第5講小專題:動態(tài)平衡和臨界極值問題

考點(diǎn)一動態(tài)平衡問題

1.動態(tài)平衡

(1)所謂動態(tài)平衡問題，是指通過控制某些物理量，使物體的受力情況發(fā)生緩慢變化，而在這

個過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)。

(2)基本思路:化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。

2.分析動態(tài)平衡問題的方法

(1)圖解法:一個力恒定，另一個力的方向恒定時可用此法。例如:擋板P由豎直位置沿逆時

針方向向水平位置緩慢旋轉(zhuǎn)時小球受力的變化(如圖所示)。

(2)解析法:如果物體受到多個力的作用，可進(jìn)行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，根據(jù)

自變量的變化確定因變量的變化。

(3)相似三角形法:一個力恒定、另外兩個力的方向同時變化，當(dāng)所作矢量三角形與空間的

某個幾何三角形總相似時用此法。(如表所示)

力的矢量三角形

受力分析比例

和幾何三角形相似

F0F0

l耳

G_FN「尸

ahXB

hdI

/rN

A

〃/4

〃/4

又

hF

G_FN_F

FNhRI

777777；////////

7777

G

C-K

G_￡_/N

RIR

（4）力的外接圓法和正弦定理法:一力恒定,另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變

的動態(tài)平衡問題，可利用力的外接圓法或正弦定理法。

力

1

的

外作出某狀態(tài)三個力的矢量三角形,根據(jù)不同位置判斷另外兩個

接力的大小變化

圓

法

正

弦物體受三個共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài),對表示三個力的矢量

組成的封閉三角形，根據(jù)正弦定理可推出反若人、a

定sinasm〃siny

理

4不變、伏或y）的變化導(dǎo)致尸2（或B）變化

法

［例1］【圖解法】如圖所示，裝有足球的輕網(wǎng)兜系在釘子上，墻壁光滑。將網(wǎng)繩在釘子上多

繞幾圈后，則（）

［A］網(wǎng)繩上的拉力變小

［B］網(wǎng)繩上的拉力不變

［C］墻壁對足球的支持力變大

［D］墻壁對足球的支持力不變

【答案】C

【解析】方法一圖解法把三力放在一個矢量三角形中，如圖甲所示，當(dāng)網(wǎng)繩長度減小

時,0增大,矢量三痢形中，隨著6角增大，尸T變大尸N變大，故C正確。

Fti“

甲乙

方法二解析法對足球受力分析如圖乙所示，

設(shè)網(wǎng)繩與豎直方向的夾南為a將網(wǎng)繩在釘子上多繞幾圈后，繩子長度減小,，增大，由平衡條

件可得G=FT2=FrcosO,網(wǎng)繩的拉力戶T隨著，的增大而增大,A、B錯誤;由平衡條件可得

打v/TiWsinO,解得尸N=GtanO,所以墻壁對足球的支持力隨著6的增大而增大,C正確,D錯

、口

O

［例2］【解析法】（2024?山西大同三模）如圖所示,某大型吊燈半徑為凡質(zhì)量為跖且質(zhì)量分

布均勻，通過四根相同長度的細(xì)線懸掛在天花板上半徑為廠的固定圓盤上，已知KR,重力加

速度為g,四根細(xì)線均勻?qū)ΨQ分布，且長度可調(diào)節(jié)。下列說法正確的是（）

［A］每根細(xì)線對吊燈的拉力大小均為:Mg

［B］將四根細(xì)線同時縮短相同長度,細(xì)線的張力大小不變

［C］將四根細(xì)線同時伸長相同長度，細(xì)線的張力減小

［D］去掉一根細(xì)線，假設(shè)吊燈位置保持不變，余下三根細(xì)線上的張力大小相等

【答案】C

【解析】設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為仇以吊燈為研究對象，豎直方向有4尸Tcos，=〃g,可得

每根細(xì)線對吊燈的拉力大小為尸r=^■呼，故A錯誤;將四根細(xì)線同時縮短相同長度，則6

變大,cosO變小，根據(jù)尸r=a，可知細(xì)線的張力變大，故B錯誤;將四根細(xì)線同時伸長相同長

度，則6變小,cosG變大,根據(jù)尸r=/彩，可知細(xì)線的張力變小，故C正確;去掉一根細(xì)線，假設(shè)吊

燈位置保持不變，由于余下三根細(xì)線在水平方向的分力不是互成120。,水平方向根據(jù)受力

平衡可知，余下三根細(xì)線上張力的水平分力大小不相等,所以余下三根細(xì)線上的張力大小

不相等，故D錯誤。

［例3］【相似三角形法】（2024?山東濰坊二模）（多選）如圖所示,一輕桿通過較鏈固定在豎直

墻上的。點(diǎn),輕桿的另一端C用彈性輕繩連接，輕繩的另一端固定在豎直墻上的4點(diǎn)。某

人用豎直向下、大小為尸的拉力作用于C點(diǎn),靜止時/OC構(gòu)成等邊三角形。下列說法正

確的是（）

［A］此時彈性輕繩的拉力大小為F

［B］此時彈性輕繩的拉力大小為2F

［C］若緩慢增大豎直向下的拉力，則在OC到達(dá)水平位置之前，輕繩NC的拉力增大

［D］若緩慢增大豎直向下的拉力，則在OC到達(dá)水平位置之前，輕桿OC對C點(diǎn)的作用力減

小

【答案】AC

【解析】輕桿通過較鏈固定在豎直墻上的。點(diǎn)，可知輕桿對C端的支持力方向沿桿的方

向,輕繩的拉力方向與力尸成120。角，則輕桿的彈力方向在輕繩拉力與廠的龜平分線上，可

知輕繩上的拉力大小為F,選項(xiàng)A正確,B錯誤;對。點(diǎn)受力分析如圖，

由相似三角形可知會察尊,若緩慢增大豎直向下的拉力尸，則在OC到達(dá)水平位置之前，

/IC//ICUC

輕繩NC的拉力產(chǎn)T增大，輕桿。。對C點(diǎn)的作用力尸N變大，選項(xiàng)C正確,D錯誤。

［例4］【力的外接圓法或正弦定理法】某中學(xué)為增強(qiáng)學(xué)生體魄，組織學(xué)生進(jìn)行多種體育鍛

煉。在某次鍛煉過程中，一學(xué)生將鉛球置于兩手之間,其中兩手之間夾角為60。。保持兩手

之間夾角不變而右手由圖所示位置沿順時針方向緩慢旋轉(zhuǎn)60。至水平位置。不計一切摩

擦，則在轉(zhuǎn)動過程中，下列說法正確的是（）

O

［A］右手對鉛球的彈力一直增大

［B］右手對鉛球的彈力先增大后減小

［C］左手對鉛球的彈力一直增大

［D］左手對鉛球的彈力先增大后減小

【答案】B

【解析】方法一力的外接圓法以鉛球?yàn)檠芯繉ο?受重力G、右手對鉛球的彈力為

和左手對鉛球的彈力尸2,受力分析如圖甲所示，緩慢旋轉(zhuǎn)過程中鉛球處于平衡狀態(tài),則將三

力平移后構(gòu)成一首尾相連的三角形，兩手之間夾角保持60。不變,兩力之間的夾角保持120。

不變，在力矢量三角形中，尸1與尸2夾角保持60。不變，重力G的大小方向不變，作出力三角形

的外接圓,在右手由圖示位置沿順時針方向緩慢旋轉(zhuǎn)60。至水平位置過程中,力的三角形變

化如圖甲所示，分析可得尸1開始小于直徑，當(dāng)轉(zhuǎn)過30。時尸1等于直徑,再轉(zhuǎn)時又小于直徑，

所以/1先增大后減小，尸2開始就小于直徑,轉(zhuǎn)動過程中一直減小，選項(xiàng)B正確。

方法二正弦定理法以鉛球?yàn)轫骄繉ο?受重力G、右手對鉛球的彈力E及左手對鉛

球的彈力色,受力分析如圖乙所示，緩慢旋轉(zhuǎn)過程中鉛球處于平衡狀態(tài)，將三力平移后構(gòu)成

一首尾相連的三角形，兩手之間夾角保持60。不變，右手由圖示位置緩慢旋轉(zhuǎn)的角度設(shè)為女

根據(jù)正弦定理有:。一.，胃皿一.右手由圖示位置沿順時針方向緩慢旋轉(zhuǎn)60°至水

sm60°sin（6O0+0）sm（6O°-0）

平位置過程中，。由0。變?yōu)?0。息11（60。+。）先變大再變小，所以F1先增大后減小,sin（60。-。）一

直變小，所以/2一直減小，選項(xiàng)B正確。

［變式］在［例4］中，若保持兩手之間夾角不變胳右手由圖所示位置沿逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)30。至

豎直位置，則在轉(zhuǎn)動過程中，左、右手對鉛球的彈力大小如何變化？

【答案】右手對球的作用力逐漸減小，左手對球的作用力逐漸增大

【解析】整個過程球處于動態(tài)平衡，兩手對球的支持力尸1和兄之間的夾角始終為60。,受

力分析如圖所示,當(dāng)轉(zhuǎn)動到右手豎直時，由圖可知該過程中右手對球的作用力尸1逐漸減小,

左手對球的作用力尸2逐漸增大。

方法總結(jié)

分析動態(tài)平衡問題的流程

受力分析化"動"為"髀:畫不同狀態(tài)下的受力平衡圖構(gòu)造矢量三角形“靜"中求”動:

’里”根據(jù)矢量三角形邊長關(guān)系確定矢量的

大小變化

,工“(三角函數(shù)關(guān)系

強(qiáng)場(正弦定理一找關(guān)系求解

、(相似三角形

考點(diǎn)二平衡中的臨界、極值問題

1.臨界、極值問題特征

(1)臨界問題:當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀

態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能""恰好'’等語言敘述。

常見的種類：

①由靜止到運(yùn)動,摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

②繩子恰好繃緊，拉力F=0?

③剛好禺開接觸面,支持力Z*N=0o

(2)極值問題:平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。

2.解決極值和臨界問題的三種方法

物理

根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行

分析

動態(tài)分析,確定最大值或最小值

法

極限正確進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn);臨界條件必須在

法變化中尋找，不能在一個狀態(tài)上研究臨界問題，要把某個物理量推向極大或極小

數(shù)學(xué)

通過對問題的分析,根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系（畫出函數(shù)圖像），用

分析

數(shù)學(xué)方法求極值（如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值）

法

［例5］【物理分析法】（2024?甘肅武威階段練習(xí)）（多選）如圖所示，一質(zhì)量為5kg的小球用長

為L的輕質(zhì)細(xì)線連接，現(xiàn)用一水平力尸拉小球,使細(xì)線偏離豎直方向30。,然后逆時針緩慢

轉(zhuǎn)動力/至豎直方向，在轉(zhuǎn)動過程中小球靜止不動,g取lOm/s?,那么廠的大小可能為（）

[A]15N[B]30N

[C]50N[D]100N

【答案】BC

【解析】如圖，小球受重力mg、細(xì)線拉力FT、拉力F,三個力的合力為零，逆時針緩慢轉(zhuǎn)動

力尸至豎直方向的過程中，尸先減小后增大。初位置尸="陪tan30°*28.9NL與細(xì)線垂直時

最小，為尸=;〃gsin30°=25N;豎直位置尸=mg=50N。故A、D錯誤,B、C正確。

mg

［變式］如圖，若再用一根輕質(zhì)細(xì)線把另一個球A豎直懸掛在同一點(diǎn)，并用另一根輕質(zhì)細(xì)線連

接兩球，兩球均處于靜止，三根細(xì)線均處于拉直狀態(tài)，那么尸轉(zhuǎn)動過程中豎直細(xì)線和連接兩

球的細(xì)線拉力如何變化?［例5］中的四個選項(xiàng)哪些是正確的?若把連接兩球的細(xì)線換成輕桿

呢？

①30。

A

【答案】見解析

【解析】對球A受力分析，受重力和豎直細(xì)線的拉力，根據(jù)受力平衡,連接兩球的細(xì)線拉力

為零,豎直細(xì)線拉力等于球A的重力，所以尸轉(zhuǎn)動過程中，豎直細(xì)線和連接兩球的細(xì)線拉力

不變尸的最大值、最小值與［例5］中相同，答案仍為BC。若把連接兩球的細(xì)線換成輕桿，

結(jié)論也是如此。

［例6］【極限法】（2024?重慶二模）如圖所示，兩根半圓柱靜止于粗糙程度處處相同的水平

地面上，緊靠但無相互作用力?，F(xiàn)將一根圓柱輕放在這兩根半圓柱上,三者均靜止。已知圓

柱和兩半圓柱的材料、長度、半徑、密度均相同，不考慮它們之間的摩擦，則半圓柱與水平

地面間的動摩擦因數(shù)至少為（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）（)

[A]-喈

【答案】B

【解析】設(shè)圓柱的質(zhì)量為相，則半圓柱的質(zhì)量為設(shè)圓柱與半圓柱之間的彈力大小為凡對

圓柱進(jìn)行受力分析，有21^0530。=加g,解得尸=苧喋,設(shè)地面對一個半圓柱的支持力為人,對

圓柱與半圓柱整體進(jìn)行分析有2人=（加玲?。ゞ,解得尸N=??g,三者始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，則對圓

柱和半圓柱在水平方向上有尸$抽3（）。斗外,解得〃

6

［變式］若用水平向右的力拉右側(cè)半圓柱A,使A緩慢移動，直至圓柱C恰好降到地面。整個

過程中左側(cè)半圓柱B保持靜止。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度為g。求半

圓柱與地面間動摩擦因數(shù)的最小值〃min。

【答案】y

【解析】對B受力分析，如圖所示,C恰好落地時,B受C壓力的水平分力最大，此時尸與豎

直方向夾角出60。，

對C有277cos60。=加g,

對B有尸f=Psin60。,且Ff=//minFNB,

解得〃min=^。

［例7］【數(shù)學(xué)分析法】（2024?安徽蕪湖二模）物理老師舉行技巧挑戰(zhàn)賽，要求用一根能承受

最大拉力為50N的細(xì)繩，盡可能拉動更重的物體，如圖所示。已知物體與水平面間的動摩

擦因數(shù)為手，取最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物體可視為質(zhì)點(diǎn)，則理論上利用這根細(xì)繩能

拉動物體的最大重力是（）

細(xì)繩

////////////////~/~7////

[A]50N[B]50V3N

[C]100N[D]100.3N

【答案】C

【解析】設(shè)繩子與水平方向的夾角為。時能拉動物體的最大重力為G,根據(jù)平衡條件知豎

直方向上有G-EnaxSinQAl,水平方向上有FmaxCOS0=Ff,又FLJUFN，聯(lián)立用F

G=（50V3cos<9+50sin<9）N=100sin（6>+60°）N0可知當(dāng)<9=30。時，重物的重力最大為100N。

方法點(diǎn)撥

輔助角公式的應(yīng)用

產(chǎn)acos6+加indjF+扭(二_cos8+、—sin。),

Va2+&2Va2+b2

令sinP=7^'C°S9=7^,

則有》=迎盯二心（sin夕cosS+cos夕sin。）

=Va2+h2sin(^+0),

2

所以當(dāng)9+。竹時，p有最大值，且^max=Va+b2o

國課時作業(yè)

（滿分:60分）

國基礎(chǔ)對點(diǎn)練

對點(diǎn)1.動態(tài)平衡問題

1.（4分）（2024?貴州一模）如圖所示，光滑斜面上小球被輕繩拴住懸掛在天花板上，斜面置于

粗糙水平地面上，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知細(xì)繩與豎直方向夾角為。，斜面傾角為

a=45o（*a）,現(xiàn)用力向右緩慢推斜面（推力在圖中未畫出），當(dāng)細(xì)繩與豎直方向的夾角6?=a時,

撤去推力。貝心）

[A]緩慢推動斜面時，斜面對小球的支持力保持不變

[B]緩慢推動斜面時，細(xì)繩對小球的拉力大小保持不變

[。。=0€時，地面對斜面體的摩擦力水平向左

[00=（/時，細(xì)繩對小球的拉力大小等于斜面對小球的支持力大小

【答案】D

【解析】對小球受力分析如圖所示，可知緩慢推動斜面時,斜面對小球的支持力僅其方向保

持不變,細(xì)繩對小球的拉力大小及方向均發(fā)生變化，故A、B錯誤;0=a時,地面對斜面體的摩

擦力水平向右，故C錯誤;0=a時，由矢量三角形法則可知細(xì)繩對小球的拉力大小等于斜面

對小球的支持力大小，故D正確。

2.（4分）（2024?山西太原一模）如圖甲所示用瓦片做屋頂是我國建筑的特色之一。鋪設(shè)瓦片

時,屋頂結(jié)構(gòu)可簡化為圖乙所示，建筑工人將瓦片輕放在兩根相互平行的楝條正中間后，瓦

片靜止在柳條上。已知楝條間距離為d,楝條與水平面夾角均為女最大靜摩擦力等于滑動

摩擦力。則（）

[A]僅減小6時，瓦片與每根橡條間的摩擦力的合力變大

[B]僅減小，時，瓦片與每根楝條間的彈力的合力變小

[C]僅減小1時，瓦片與每根楝條間的彈力變大

[D]僅減小d時，瓦片可能會下滑

【答案】D

【解析】垂直于檀條方向上瓦片的受力情況如圖所示，設(shè)兩楝條給瓦片的支持力與楝條垂

直向上的夾角為a,則有Zajcosan/Mgcosd,當(dāng)僅減小楝條間的距離d時，夾角a變小，則兩才稟條

給瓦片的支持力打N變小,最大靜摩擦力變小，則瓦片可能下滑，故C錯誤,D正確;當(dāng)僅減小0

時，根據(jù)R=〃?gsin，,可知瓦片與木稟條間的摩擦力的合力變小，根據(jù)2戶Ncosa=mgcos?？芍?當(dāng)

僅減小。時，瓦片與楝條間的彈力的合力變大，故A、B錯誤。

3.（6分）（2024?安徽滁州模擬X多選）如圖所示，質(zhì)量均為m的小球A、B用勁度系數(shù)為ki

的輕彈簧相連,B球用長為乙的細(xì)繩懸掛于O點(diǎn),A球固定在O點(diǎn)正下方。當(dāng)小球B平衡

時,細(xì)繩所受的拉力為尸n,彈簧的彈力為尸I；現(xiàn)把A、B間的彈簧換成原長相同但勁度系數(shù)

為的的＞質(zhì)）的另一輕彈簧，在其他條件不變的情況下仍使系統(tǒng)平衡，此時細(xì)繩所受的拉力為

尸T2,彈簧的彈力為尸2。下列關(guān)于尸T1與尸12、田與凡大小的比較，正確的是（）

[A]_FT1>7^T2[B]FT1=FT2

[C]FI<F2[D]FI=F2

【答案】BC

【解析】以小球B為研究對象,分析受力情況，如圖所示。由平衡條件可知,彈簧的彈力廠

和細(xì)繩的拉力/T的合力尸合與重力mg大小相等、方向相反，即尸合=加.由三角形相似得

震-二一2。當(dāng)彈簧勁度系數(shù)變大時，彈簧的壓縮量減小，故AB的長度增加，而OB、OA的

OAAB0B

長度不變，故FT不變,F變大，則尸11=尸!2內(nèi)＜尸2,故A、D錯誤,B、C正確。

4.（4分）（2024?廣東韶關(guān)二模）我們常用支架與底板垂直的兩輪手推車搬運(yùn)貨物。如圖甲所

示，將質(zhì)量為m的貨物平放在手推車底板上，此時底板水平;緩慢壓下把手直至底板與水平

面間的夾角為60。。不計貨物與支架及底板間的摩擦,重力加速度為4則（）

[A]當(dāng)?shù)装迮c水平面間的夾角為30。時，底板對貨物的支持力大小為等

[B]當(dāng)?shù)装迮c水平面間的夾角為30。時，支架對貨物的支持力大小為當(dāng)空

[C]壓下把手的過程中，底板對貨物的支持力一直增大

[D]壓下把手的過程中，支架對貨物的支持力一直減小

【答案】A

【解析】當(dāng)?shù)装迮c水平面間的夾角為30。時,對貨物受力分析如圖1所示，由平衡條件可得

FNICOS60°=FN2cos30°,八閭1160°+尸N2sin30°=mg,解得底板對貨物的支持力大小尸NI=9詈,支

架對貨物的支持力大小小號A正確,B錯誤;壓下把手的過程中，貨物的受力情況如圖2

所示,可知底板對貨物的支持力一直減小，支架對貨物的支持力一直增大,C、D錯誤。

FN1fN2

圖1圖2

5.（6分）（2024?安徽安慶階段練習(xí)）（多選）如圖所示，輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在

豎直桿必N上的°、6兩點(diǎn),懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)。如果

只人為改變一個條件，當(dāng)衣架靜止時（）

[B]繩的右端上移到6',繩子a端對桿拉力大小不變

[C]繩的兩端高度差越小，繩子a端對桿拉力越小

[D]若只換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣服架懸掛點(diǎn)不會左右移動

【答案】BD

【解析】如圖所示，因?yàn)橥桓K子上的拉力相等，所以兩側(cè)繩子是對稱的,與豎直方向夾

角相等。設(shè)繩子的長度為〃繩子與水平方向的夾角為，，則兩桿之間的距離等于Zcosd,繩

子一端上下移動時長度不變，兩桿之間的距離不變，則6角不變，根據(jù)平衡條件知居=尸2=

工，所以繩子上的拉力大小不變，故B正確,C錯誤。當(dāng)桿N向右移動后，兩桿之間的距離

2sin0

變大，繩長不變，所以0減小,sinO減小,繩子拉力變大，故A錯誤。繩長和兩桿距離不變的情

況下￡不變,所以只換掛質(zhì)量更大的衣服，懸掛點(diǎn)不會移動，故D正確。

6.（4分）（2024?湖南長沙一模）2023年11月28日,深中通道海底隧道全幅貫通，深中通道的

主體工程一西人工島使用世界最大十二錘聯(lián)動液壓振動錘組將57個巨型鋼圓筒精準(zhǔn)

牢固地打入海底巖層中。如圖甲、乙所示，每個圓鋼筒的直徑為28m、高40m,重達(dá)680t,

由若干根特制起吊繩通過液壓機(jī)械抓手連接鋼筒。某次試吊將其吊在空中,每根繩與豎直

方向的夾角為37。,如圖丙所示，每根繩所能承受的最大拉力為8.0X1（）5N,至少需要多少根繩

子才能成功起吊?(g取10m/s2,取sin37°=0.6,cos37°=0.8)()

[A]9根[B]10根

【答案】C

【解析】設(shè)“根繩拉力在豎直方向的分力矢量和與重力大小相等、方向相反，則

機(jī)g=〃Fcos37°,由題知尸W8.0X1（）5N,得心飛。一對:吧”/〃自即至少需要n根繩子才能

Fcos37°8.0x10x0.8

成功起吊。

7.（6分）（2024-山東泰安期末）（多選）如圖，將一個半球體置于水平地面上,經(jīng)過球心有一內(nèi)

徑很小的光滑豎井，柔軟光滑的輕繩繞過井口，一端連著s2豎直懸于豎井中,另一端沿著球

面與mi相連,兩物體均可看成質(zhì)點(diǎn)，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知此時mi與半球體的球心

。的連線與水平方向夾角A37。（取$出37。=0.6,8537。=0.8）,如與半球面的動摩擦因數(shù)為0.5,

并假設(shè)如所受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。貝1（）

[A]四■的最小值為當(dāng)[B]也的最小值為:

m211m22

[C]四的最大值為2[D]四?的最大值為弓

7n2771210

【答案】AC

【解析】對兩物體受力分析，考慮mi的摩擦力向上和向下的兩個臨界情況，有

加2g+〃加igsin37°=migcos37°,加2'g=M機(jī)igsin370+加igcos37°,解得吧=2,粵=4^。

m2血211

蝎綜合提升練

8.（4分）（2024?甘肅酒泉期末）如圖所示，假設(shè)用兩手指對稱抓球,手指與球心在同一豎直面,

手指接觸點(diǎn)連線水平且相距為〃球半徑為凡接觸點(diǎn)與圓心的連線和水平方向夾角為，，手

指和球間的動摩擦因數(shù)為“，球的質(zhì)量為加。已知重力加速度為g,最大靜摩擦力近似等于

滑動摩擦力，忽略抓球引起的球變形。貝!］（）

［A］每個手指對球的摩擦力大小均為4

［B］兩手指間距￡的取值范圍為￡：泰

［C］每個手指對球的壓力最小值為

2(〃cos6+sin。)

［D］手對球的壓力增大2倍時,摩擦力也增大2倍

【答案】B

【解析】對球受力分析，如圖，豎直方向有Ffcose^pjjsind/wg,貝尸fcos"1mg，所以Ff>m9,

222cos0

C

故A錯誤;由F曰F&有尸"sinO+|加g0加acosO,即F心焉懸而'故錯誤;因?yàn)槌?/p>

以

sind+^mg<juFttcosd,所以尸瓜sin3<fj.Facosd,可得〃〉tan，,則

L1

，即L>^=,ikB正確；當(dāng)球受到手的靜摩擦力時,F#〃尸處手對球的壓力增大2倍

2R

時,摩擦力不增大2倍，故D錯誤。

9.（6分）（2024?云南玉溪模擬）（多選）粗糙水平地面上有一質(zhì)量為M、傾角為30。的粗糙楔

形物體C,斜面上有一個質(zhì)量為2m的物塊B,B與一輕繩連接，且繞過一固定在天花板上的

定滑輪，另一端水平與一結(jié)點(diǎn)O連接一個質(zhì)量為m的小球A,右上方有一拉力乙初始夾角

a=135。,如圖所示。現(xiàn)讓拉力廠順時針緩慢轉(zhuǎn)動90。且保持a