定義與命題、證明

（2大知識(shí)點(diǎn)+5大典例+變式訓(xùn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

B題型預(yù)覽

典型例題一判斷是否是命題

典型例題二判斷命題真假

典型例題三舉例說(shuō)明假（真）命題

典型例題四寫出命題的題設(shè)與結(jié)論

典型例題五證明

展知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)01逆命題

在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論,而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條

件,那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題,如果把其中一個(gè)命題叫作原命題,那么另外一個(gè)命題就叫作它的逆命題

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?階段練習(xí)）下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.如果a>6,那么-a>-6B.如果那么a=6

C.如果。>6,那么/Ab?D.如果a=6=0,那么。6=0

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（24-25八年級(jí)上?浙江湖州?期末）命題：“任意兩個(gè)負(fù)數(shù)之和是負(fù)數(shù)”的逆命題是命題.（填“真”或

“假”）.

知識(shí)點(diǎn)02命題

1.命題的概念:在數(shù)學(xué)中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，我們將可判斷真假的陳述句叫作命題

2.命題定義中的兩個(gè)要點(diǎn)：“可以判斷真假”和“陳述句”，我們學(xué)習(xí)過(guò)的定理、推論都是命題.

3.分類

真命題:判斷為真的語(yǔ)句

假命題:判斷為假的語(yǔ)句

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

1.不是任何語(yǔ)句都是命題，不能確定真假的語(yǔ)句不是命題，如“x>2”，“2不一定大于3”.

2.只有能夠判斷真假的陳述句才是命題，祈使句，疑問(wèn)句，感嘆句都不是命題，例如：“起立"、“"是有

理數(shù)嗎?”、“今天天氣真好!,，等.

3.語(yǔ)句能否確定真假是判斷其是否是命題的關(guān)鍵，一個(gè)命題要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱兩

可，命題陳述了我們所思考的對(duì)象具有某種屬性，或者不具有某種屬性，這類似于集合中元素的確定性

命題的結(jié)構(gòu)：

（1）命題的一般形式為“若P，則g"其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.

（2）確定命題的條件和結(jié)論時(shí)，常把命題改寫成“若p,則q”的形式，

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

1.一般地，命題"若p則q"中的p為命題的條件q為命題的結(jié)論.

2.有些問(wèn)題中需要明確指出條件p和g各是什么，因此需要將命題改寫為“若p則g”的形式，

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期末）對(duì)于命題“若國(guó)>M，則x>N"，下面四組關(guān)于x,7的值中，能說(shuō)明它

是假命題的是（）

A.x=T,y=-lB.x=5,y=-2

C.x=l,》=OD.x=-3,y=-4

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（24-25八年級(jí)上?浙江湖州?期中）將命題“兩直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)”改寫成“如果……那么……”的形

式是,它是命題（填真或假）.

B-經(jīng)典例題

醫(yī)【典型例題一判斷是否是命題】

[例1]（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?期中）下列語(yǔ)句不是命題的是（）.

A.對(duì)頂角相等

B.同旁內(nèi)角互補(bǔ)

C.垂線段最短

D.在線段上取點(diǎn)C,使得C/=2C8

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?期中）下列句子中是命題的有（）

①正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)嗎？②兩點(diǎn)之間線段最短；③萬(wàn)不是無(wú)理數(shù)；④作一條直線和已知直線垂直.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?課后作業(yè)）有下列語(yǔ)句：①植物生長(zhǎng)都需要水；②負(fù)數(shù)大于正數(shù)；③

零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；④畫直角三角形/BC；⑤因?yàn)閍>b,所以a>c.其中，是命題的是

（填序號(hào)）.

【例4】（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?課前預(yù)習(xí)）下列語(yǔ)句在表述形式上，有什么共同特點(diǎn)？

（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；

（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

（3）對(duì)頂角相等；

（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式.

你的發(fā)現(xiàn)：這些語(yǔ)句都是對(duì)一件事情作出了.

像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫作.

注意：①只要對(duì)一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是.

②如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任何判斷，那么它就命題.

【例5】（24-25八年級(jí)上?浙江衢州?課后作業(yè)）數(shù)學(xué)源于生活.如圖，從風(fēng)箏的骨架我們可以抽象出一種特

殊的四邊形一箏形.

（1）請(qǐng)你給“箏形”下定義;

（2）根據(jù)你下的定義，畫出兩個(gè)不同的“箏形”，并分別用符號(hào)語(yǔ)言寫出每個(gè)圖中的數(shù)量關(guān)系;

（3）用示意圖表示下列概念之間的關(guān)系：四邊形、箏形、平行四邊形、長(zhǎng)方形.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí)）下列語(yǔ)句中，不是命題的是（）

A.相等的角是對(duì)頂角B.兩條直線不平行

C.延長(zhǎng)AB至UC使BC=ABD.兩點(diǎn)之間線段最短

2.（24-25八年級(jí)上?浙江金華?階段練習(xí)）下列語(yǔ)句中：①同角的補(bǔ)角相等；②雪是白的；③畫

ZAOB=Z1；④他是小張嗎？⑤兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).其中是命題的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期中）命題“兩個(gè)銳角的和是直角”是命題（填“真”或“假”）.

4.（2025?浙江?模擬預(yù)測(cè)）下列命題：①對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；

②點(diǎn)G是AABC的重心，若中線AD=6,則AG=3；

③若直線了=狂+6經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則k<0,b>0；

④定義新運(yùn)算：a*b=2a-〃，若（2x）*（x-3）=0,貝壯=1或9；

⑤拋物線了=-2/+4尤+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,1）.

其中是真命題的有—（只填序號(hào)）

5.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）如圖，直線a,b,c被直線加，〃所截，已知條件

①4BAC=^BDC；②UFE=LFED；@mlIn.

（1）從①②③中選出其中的兩個(gè)作為條件，第三個(gè)作為結(jié)論，可以構(gòu)造出多少個(gè)命題？

（2）寫出一個(gè)真命題，并證明.

6.（24-25八年級(jí)?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無(wú)比.

（1）如圖，EF//CD,數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖形特征添加一個(gè)關(guān)于角的條件，使得NBEF=

NCDG,并給出證明過(guò)程.

小麗添加的條件：ZB+ZBDG=18O°.

請(qǐng)你幫小麗將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

證明：???EF//CD（已知）

.?ZBEF=（）

■,■ZB+ZBDG=18O°（已知）

??.BC//（）

.-.ZCDG=（）

；ZBEF=NCDG（等量代換）

（2）拓展：如圖，請(qǐng)你從三個(gè)選項(xiàng)①DG//BC,②DG平分NADC,③ZB=NBCD中任選出兩個(gè)作為條件,

另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題，并加以證明.

①條件：—，結(jié)論：—（填序號(hào)）.

②證明：—.

◎【典型例題二判斷命題真假】

【例1】（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?單元測(cè)試）下列命題中，是真命題的是（）

A.如果同=W，那么。=6B.任何數(shù)的平方都大于0

C.若a=c,b=c,貝!6D.如果c<l,那么c，一1<0

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?單元測(cè)試）下列命題中，是真命題的是（）

A.同旁內(nèi)角互補(bǔ)B.同位角相等，兩直線平行

C.互補(bǔ)的兩個(gè)角必有一條公共邊D.一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江金華?期末）命題“如果力=/,那么。=6”是命題（填“真”或"假”）.

【例4】（2025八年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）命題“如果?！ㄍ遙〃c,那么?！╟”是命題（填“真”或

“假”）.

【例5】（24-25八年級(jí)上?浙江衢州?單元測(cè)試）判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，請(qǐng)舉出一

個(gè)反例進(jìn)行說(shuō)明.

（1）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角的和是180。；

（2）若孫=0,貝iJx=0或y=0；

⑶若。>方，則/>/；

（4）有公共頂點(diǎn)且相等的角是對(duì)頂角；

（5）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期中）下列命題是真命題的為（）

A.內(nèi)錯(cuò)角相等B.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.若。=b,貝!D.若尤2>0,貝iJx>0

2.（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期末）給出下列命題：①若同=同,則。=4；②若孫=0,則x,y同時(shí)為

0；③兩個(gè)負(fù)數(shù)的差一定是負(fù)數(shù)④如果工2>0,那么x>0,其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?單元測(cè)試）觀察下列各式：3z-22=3+2,42-32=4+3,52-42=5+4,

…，用文字語(yǔ)言表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：;用符號(hào)語(yǔ)言表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：;這是一個(gè)命題

（填嗔"或“假”）.

4.（2025八年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi)，下列四條命題：

①如果?！?,a±c,那么6_Lc；②如果6〃a,c//a,那么6〃c；③如果6-La,c±a,那么6_Lc；④

如果b_La,c-La,那么b〃c.其中假命題的是__.（填寫序號(hào)）

5.（24-25八年級(jí)上?浙江湖州?單元測(cè)試）判斷下列命題的真假，若是假命題，請(qǐng)舉出反例.

（1）若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等；

（2）若仍=0,則a+6=0.

6.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期中）（1）如圖，DE//BC,CDLAB,GFLAB,試說(shuō)明

ZCDE=NBGF；

（2）若把（1）中的已知與結(jié)論“/CZ）￡=/8G尸”對(duì)調(diào)，所得的命題是真命題還是假命題？請(qǐng)判

斷并說(shuō)明理由.

國(guó)【典型例題三舉例說(shuō)明假（真）命題】

[例1]（24-25八年級(jí)上?浙江衢州?階段練習(xí)）能說(shuō)明命題“對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,/>“，，是假命題的一個(gè)反例

可以是（）

A.a=2B.a=—C.a=-2D,〃=3

2

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?期中）能說(shuō)明命題“互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不相等”為假命題的是（）

A.a=/=90°B.a-（3=45°

C.a=80。，/?=100°D.a=40。，力=50。

【例3】（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）為了說(shuō)明命題“對(duì)于實(shí)數(shù)加，若（機(jī)-2）2>0,則加>2”是錯(cuò)誤的，加的

值可以是

【例4】（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期末）舉一個(gè)反例就可以說(shuō)明一個(gè)命題是假命題.要說(shuō)明命題“如果a

是無(wú)理數(shù)，6是無(wú)理數(shù)，那么。與6之積仍是無(wú)理數(shù)”是假命題，可以舉反例：.

【例5】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?課后作業(yè)）判斷命題“對(duì)于所有的正整數(shù)"，代數(shù)式“2-3〃+7的值是質(zhì)

數(shù)”的真假，并證明.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期中）對(duì)于命題“如果N1與N2互補(bǔ)，那么/1=/2=90。"，能說(shuō)明這個(gè)命題

是假命題的反例是（）

A.Z1=80°,Z2=110°B.Zl=10°,Z2=169°

C.Z1=60°,Z2=120°D.Z1=60°,Z2=140°

2.（24-25八年級(jí)上?浙江金華?期中）能說(shuō)明“銳角1與銳角。的和是銳角”是假命題的反例圖是（）.

3.（2025?浙江衢州?模擬預(yù)測(cè)）“銳角與鈍角是互為補(bǔ)角”是命題.（填寫“真”或“假”）

4.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）如圖，三角形4BC中，D,E是邊8C上的兩點(diǎn)，G是邊43上

一點(diǎn)，連接EG并延長(zhǎng).交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.現(xiàn)有以下條件：①/。平分NA4C；?EF//AD；③

ZAGF=ZF.從三個(gè)條件中選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，并加以證明.

條件：;

結(jié)論：.（填序號(hào)）

5.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期末）指出下命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷其真假，如果是假命題，舉出一個(gè)

反例.

（1）鄰補(bǔ)角是互補(bǔ)的角；

（2）同位角相等.

6.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?單元測(cè)試）閱讀下列語(yǔ)句，完成后面的題目.

①同類項(xiàng)的數(shù)字系數(shù)必相同；②若同=創(chuàng)，則a=6;③抗震救災(zāi)；④兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；⑤兩

點(diǎn)之間的線段是這兩點(diǎn)之間的距離；⑥今晚你去看電影嗎？

（1）其中屬于命題的是,不屬于命題的是（填序號(hào)）；

（2）其中屬于真命題的是（填序號(hào)）；

（3）對(duì)于每個(gè)假命題，你是怎樣判斷的？

后【典型例題四寫出命題的題設(shè)與結(jié)論】

[例1]（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?課后作業(yè)）下列描述是定義的是（）

A.aLbB.不相交的兩條線段是平行線

C.用“=”連接而成的式子叫作等式D.同角的補(bǔ)角相等

【例2】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期末）對(duì)真命題“平行于同一條直線的兩直線平行”的證明過(guò)程如圖所示,

A.①處為兩直線平行，同位角相等B.①處為同位角相等，兩直線平行

C.②處為同位角相等，兩直線平行D.②處為兩直線平行，同位角相等

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江湖州?課后作業(yè)）根據(jù)下面的條件，寫出一個(gè)結(jié)論，使之成為一個(gè)真命題.

（1）內(nèi)錯(cuò)角相等，

(2)如果|x—1|=0,那么,

【例4】（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?課后作業(yè)）寫出下列命題的條件:

（1）兩條直線相交有2對(duì)對(duì)頂角：；

（2）互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直：；

（3）同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行：；

（4）互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是鄰補(bǔ)角：.

【例5】（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論:

（1）如果。是有理數(shù)，那么小20；

（2）如果4=30°,/3=30°,那么

（3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

@變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?浙江湖州?期末）命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的條件是（）

A.垂直B,兩條直線互相平行

C.同一條直線D.兩條直線垂直于同一條直線

2.（24-25八年級(jí)上?浙江湖州?期末）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.“相等的角是對(duì)頂角”是假命題

B.“兩直線平行，同位角相等”是真命題

C.命題“三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形”的條件是“一個(gè)三角形是等邊三角形”

D.“若可＞2,貝鼠＞2”是假命題的反例可以是》=-3

3.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?階段練習(xí)）把命題“三角形的內(nèi)角和等于180?！备膶懗伞叭绻敲础钡男问?

如果,那么.

4.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?單元測(cè)試）“如果仍*0,那么。與6都不為零”這個(gè)命題的條件是,結(jié)

論是，利用反證法證明該命題時(shí)，我們要假設(shè).

5.（2025八年級(jí)上?浙江溫州?專題練習(xí)）根據(jù)下圖和命題“等腰三角形底邊上的中線是頂角的角平分線”寫出:

已知：

求證：

BDC

6.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?階段練習(xí)）如圖，有三個(gè)論斷:

①Z1=Z2；

②/B=/C；

@AB//CD.

（1）請(qǐng)你從中任選兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出所有的命題，并指出這些命題是真命題還是假命題;

（2）選擇（1）中的一個(gè)真命題加以證明.

醫(yī)【典型例題五證明】

【例1】（2025八年級(jí)上?浙江溫州?專題練習(xí)）能說(shuō)明命題“若/>從，貝I]a>6”是假命題的反例是（）

A.a=2,b=\B.a=2,b=—1C.a=-2,b=1D.a=—1,b=—2

【例2】（2025八年級(jí)上?浙江溫州?專題練習(xí)）某餐館有M、N、P、。、R等特色菜，因人手不足和食材調(diào)

配原因，顧客需根據(jù)如下規(guī)則點(diǎn)菜：

①不能同時(shí)點(diǎn)M和N；

②如果點(diǎn)了尸，就要點(diǎn)0或R；

③在。和S中必須點(diǎn)一個(gè)，且只能點(diǎn)一個(gè).

則以下組合中，符合點(diǎn)菜規(guī)則的是（）

A.Q、M、NB.S、N、PC.P、N、QD.M、P、R

【例3】（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期末）用反證法證明“已知，a>b,b>c.求證：a>c”.第一步應(yīng)先假

設(shè).

【例4】（2025?浙江衢州?模擬預(yù)測(cè)）描金又稱泥金畫漆，是一種傳統(tǒng)工藝美術(shù)技藝.起源于戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，在漆

器表面，用金色描繪花紋的裝飾方法，常以黑漆作底，也有少數(shù)以朱漆為底.描金工作分為兩道工序，第

一道工序是上漆，第二道工序是描繪花紋.現(xiàn)甲、乙兩位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作，每件

原料先由甲上漆，再由乙描繪花紋.每道工序所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如下：

原料

時(shí)間原料A原料3原料C

工序

上漆101613

描繪花紋15812

則完成這三件原料的描金工作最少需要小時(shí).

【例5】（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）與同伴玩撲克牌游戲：每個(gè)人從同一副撲克牌（去掉大、小王和

J,Q,K）中選擇4張黑色牌和4張紅色牌（黑色牌代表正分，紅色牌代表負(fù)分），使得8張牌的總分為

0.兩人輪流從同伴手中抽1張牌，10次以后，計(jì)算每人手中牌的總分，得分高者獲勝.

（1）作為游戲玩家，你希望抽到色牌，希望色牌被同伴抽走.

（2）游戲結(jié)束后，你手中牌的總分。與同伴手中牌的總分b的關(guān)系是.

（3）你可能得到的最高分是多少？請(qǐng)寫出你的計(jì)算過(guò)程.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）如圖，下列推理不正確的是（）

A.-：AB\\CD,.-.A45C+ZC=180O

B.?.Z1=N2,：.AD\iBC

C."ADWBC,.-.z3=z4

D.???ZJ+ZADC=180°,：.AB\\CD

2.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）某班選舉班干部，全班有40名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號(hào)分

別為1,2,40.老師規(guī)定：同意某同學(xué)當(dāng)選的記“1”,不同意（含棄權(quán)）的記“0”.

1,第，號(hào)同學(xué)同意第7?號(hào)同學(xué)當(dāng)選

如果令知/=

0,第，號(hào)同學(xué)不同意第7?號(hào)同學(xué)當(dāng)選

其中2,40;j=l,2,40.則2+念,2+。3,2+…+*0,2表示的實(shí)際意義是

)

A.同意第1號(hào)或者第2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)

B.同時(shí)同意第1號(hào)和第2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)

C.不同意第1號(hào)或者第2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)

D.不同意第1號(hào)和第2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)

3.（24-25八年級(jí)上?浙江金華?期中）好久未見的B,C,D,￡五位同學(xué)歡聚一堂，他們一見面便相互

握手一次，中途統(tǒng)計(jì)各位同學(xué)握手次數(shù)為：/同學(xué)握手4次，3同學(xué)握手3次，C同學(xué)握手2次，。同學(xué)握

手1次，請(qǐng)你推斷一下，E同學(xué)握手次.

4.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）用反證法證明（填空）：兩直線平行，同位角相等.

已知：如圖，直線4，4被4所截，A,8為交點(diǎn)，4〃，2.

即豐

過(guò)點(diǎn)/作直線乙，使乙與4所成的23與N2相等，則N3Z1,

所以直線乙與直線4不重合.

但乙〃4（），又已知4〃4,這與基本事實(shí)"”產(chǎn)生矛盾.所以

__________不成立.

所求證的結(jié)論成立.

5.（24-25八年級(jí)上?浙江?期中）閱讀下列材料:

XH=CH的解是無(wú)1=C,X2=—,X-----=C---的解是X]=C，無(wú)2=

XCCXCC

XH----C-\--的解是石=C,x2=—-----=—的解是X]=C,x2=—

XCCXCC

（1）請(qǐng)觀察上述方程與解的特征，猜想方程X-%=C-%的解分別為：,尤2=

XC

44

（2）利用這個(gè)結(jié)論可得關(guān)于'的方程；x+—=5：的解為：西=―x=-7

x52L

（3）利用這個(gè)結(jié)論求解關(guān)于％的方程：S322

x5

6.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期中）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，，（V^-V^）2>0，:.a-2冊(cè)+b?0,

:.a+b>2y[^b,只有。=6時(shí)，等號(hào)成立.結(jié)論：在a+b22&^（,均為正實(shí)數(shù)）中，若為定值，則

a+b>14ab,只有當(dāng)時(shí)，6有最小值2萬(wàn).根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：

（1）初步探究：若〃>0,只有當(dāng)"=_時(shí)，有乃+:1■最小值」

n

（2）深入思考：下面一組圖是由4個(gè)全等的矩形圍成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的長(zhǎng)和寬分

別為，，試?yán)么笳叫闻c四個(gè)矩形的面積的大小關(guān)系，驗(yàn)證a+622而，并指出等號(hào)成立時(shí)的條件；

（3）拓展延伸：如圖，已知/卜6,0）,3（0，-8）,點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸向坐標(biāo)軸作垂線,

分別交x軸和y軸于，兩點(diǎn)，矩形的面積始終為48,求四邊形面積的最小值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

過(guò)關(guān)檢測(cè)

1.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?階段練習(xí)）列語(yǔ)句中，是命題的是（）

A.連接/、3兩點(diǎn)B.畫一條線段等于已知線段

C.過(guò)點(diǎn)M畫直線尸。的垂線D.同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行

2.（24-25八年級(jí)上?浙江紹興?期末）對(duì)于命題“若則x>N"，下面四組關(guān)于了，》的值中，能說(shuō)明它

是假命題的是（）

A.x=-4,y=-lB.x=5,y——2

C.x=l,y=0D.x=-3,y=-4

3.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）下列四個(gè)命題:

①在同一平面內(nèi),已知直線a,b,c,如果a與b相交,6與c相交，那么。與c相交;

②在同一平面內(nèi),已知直線a,b,c,如果〃與b平行,6與c平行,那么。與c平行;

③在同一平面內(nèi),已知直線a,b,c,如果a與b垂直,b馬c垂直,那么“與c垂直;

④在同一平面內(nèi),已知直線a,b,c,如果Q與6平行,b與c相交,那么。與c相交.其中，真命題有

（）.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4.（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?期中）命題“同角的余角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式是（）

A.如果是同角的余角，那么相等B.如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等

C.如果兩個(gè)角是同角，那么這兩個(gè)角是余角D.如果兩個(gè)角互余，那么這兩個(gè)角相等

5.（2025?浙江?模擬預(yù)測(cè)）定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

已知：如圖，N/CD是“BC的外角.

求證：ZACD=ZA+ZB.

A

證法1:如圖，

'：ZA+ZB+ZACB=\80°（三角形內(nèi)角和定理），

又?.?乙4CQ+N/C8=180°（平角定義），

AZACD+ZACB=ZA+ZB+ZACB（等量代換）.

：.ZACD=ZA+ZB（等式性質(zhì)）.

<A

證法2：如圖，

???4=76。，NB=59。,

且44CZ）=135。（量角器測(cè)量所得），

XV135°=76°+59°（計(jì)算所得）,

ZACD=ZA+ZB（等量代換）.

<________________________）

下列說(shuō)法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整

B.證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理

D.證法2只要測(cè)量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

6.（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?階段練習(xí)）將命題“等角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果……那么……”的形式，可

寫成，該命題是（填“真命題”或“假命題”）.

7.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?期末）“末位數(shù)字是0的正整數(shù)能被2整除“，這個(gè)命題的條件是,結(jié)論

是,它是一個(gè)命題.（選填“真”或“假”）

8.（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?期末）用一個(gè)整數(shù)加的值說(shuō)明命題“代數(shù)式2〃/-5的值一定大于代數(shù)式/-1

的值.”是錯(cuò)誤的，這個(gè)整數(shù)加的值可以是.（寫出一個(gè)即可）

9.（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期末）對(duì)于下列命題：①若a>b,則a?>b2；②在銳角三角形中，任意兩個(gè)

內(nèi)角和一定大于第三個(gè)內(nèi)角；③無(wú)論x取什么值，代數(shù)式x2—2x+2的值都不小于1；④在同一平面內(nèi)，

有兩兩相交的3條直線，這些相交直線構(gòu)成的所有角中，至少有一個(gè)角小于61。.其中，真命題的

是—.（填所有真命題的序號(hào)）

10.（2025?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）盒子里有甲、乙、丙三種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成

一顆乙粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會(huì)變成第三種粒子，例如一顆甲粒子和一顆乙粒子發(fā)生碰撞

則變成一顆丙粒子，現(xiàn)有甲粒子6顆，乙粒子4顆，丙粒子5顆，如果經(jīng)過(guò)各種兩兩碰撞后，只剩下1顆

粒子，給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是甲粒子；②最后一顆粒子一定不是乙粒子；③最后一顆