重難點(diǎn)07導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題(舉一反三專項(xiàng)訓(xùn)練)

【全國通用】

題型歸納

【題型1判斷、證明或討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】.........................................................2

【題型2零點(diǎn)問題之唯一零點(diǎn)問題】............................................................3

【題型3零點(diǎn)問題之雙零點(diǎn)問題】..............................................................3

【題型4根據(jù)零點(diǎn)(個(gè)數(shù))情況求參數(shù)范圍】....................................................4

【題型5函數(shù)零點(diǎn)的證明問題】................................................................4

【題型6多零點(diǎn)的和、差、積與大小關(guān)系問題】..................................................6

【題型7隱零點(diǎn)問題】.........................................................................7

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】................................................................8

【題型9導(dǎo)數(shù)中函數(shù)零點(diǎn)的新定義問題】.........................................................9

命題規(guī)律

1、導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題在高考中占有很重要的地位，

是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考?？疾楹瘮?shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷或求參問題，三次函數(shù)與復(fù)

合函數(shù)的零點(diǎn)問題，以及函數(shù)零點(diǎn)與其他知識(shí)的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，復(fù)

習(xí)是要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

方;版巧

知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)問題的解題策略

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y成0，把使五x)=0的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)y或0的零點(diǎn).

(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程40=0有實(shí)數(shù)根Q函數(shù)y=/(x)的圖象與無軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)Q函數(shù)y=A尤)有零點(diǎn).

2.函數(shù)零點(diǎn)的判定

如果函數(shù)＞寸尤)在區(qū)間切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有八。)加6)＜0,那么函數(shù)在區(qū)間(。力)

內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ceg,b),使得＜°)=0,這個(gè)也就是八x)=0的根.我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

3.函數(shù)零點(diǎn)(個(gè)數(shù))問題的的求解方法

(1)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù)g(x),利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理:利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多

少個(gè)零點(diǎn).

(3)數(shù)形結(jié)合法:函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.

4.導(dǎo)數(shù)中的含參函數(shù)零點(diǎn)(個(gè)數(shù))問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)(個(gè)數(shù))問題主要有兩種方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)兀0的最值，轉(zhuǎn)化為人尤)圖象與X軸的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由?x)=0分離參變量，得a=g(x),研究y=a與y=g(尤)圖象的交點(diǎn)問題.

5.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略

與函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊

點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.

知識(shí)點(diǎn)2隱零點(diǎn)問題

1.隱零點(diǎn)問題

隱零點(diǎn)問題是指函數(shù)的零點(diǎn)存在但無法直接求解出來的問題，在函數(shù)不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合題目中常會(huì)遇到

涉及隱零點(diǎn)的問題，處理隱零點(diǎn)問題的基本策路是判斷;M性，合理取點(diǎn)判斷符號(hào)，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在

定理處理.

2.隱零點(diǎn)問題的解題策略

在求解函數(shù)問題時(shí)，很多時(shí)候都需要求函數(shù)在區(qū)間/上的零點(diǎn)，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致

解題過程無法繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)於)在區(qū)間/上存在唯一的零點(diǎn)(例如，函數(shù)負(fù)尤)在

區(qū)間/上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間/的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)時(shí)就可證明存在唯一的零點(diǎn))，這時(shí)可設(shè)出其零點(diǎn)

是XO.因?yàn)楠q不易求出(當(dāng)然，有時(shí)是可以求出但無需求出)，所以把零點(diǎn)尤0叫做隱零點(diǎn)；若XO容易求出，就

叫做顯零點(diǎn)，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行，實(shí)際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.

舉一反三

【題型1判斷、證明或討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

【例1】(2025?云南紅河?三模)函數(shù)/(%)=/一12%+16的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【變式1-1】(2025?寧夏銀川?三模)若函數(shù)/(久則g(x)=2[/(x)]2—13/0)+21

Ioefxu

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【變式1-2](2025?湖北恩施?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=2%-1一hrr,直線L%-y-3=0.

(1)若點(diǎn)P是函數(shù)y=/(%)圖象上的一點(diǎn)，求點(diǎn)尸到直線，距離的最小值；

(2)若g(%)=f(x)+tex-2%,討論函數(shù)g(%)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【變式1-3](2025?山東淄博?三模)已知函數(shù)/(%)=ln(%+租)+e-%—m.

（1）當(dāng)爪=，寸，判斷y=/（x）有無極值點(diǎn)，并說明理由；

（2）當(dāng)1<TH<3時(shí)，判斷函數(shù)y=/（%）在（1-m,+8）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并給出證明.

【題型2零點(diǎn)問題之唯一零點(diǎn)問題】

【例2】（2025?四川成都?三模）函數(shù)/（%）=2%—根一In%有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值是（）

A.1—ln2B.1+ln2C.In2D.—ln2

【變式2-1]（2025?遼寧大連?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（%）=?；?3+一%一1（。>0且。。1）在（0,1）上有

唯一零點(diǎn)，貝b的取值范圍是（）

33

A.2<a<eB.-<a<eC.1<a<-D.1<a<2

22

【變式2-2]（2025?云南曲靖?二模）已知函數(shù)/0）=^+產(chǎn)一2（0<（1<1,6>1）,若該函數(shù)有且只有一個(gè)

零點(diǎn)，則ab的值為（）

11

A.1B.4C.-D.e

eze

【變式2-3]（2025?河南?二模）若函數(shù)/（久）=2%3-3久2_a在區(qū)間（1,2）內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，貝b的取值范圍為

（）

A.（2,3）B.（0,1）C.（-1,4）D.（-1,0）

【題型3零點(diǎn)問題之雙零點(diǎn)問題】

【例3】（2025?湖南郴州?模擬預(yù)測）已知/⑺=meE-lnx（MN0）,若“久）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，"的取值

范圍為（）

A.（0,j）B,（0,1）C.&+8）D.區(qū),+8）

【變式3-1]（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（X）=且儀久）=〃久）一小久有

Ietxsu

兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍為（）

A.（一8,三）B.（~,e]C.（e,+8）D.（二+8）

【變式3-2]（2025?黑龍江大慶?三模）已知函數(shù)f（%）=|ln%|--2有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.(—e,*)B.[。，2)C.(—1,0]U圖D.(—e,0]u{才

【變式3-3](2025?陜西西安?模擬預(yù)測)若函數(shù)/O)=x3-3x+a在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.(0,2)B.(2,4-00)C.(0,1)D.(1,+oo)

【題型4根據(jù)零點(diǎn)(個(gè)數(shù))情況求參數(shù)范圍】

【例4】(2025?遼寧?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=六，若函數(shù)g(Y)=|/(x)]2+a/(x)-e2-ae恰有5個(gè)不同

1-^1

的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,—2e)B.(—co,—e)C.-1)D.(一%一：)

,(a-I--V*>0

【變式4-1](2025?貴州貴陽?一模)已知函數(shù)/(%)=%',若方程/(%)+e%=0存在三個(gè)不相等的

(e~x,x<0

實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(―8,e)B.(—co,—e)C.(—00,—2e)D.(—oo,2e)

【變式4-2】(2025?陜西漢中?二模)已知函數(shù)/(x)=『/一g(x)=/(X)—瓶光有4個(gè)零

點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍為()

A.(黑)B.(-2,0]U[1}C.(-2,0]U{i}D.(-^O]u(i,|)

r|3-2x|+1,x>0,

【變式4-3](2025?四川?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=(x+2)z若函數(shù)y=[/(久)]2-a/Q)有5個(gè)

I-7-1x—u-

不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,+oo)

【題型5函數(shù)零點(diǎn)的證明問題】

【例5】(2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(久)=(a+l)e*-久—2(a6R).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(久)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程；

⑵討論/⑺的單調(diào)性;

(3)證明:當(dāng)a22時(shí)，函數(shù)g(x)=}ae2x-/(久)只有一個(gè)零點(diǎn).

【變式5-1](2025?江西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=ex-ax2+x,g(x)=x,

(1)當(dāng)。=0時(shí)，證明：/(乃有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)若曲線y=/(%)與y=g(%)相切.

(i)求〃；

(ii)當(dāng)％>0時(shí)，證明：/(%)>^(x).

【變式5-2](2025?浙江金華?三模)已知函數(shù)/(%)=第一aln(l+%),aGR.

(1)當(dāng)a=1■時(shí)，求/(%)的極值；

⑵若/(%)在區(qū)間(一1,0)上存在零點(diǎn)%°,

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：當(dāng)一)V%V0時(shí),/(%)>/'(3).

【變式5-3](2025?遼寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=9cosx+aln(x+l)(a>0).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(%)的圖象在％=0處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1弓)內(nèi)存在極值點(diǎn)與，求a的取值范圍；

(3)證明：當(dāng)0<a<6時(shí)，/(X)在區(qū)間(—1,^)內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn).

參考數(shù)據(jù)：ln(n+1)?1.42.

【題型6多零點(diǎn)的和、差、積與大小關(guān)系問題】

【例6】(2025?河北衡水?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=InK+1-ax有兩個(gè)零點(diǎn)式],久2，且無1<刀2，則下列命

題正確的是()

2

A.a>1B.xr+x2<-

i

C.?冷<1D.x2—xr>--1

【變式6-1](2025?四川成都?一模)已知函數(shù)/'(%)=(Inx)2一+，/有三個(gè)零點(diǎn)％】、加、的且%iV%2V

X則膽+3+嶼的取值范圍是()

X1%2%3

A.(-W，。)B.(-1,0)C.(—卷,。)D.(-1,0)

【變式6-2](2025?湖北?二模)已知函數(shù)/(%)=e'-％ln%+zu%-l(meR).

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=/(%)在(1,/(1))處的切線方程；

⑵若f(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)%1，型-

(i)求實(shí)數(shù)血的取值范圍；

(ii)證明：％1第2<1.

【變式6-3](2025?廣東?二模)已知函數(shù)/(%)=mxlnx—%2+l(mGR).

(1)當(dāng)租=2時(shí),求曲線y=/(%)在點(diǎn)。0)處的切線方程；

(2)若f(%)有三個(gè)零點(diǎn)久V%2V%3)，

①求ZH的取值范圍；

421-1

②判斷久1-*2+*3與7n二的大小關(guān)系,并給出證明.

【題型7隱零點(diǎn)問題】

【例71(2025?新疆喀什?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=%+asinx-xcosx.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求/(%)在點(diǎn)(也/5))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(0,》上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式7-1](24-25高三上?遼寧鞍山?階段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=In%-a%+1,g(x)=x(ex—%).

(1)若直線y=2%與函數(shù)/(%)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)。=一1時(shí)，求證：/(x)<g(x)+x2.

【變式7-2](2025?重慶?三模)已知函數(shù)/(%)=(%-l)e%-a%+b,函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線

方程為％+y+2=0.

(1)求a,b的值；

(2)討論/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式7-3](2025?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)(a>0).

(1)求/(%)在區(qū)間上的最大值與最小值；

(2)當(dāng)a>1時(shí),求證：/(x)>Inx+%+1.

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】

【例8】(2025?安徽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=a%+sin%,曲線y=/(%)在(n,/(n))處的切線斜率為0.

⑴證明：函數(shù)f(%)在R上單調(diào)遞增；

(2)設(shè)g(%)=TH/+/(%),若7n4一；，判斷函數(shù)g(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

6

【變式8-1](2025?福建漳州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=sinx-aex.

(1)若a=1,求/(%)在[0,+8)上的最大值；

⑵若f(%)在[0,2可上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式8-2](2025?黑龍江哈爾濱?二模)已知函數(shù)/(%)=%sin%+一1.

⑴當(dāng)。=0時(shí)，求/(%)在區(qū)間[。身上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)?shù)凇?一多寸，求證：/(%)>-1.

【變式8-3](2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=2x-asinx+sin2x(aGR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=/O)在點(diǎn)gJQ)處的切線方程;

(2)若a>0且函數(shù)/Q)在(0,it)上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【題型9導(dǎo)數(shù)中函數(shù)零點(diǎn)的新定義問題】

【例9】(2025?河南許昌?模擬預(yù)測)對(duì)于函數(shù)y=f(x),=%eD2,設(shè)。10￡>2=。，若對(duì)

任意的與，x2eD,都有l(wèi)/Qi)-/(%2)lwIgQi)-g(*2)『(t>0)成立，則稱函數(shù)y=/(%)與y=g(X)"具

有性質(zhì)

⑴判斷函數(shù)/(?=sinx,x6(0,；)與g(x)=x是否“具有性質(zhì)H(l)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)/(%)=妥+21nx-2與y=g。)“具有性質(zhì)“⑴"，且函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在兩個(gè)零點(diǎn)

久1，x2,求證：%1+%2>2;

(3)已知函數(shù)/(X)=x\nx,xG(0,1),g(x)=x,求證：函數(shù)y=/Q)與y=g(x)”具有性質(zhì)H(}”.

【變式9-1](2025?湖北武漢?一模)已知函數(shù)/O)的導(dǎo)函數(shù)為廣(%),若(。)在區(qū)間。上單調(diào)遞增，則稱/(￡)

為區(qū)間。上的凹函數(shù)；若尸(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減，則稱八式)為區(qū)間。上的凸函數(shù).已知函數(shù)/(乃=2+

41n(x+1).

(1)若/(乃在[2,3]上為凹函數(shù)，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(2)已知尸(%)=f(x-1),且FQ)在(1,+8)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)/I的取值范圍.

【變式9-2](24-25高二下?甘肅臨夏?期末)給出定義：設(shè)/(久)是函數(shù)y=f(>)的導(dǎo)函數(shù)，尸'(乃是函數(shù)尸(x)

的導(dǎo)函數(shù),若方程廣(%)=0有實(shí)數(shù)解x=%o-則稱&JO。))為函數(shù)y=/(%)的“拐點(diǎn)”.己知函數(shù)f(x)=/—

4ax2-3a2x+2.

⑴若(4,/⑷)是函數(shù)/⑺的“拐點(diǎn)”，求a的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)的“拐點(diǎn)”在y軸右側(cè)，討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式9-3](2025?廣西柳州?模擬預(yù)測)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函

數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)相，"，函數(shù);'(X)在x=0處的[皿詞階帕德近似定義為：RQ)=。。+產(chǎn)+…+：嗎:

且滿足：/(0)=R(0),r(0)=R'(0),尸(0)=R"(0),…,/(m+n)(0)=R(m+n)(0).注:/(%)=『(%)]，,

f"'M=[TO)]'，fWM=[/〃'(%)=f⑸⑺=[f⑷(切'，…；尸")(行為產(chǎn)nT)O)的導(dǎo)數(shù)),已知f(x)=

ln(x+1)在x=0處的[1,1]階帕德近似為R(x)=盤.

⑴求實(shí)數(shù)a,b的值；

⑵比較f(x)與R(%)的大小;

(3)若h(x)=mf(K-1)一(尤-l)(m*0)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025?天津河北?模擬預(yù)測)函數(shù)/O)=lnx+8-尤的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2.(2025?山東青島?模擬預(yù)測)若函數(shù)f(x)=/(1-眇)+以111%+￡1)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(-co,0)B.(-co,1]C.[0,+?>)D.(1,+oo)

3.(2025?湖南益陽?三模)若函數(shù)/(X)=-alnx+3二有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為()

A.(-oo,1)B.(1,+8)

C.(0,l)U(l,+8)D.(0,1)

4.(2025?江蘇常州?模擬預(yù)測)函數(shù)/(%)=(%-5)ex+ex+3e的所有零點(diǎn)之和為()

A.1B.3C.5D.7

5.(2025?江西鷹潭?二模)已知函數(shù)/(久)=2-島，若方程f(ae，)+f(3-/)=2有三個(gè)不同根，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.(0,mB.(0,|)C.(-2e*)D.(-2e,1)

6.(2025?廣西河池?二模)關(guān)于函數(shù)/'(x)=—j+3/+①-3)x+2—a-e*T+言;(aW2),下列選項(xiàng)

正確的是()

A.函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)B.函數(shù)〃>)只有1個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)f(%)至少有1個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)/(久)有2個(gè)零點(diǎn)

7.(2025?甘肅甘南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=-a有兩個(gè)零點(diǎn)%1，%2，且%1<%2，則()

A./+2ex2>—3B.+2e%2=-3

C.乙+2ex2<-3D.%1+2e%2與一3無法比較大小

8.(2025?四川南充?一模)已知函數(shù)/(%)=|lnx—1+2|—m(0<m<3)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)%1，%2(%i<%2)，

下列關(guān)于第1，&的說法正確的有()個(gè)

2m

①,<e②％1>/五③e石<x2<q藐④>1

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.(2025?海南?？?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=-[a/一一：。.則下列說法中正確的是()

A.當(dāng)a=0時(shí)，/(%)在(一1,+8)上單調(diào)遞增

B.當(dāng)a<。時(shí)，/(x)min=|

C.當(dāng)a>0時(shí)，〃久)有一個(gè)零點(diǎn)

D./(%)最多有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

10.(2025?河南?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/Q)=|lnO—1)|—kx+k—2,則下列結(jié)論正確的是()

A.存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)沒有零點(diǎn)B.若/。)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則-e<kW0

C.若/(%)恰有1個(gè)零點(diǎn)，則上=—eD.當(dāng)。<k<