直角三角形ACM,勾股定理列出方程即可求得BM長，進(jìn)而可

求出△ACM的面積.

【詳解】解：由題意得AM=8M,

設(shè)AM=BM=x,則CM=8-x,

=90°,

???在RtZkZCM中，

根據(jù)勾股定理得：AM2-CM2=AC2,

-AC=4,

.,.%2—(8—x)2=16,

解得久=5即=5,

/.CM=8-5=3,

.-1

ZkACM的面積為5X4x3=6.

故選A

8.在RtaABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點(diǎn)，把a(bǔ)ABC沿著直

線DE折疊，頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)良，如果點(diǎn)⑶和頂點(diǎn)/重合，則CE的長為（）

A（B'）

【答案】c

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理.設(shè)CE=x,貝舫E=4—無，根據(jù)折疊的性質(zhì)，勾股定理列方

程求解即可；

【詳解】解：設(shè)CE=x,則BE=4—x,

由題意得4E=BE—4—x,

由勾股定理得SC?+CE2=AE2,

.,.32+x2=（4—x）2,

解得％=，

O

即CE的長為1

O

故答案為：C

9.如圖，在AIBC中，ZC=9O°,XC=6,BC=8,D,E分別在4C,BC上，S.DE||AB.將△力BC沿DE折疊,

使。點(diǎn)落在斜邊48上的尸點(diǎn)處，則/F的長是（）

A.3.6B.4C.4.8D.6.4

【答案】A

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是理解折疊前后圖形的形狀和大小不

變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.連接CF,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，CFIDE,得到根據(jù)勾股定理求出4F

的長.

【詳解】解：連接“，

又OEIIAB,

???CF1AB,

vzC=90。/。=6tBC=8,

：-AB=V62+82=10,

11

v-xACxBC=-xABxCF,

.-.CF=4.8,

■■■AF=y/AC2-CF2-V62-4.82=3.6,

故選：A.

10.如圖，直角△ABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,將△力BC沿AB折疊得△ABD,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)。，則點(diǎn)。至IJBC的距離為（）

A

12f24

c-3D.三或三

【答案】C

【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)、勾股定理和三角形面積公式，連接交48于區(qū)過。作于點(diǎn)

H,利用勾股定理和等面積法得到/仄CE和CD,再次利用勾股定理求得CH和

???將△沿折疊得△ABD,

.'.CD1AB,CE=DE,BC=BD=4

vzC=90°,AC=3,BC=4,

.t.AB=5,

■■-SAADG=,c?BC=-CE,

ACBC3x412

KE=H=虧=寸

則CD=g,

-DHIBCf

"DHC=乙DHB,

：,CD2-CH2=BD2-BH2,

則停）2_0/2=42_（4_加）2,解得

那么，DH=\CD2—CH2=

故選：c.

二、填空題

11.如圖，在△ABC中，AACB=90°,D、E分別為力B,AC上一點(diǎn)，將△BCD,△ADE分別沿CD、DE折

疊，點(diǎn)/、3恰好重合于點(diǎn)4處.則NE4C=°,若BC=3,AC=5,貝=

【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握翻折的性質(zhì)與勾股定理解三角形.根

據(jù)翻折的性質(zhì)得到NE4D=NA,乙DA'C=LB,由乙4+NB=90。，即可得到NE4C=NE4D+AD4

C=90。，由折疊的性質(zhì)可得：A'E=AE,A'C=BC=3,設(shè)4E=久，在Rt2\E4C中，根據(jù)勾股定理即可求

iHAE=l，

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，/.EA'D=/.A,Z.DA:C=/.B,

■■■/LACB=90°,

：.Z-A+=90°,

：.Z.EA'C=LEAD+Z.DA'C=90°,

由折疊的性質(zhì)可得：A'E=AE,A'C=BC=3,

設(shè)4E=x,貝i]EC=4C—4E=5—x,

在RtZkEAC中,A'E2+A'C2=EC2,

即：%2+32=(5—%)2,

解得：x=:

■■AE=I，

故答案為：90。；

12.如圖，在Rt^ABC中，AB=9,BC=6,AB=90。，如果將△ABC折疊，使4點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，

折痕為MN,那么線段力N的長是.

c

【答案】5

【分析】此題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較

強(qiáng).

設(shè)BN=X,則由折疊的性質(zhì)可得。7=47=9—居根據(jù)中點(diǎn)的定義可得8。=3,在Rt^BND中，根據(jù)勾

股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)BN=x,由折疊的性質(zhì)可得DN=4N=9—x,

???0是的中點(diǎn)，

■■.BD=3,

222

在RtZkBND中，x+3=(9-%),

解得尤=4.

即AN=9-x=5.

故答案為：5.

13.如圖，在△4BC中，AACB=90°,4c=4,BC=6,D、E分別是邊力B、BC上的點(diǎn)，把△BDE沿直線

DE折疊，頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在力C的中點(diǎn)，貝UCE的長度為.

【答案w

【分析】本題考查翻折變換（折疊問題），勾股定理，解答本題的關(guān)鍵要明確：在折疊過程中，對應(yīng)角和對

應(yīng)邊相等.點(diǎn)F是直角邊力C的中點(diǎn)，可以得到FC的長度，再利用翻折得到FE=BE,在Rt^FCE中利用勾

股定理即可求出CE的長.

【詳解】解：在RtaABC中，ZC=9O°,AC=4,BC=6,

???點(diǎn)F是直角邊4c的中點(diǎn)，

FC=^AC=2,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得△FDE三△BDE,

???FE=BE,

設(shè)CE為x,則：FE=BE=6—x,

在Rt2\FCE中：%2+22=(6-x)2,

解得：%=*

故答案為：*

14.如圖，已知長方形4BCD中，AD=6,AB=8,尸是4。邊上的點(diǎn)，將△ABP沿BP折疊，使點(diǎn)N落在點(diǎn)E

上，PE、BE與CD分別交于點(diǎn)。、F,且。D=0E,則4P=.

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，關(guān)鍵在于折疊所對應(yīng)的邊角相等，利用方程

的思想解題.根據(jù)題意證明△ODPmaOEF,再設(shè)出未知數(shù)，利用勾股定理列出方程解出即可.

【詳解】解：???四邊形4BC。是長方形，

.-.Z.A=NC=NO=90°,CD=AB=8,BC=4。=6,

由折疊的性質(zhì)得：EP=AP,BE=AB=8/E==90°,

在△OOP和△OEF中，

(乙D=CE

]OD=OE,

JDOP=乙EOF

??.△ODP=△OFF(ASA)

:,PD=FEtOP=OF,

：.DF—EP—AP,

設(shè)/P=x,則OF=x,FE=PD=6—x

:,CF=CD—DF=8—x,BF=BE—FE=%+2,

在RtZkBCF中,BC2+CF2=BF2,即62+(8—%)2=(%+2/

解得：x=y.

故答案為：y.

15.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=13,AC=5,尸是4B邊上一動點(diǎn)，將aPBC沿PC折疊,

點(diǎn)8落在用處，B,C交ZB于。，貝帕7)的最大值為.

【答案】勖卷

【分析】本題考查勾股定理，折疊問題，根據(jù)題意得出當(dāng)CD14B時，CD最小，B，D最大,再根據(jù)面積法求

出。。=瑞，根據(jù)折疊得：BC=Bt,進(jìn)而可得出答案.

【詳解】解：?.ZC=9O。，AB=13,AC=5,

■.BC=y/AB2-AC2=12,

根據(jù)折疊可知，CB'=CB=12,

則B'D=CB'-CD=12—CD,

.??當(dāng)CD最小時，夕D最大，

???垂線段最短，

.,.CD_L4B時，CD最小，

當(dāng)CO_L48時，SAABC=|XCXBC=XCD,

???此時CD=^=詈*，

此時夕D=12一切=1,

故答案為：y|-

16.如圖，已知△4BC為等腰直角三角形，AB=AC=4,點(diǎn)E為4C上一點(diǎn)，且CE=1,點(diǎn)。為邊上一

點(diǎn)，連接DE,將△4DE沿DE折疊得到△4DE,若E4的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)8,恥4D=.

A

【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理，設(shè)4。=%,由折疊得，A'

D=AD=x,A'E=AE=3,由勾股定理求出BE,在Rt△4DB中，由勾股定理，求出x的值即可.

【詳解】解:如圖，

：.AE=AC—CE=3,

在RtaZBE中，4/=90。，

：,BE2=AB2+AE2,

??.BE=7AB2+4E2=442+32=5,

設(shè)/。=x,

r

由折疊得，A'D=AD=xfAE=AE=3,

：.BA'=BE—A'E=2,BD=AB—AD=4—%,

在中，由勾股定理得=BA，2+042

.,.22+x2=(4—%)2,

解得，X=|,

3

?-AD=

故答案為：

17.如圖，在中，^ACB=90°,D、￡分別為ZB,AC上一點(diǎn)，將△BCD,△ADE分別沿CD、DE折

疊，點(diǎn)/、3恰好重合于點(diǎn)4處.若BC=3,AC=5,則AE=.

【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握翻折的性質(zhì)與勾股定理解三角形.根

據(jù)翻折的性質(zhì)得到NE4。=NA,ADA'C=/-B,由N4+/B=90。，即可得到=NE4。+NOA

C=90。，由折疊的性質(zhì)可得：A'E=AE,4c=8C=3,設(shè)4E=乂，在Rt^E4c中，根據(jù)勾股定理即可求

出4E=

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，NE4D=乙4,Z.DA'C-ZB,

■：^ACB=90°,

.??乙4+Z.B=90°,

：,Z.EA'C=/LEAD+Z.DA'C=90°,

由折疊的性質(zhì)可得：A'E=AE,A'C=BC=3,

設(shè)=則￡。=/。-4￡=5—%,

在RtZkE4c中,ArE2+A/C2=EC2,

即:x2+32=(5—%)2,

解得:x=l，

■-AE=I'

故答案為：:

18.如圖，在長方形紙片2BCD中，AB=8cm,AD=6cm.把長方形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE

交。C于點(diǎn)F,貝!J/F的長為cm.

CB

E

DA

【答案】T

【分析】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，由折疊的性質(zhì)可得4E=48=8,

CE=BC=AD=6,=LB=90°,由“AAS〃可證△CEF=△ADF,可得CF=AF,由勾股定理可求4F的

長.

【詳解】???把長方形紙片沿直線AC折疊，

??.AE=AB=8,CE=BC=AD=6,"=ZJ?=90°,

zE=ZD=90°,AD=CE,

在△CEF和△ZOF中，

(Z.E=z.D=90°

乙CFE=^AFD,

ICE=AD

.-.△CEF=Ai4Z)F(AAS),

??.CF=AF,

?.?AF2=DF2+4)2,

/.AF2=(8—4F)2+36,

_25

?4??Z7AF=

故答案為：Y-

19.己知直線/為長方形4BCD的對稱軸，AD=5,AB=6,點(diǎn)E為射線DC上一個動點(diǎn)，把△ADE沿直線4E

折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)。恰好落在對稱軸/上.則點(diǎn)。'到邊的距離是.

【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)折疊前后對應(yīng)邊相等，利用勾股定理求出D'N,再分點(diǎn)

。在長方形4BCD內(nèi)部與外部兩種情況，畫出圖形，即可求解.注意分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)直線/與CD交于點(diǎn)與4B交于點(diǎn)N,

???直線I為長方形4BCD的對稱軸，

AN=^AB=3,MNLAB,MN=AD=5,

由折疊的性質(zhì)可得4D'=AD=5,

■■■D'N=yjAD'2-AN2=<52-32=4.

分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)。在長方形4BCD內(nèi)部時，如圖:

MN—D'N=5—4=1；

故答案為：1或9.

20.如圖，長方形紙片ABCD,AB=10,2。=8,點(diǎn)P在4。邊上，將△CDP沿CP折疊，點(diǎn)。落在￡處,

PE,CE分別交力B于點(diǎn)。，F(xiàn),且。P=OF,則BF長為

【答案】y

【分析】本題考查了折疊，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題時常常設(shè)要求的線段長為

x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股

定理列出方程求出答案.折疊，得到PE=DP/E=ND=N4,CE=DC=10,證明△OEF三△OAP,得到

OA=OE,AP=EF,進(jìn)而得到4F=PE=DP,設(shè)4P=x,在RtZkCBF中，利用勾股定理進(jìn)行求解，進(jìn)而求

出BF的長.

【詳解】解：???長方形紙片力BCD,

.?2=NB=NC=90°,力。=BC=8,AB=CD=10,

r折疊,

:.PE=DP/E=AD=/.A.CE=DC=10,

■■■OP=OF,Z.AOP=乙EOF,

：.△OEF=△OAP,

.-.OA=OE,AP=EF,

.-.OA+OF=OE+OP,即：AF=PE,

:.AF-PE-DP,

設(shè)4P=x,貝"：EF=x,AF=PE=DP=AD-AP=8-x,

:.CF=10—x,BF=10—(8—x)=%+2,

在RtZkCBF,CF2=BF2+BC2,即：(10-x)2=(x+2)2+82,

解得：x=p

：.BF=^+2=y.

故答案為：?

三、解答題

21.如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，BC=6cm,AC=8cm,按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使

點(diǎn)C落在邊48的。點(diǎn).

(1)求DC'的長度；

(2)求的面積.

【答案】⑴3cm

(2)15cm2

【分析】本題主要考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)、三角形面積公式等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

(1)由勾股定理得4B=7AC2+BC2=10,設(shè)=%,由折疊的性質(zhì)得DC==x,從而可得=4,

4。=8—x,再由勾股定理得+。。，2=AD2t代入數(shù)值并求解即可；

(2)由三角形面積公式得,°。，即可求解.

【詳解】(1)解：???在Rt△力BC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,

.-.AB=yjAC2+BC2=10cm,

設(shè)。。=xcm,由折疊可得，4BCD=zC=90°,BC=BC=6cm,DC=DC=xcm,

：.Z.AC'D=90°,AC=AB—8C'=10—6=4cm,ADAC-DC8-x,

在中,可有+。。，2=4。2,

即42+/=(8—x)2,解得x=3,

.-.DC—3cm,

故DO的長度為3cm；

(2)解：結(jié)合(1),可知。。=3cm,AB=10cm,乙BCD=90。,

■'-^AABD=-DC=1x10X3=15cm2,

故△ABD的面積為15cm2.

22.如圖，在長方形A8CD中，將長方形沿EF折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)/重合，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G.若

AB=4,BC=8,求△4BE的面積.

【分析】由折疊的性質(zhì)得4E=CE,設(shè)4E=CE=x,在RtaABE中，建立方程，求出BE=3,再由三角形

面積公式即可求解.

本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹?/p>

角三角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得/E=CE,設(shè)==

vAB=4,BC=8,

.,.BE=BC—CE=8—%,

在RtaZBE中，AB2+BE2=AE2,即42+(8—％)2=/,

解得久=5,

??,BE=8—5=3,

△力BE的面積為BExAB=>3x4=6.

23.在RtZ\48C中，NC=90。，AC=6,BC=8,將△BDE沿直線DE折疊，使8落在AC的三等分點(diǎn)所處,

求CE的長.

【答案】CE的長度為冷或3

【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出aBCE的三邊的長度，然后利

用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論，設(shè)CE=x,則BE=BC—CE=8—x,再根據(jù)翻折

的性質(zhì)可得B'E=BE,然后分兩種情況求出夕C,再利用勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)CE=x,則BE=BC—CE=8—x,

???△沿直線0E折疊B落在用處，

??.B'E=BE=8—x,

???點(diǎn)/為ac的三等分點(diǎn),AC=6,

B'C=2或BK=4,

當(dāng)B￡=2時，在RtZXBCE中，

B'C2+CE2=B'E2,即22+N=(8一為2,

解得：x=%

當(dāng)夕C=4時，在RSB'CE中,

B'C2+CE2=B'E2,即42+/=(8—％產(chǎn),

解得：x=3,

綜上所述，CE的長度為牛或3.

24.如圖，在△ABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,D,E分別是線段4B和線段CB上的點(diǎn)，把△4BC沿

著直線DE折疊，若點(diǎn)8恰好與點(diǎn)/重合，求此時線段CE的長和△4ED的面積.

A

C/EB

【答案】CE的長為的面積為3

4o

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)折疊的性質(zhì)得出4。=BD,LADE=^BDE=90°,AE=BE,再根據(jù)勾股定理可求出4。的值，設(shè)

CE=x,則BE=4E=8—%，利用勾股定理得出4E=全OE=?,最后根據(jù)勾股定理即可得出答案.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：AD=BD,^ADE=^BDE=90°,AE=BE

在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,

■.AB=y/AC2+BC2=V624-82=10

.■.AD=^AB=|x10=5

設(shè)CE=x,貝gE=4E=8—K

22

在Rt2\ACE中，根據(jù)勾股定理得AC?+CE=AE

???62+x2=(8—%)2

7

即"=：,BE=AE=^-

在RtZkADE中，根據(jù)勾股定理得+￡）￡-2=AE2

：.52+DE2=停f

DE=^-（負(fù)值已舍去）

?"△.二夕止原若義5X9=3

25.把一張長方形的紙片力BCD沿對角線BD折疊，折疊后，邊BC的對應(yīng)邊BE交力。于F.

E

⑴求證：BF=(長方形各內(nèi)角均為90。)；

(2)若AB=6,BC=8,求DF的長.

【答案】①見解析

喑

【分析】本題考查了折疊問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；

(1)由折疊的性質(zhì)知，CD=ED,BE=BC,進(jìn)而證明△2BF三△EDF(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì),

即可得證；

7r

(2)勾股定理求得BD=10,由(1)知=根據(jù)+4產(chǎn)=B產(chǎn)得出DF=BF=?,即可求解.

4

【詳解】(1)證明：由折疊的性質(zhì)知，CD=ED,BE=BC.

???四邊形/BCD是長方形，

.'.AB=CD=ED,乙BAF=乙DCB=乙DEF=90°

在△AB尸和△ED尸中，

(2LBAF=(DEF=90°

Z.AFB=乙EFD,

IAB=ED

.-.△^F=AEZ)F(AAS),

??.BF=DF；

(2)解：??,四邊形ABC。是長方形，

???乙4=90°,AD=BC=8,

???BD=y/AB2+AD2=A/62+82=10,

由(1)知BF=DF,

AF=8-DF=8-BFf

???AB2+>1F2=BF2,

62+(8-BF)2=BF2,

25

■■-DF=BF=-.

26.如圖，把長方形紙片4BCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊力。上的點(diǎn)夕處，點(diǎn)4落在點(diǎn)4處.

(2)設(shè)4E=a,AB=b,BF=c,試猜想a,b,c之間的關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)a2+b2=c2,理由見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理，靈活利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對等邊即可說明；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)將/￡、NB、8b都轉(zhuǎn)化到直角三角形9E中，由勾股定理可得a,6,c之間的關(guān)系.

【詳解】⑴證明：由折疊的性質(zhì),得夕尸=8/，4B'FE=4BFE,

在長方形紙片ZBCD中，ADWBC,

:.乙B'EF=乙BFE,

:/B'FE=AB'EF,

：.B'F=B'E,

:.B'E=BF；

(2)解：a,b,c之間的關(guān)系是a2+/=?2.理由如下：

由(1)知9E=8F=c,由折疊的性質(zhì)，

得N4=NA=90°,A'E=4E=a,A'B'=AB=b.

在中，4r=90°,

所以4^2+492=QU,所以a2+b2=c2.

27.長方形紙片4BCD中，AD=8,4B=6,點(diǎn)E是BC邊上一動點(diǎn)，以4E為折痕折疊紙片，使點(diǎn)2落在點(diǎn)尸

處，連接FC,當(dāng)為直角三角形時，求8E的長.

【答案】3或6

【分析】本題考查折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等.也考查了長方形的性

質(zhì)，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵熟練掌握以上知識點(diǎn)的應(yīng)用及分類討論思想.

【詳解】解：如圖，當(dāng)4F、C共線時，Z.EFC=90°,

?.?四邊形4BCD是長方形，

:/B=90°,AD=BC=8,AB=DC=6,

■■.AC=7AB2+BC2=V62+82=10,

由折疊性質(zhì)可知：4B=2F=6,BE=EF,

：.CF=10—6=4,

設(shè)==貝l]EC=8—x,

在RtZ\EFC中，由勾股定理得：CE2=EF2+CF2,

即：（8—尤）2=42+%2,解得：X-3,

如圖，當(dāng)尸落在4D上時，ZCFF=90°,

-.AAEB=AAEF=45°,

.?.△4BE為等腰直角三角形，

：.BE=AB=6,

綜上可知：BE的長為3或6,

故答案為：3或6.

28.如圖1,/\ABCdp,ABAC=9Q°,AB=AC,D,E是直線BC上兩動點(diǎn)，且ND4E=45。.探究線段BD、

DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2,將△4BD沿AD折疊，得^ADF,連接EF,看

能否將三條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，...請你參照小明的思路，探究并解決下列問題：

AAA

BDECBD''4/ECD

'F

圖1圖2圖3

⑴猜想B。、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（2）如圖3,當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上，動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否

發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.

【答案】（1）"=BD2+EC2

⑵不變，DE2=BD2+EC2,證明見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)通過SAS證明△4EF三△AEC,得至Ij/DFE=45+45=90°,在RtZXDFE中，^DF2+FE2=DE2,即

DE2=BD2+EC2；

(2)作/凡40=NBA。,且截取AF=48,連接DF,連接FE,先證明△AFD=△2BD,再證明AFE=△ACE,

則NDFE=NAFD—NAFE=135°—45°=90°,^Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2,^DE2=BD2+EC2.

【詳解】(1)解：DE2=BD2+EC2,

圖2

???△力BC中，^BAC=90°,XS=AC,

：/B=NC=45°,

將△48。沿2。折疊，得△?!",連接EF

.?21=N2,4B=AF/B=^AFD=45°,BD=DF,

：.AF=AC,

?：/.DAE=Z.2+Z3=45°,

,?z3=45°-z2,

-/-BAC=90°,

.-.zl+z4=90°-45°=45°,

..24=45°-zl,

.*.z3=z.4,

,：AE—AE,

A?lEF=Ai4EC(SAS),

.-.zC=^AFE=45°,CE=FE,

=45+45=90。，

???在Rt△DFE中,有。尸2+FE2=DE2f即。后2=BD2+EC2.

(2)解：結(jié)論不變，DE2=BD2+EC2

作4=且截取=連接。F,連接FE,

?-,AD=AD

??.△AFDzAABD,

：.FD=DB,Z-AFD=乙ABD,

又;AB=A