對稱圖形一一圓（27知識(shí)點(diǎn)回顧+40題型練習(xí)）

?題型匯聚

題型一圓的基本概念辨析題型二十一判斷三角形外接圓的圓心位置

題型二求圓中弦的條數(shù)題型二十二圓周角定理

題型三求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦題型二十三同弧或等弧所對的圓周角相等

題型四圓的周長和面積問題題型二十四半圓（直徑）所對的圓周角是直角

題型五判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型二十五90度的圓周角所對的弦是直徑

題型六利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑題型二十六已知圓內(nèi)接四邊形求角度

題型七已知半徑和圓上兩點(diǎn)作圓題型二十七求四邊形外接圓的直徑

題型八利用垂徑定理求值題型二十八判斷直線和圓的位置關(guān)系

題型九利用垂徑定理求解其他問題題型二十九已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值

題型十垂徑定理的推論題型三十已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離

題型十一垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用題型三十一有關(guān)切線的概念辨析

題型十二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解題型三十二判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件

題型十三利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證題型三十三正多邊形和圓的綜合

題型十四判斷確定圓的條件題型三十四求正多邊形的中心角

題型十五確定圓心（尺規(guī)作圖）題型三十五已知正多邊形的中心角求邊數(shù)

題型十六畫圓（尺規(guī)作圖）題型三十六求弧長

題型十七三角形外接圓的概念辨析題型三十七求扇形半徑

題型十八求三角形外心坐標(biāo)題型三十八求圓心角

題型十九求特殊三角形外接圓的半徑題型三十九求圓錐側(cè)面積

題型二十已知外心的位置判斷三角形的形狀題型四十求圓錐的高

知識(shí)點(diǎn)1.圓的定義

(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做

圓，固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段0A叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作，讀作“圓0”.

要點(diǎn)詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.

(2)靜態(tài)：圓心為0,半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)。的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.

要點(diǎn)詮釋：

①定點(diǎn)為圓心，定長為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉

合的曲面.

知識(shí)點(diǎn)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離。尸=%則有：

①點(diǎn)P在圓外

②點(diǎn)P在圓上Qd=r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)

(2)點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位

置關(guān)系.

(3)符號“Q”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

知識(shí)點(diǎn)3.弦

弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.

弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

要點(diǎn)詮釋：

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是。。的直徑，CD是。。中任意一條弦，求證：ABNCD.

?.?AB=AO+OB=CO+OD》CD（當(dāng)且僅當(dāng)CD過圓心O時(shí)，取“=”號）

二直徑AB是。O中最長的弦.

知識(shí)點(diǎn)4.弧

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作彘，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.

要點(diǎn)詮釋：

①半圓是弧，而弧不一定是半圓；

②無特殊說明時(shí)，弧指的是劣弧.

知識(shí)點(diǎn)5圓心角定義

如圖所示，/AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

知識(shí)點(diǎn)6.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

知識(shí)點(diǎn)7.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

要點(diǎn)詮釋：

①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；

②圓中兩平行弦所夾的弧相等.

知識(shí)點(diǎn)8：垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

知識(shí)點(diǎn)9：垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

(1)得到推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

知識(shí)點(diǎn)10：圓心角、弧、弦的關(guān)系

(1)定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分

別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧.

(3)圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等

注意：

(1)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)

相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合.

(2)在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分..

知識(shí)點(diǎn)11:確定圓的條件

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓.“確

定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也

能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓.

知識(shí)點(diǎn)12：三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外

部.

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)

接三角形卻有無數(shù)個(gè)..

知識(shí)點(diǎn)13.圓周角定理

(1)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

(3)在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握.

(4)注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)

化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，

在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

知識(shí)點(diǎn)14.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角(就是和它相鄰的內(nèi)角的對角).

(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來.在應(yīng)用時(shí)

要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ).

知識(shí)點(diǎn)15.直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn).

②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).

③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,圓心O到直線I的距離為d.

①直線I和。。相交

②直線/和O。相切Qd=r

③直線I和。。相離

知識(shí)點(diǎn)16.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下:

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線

過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用

運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題.

知識(shí)點(diǎn)17.切線的判定

(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(2)在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：

①切線必須滿足兩個(gè)條件：°、經(jīng)過半徑的外端；6、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線.

②切線的判定定理實(shí)際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的.

③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，

證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)

時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”.

知識(shí)點(diǎn)18.切線的判定與性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)常見的輔助線的：

①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時(shí)，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”.

知識(shí)點(diǎn)19.弦切角定理

(1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

(2)弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.

如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦，則有=8c(APCA為弦切

T、

角).

知識(shí)點(diǎn)20.切線長定理

(1)圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

(2)切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.

(3)注意：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別

是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.

(4)切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：

①垂直關(guān)系三處；

②全等關(guān)系三對；

③弧相等關(guān)系兩對，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到.

知識(shí)點(diǎn)21.切割線定理

(1)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng).

幾何語言：

：尸7切。。于點(diǎn)T,PBA是。。的割線

，尸7的平方=力?尸8(切割線定理)

(2)推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等.

幾何語言：

,:PBA,PDC是的割線

：.PD，PC=PQPB(切割線定理推論)(割線定理)

由上可知：PT1=PA-PB=PC-PD.

知識(shí)點(diǎn)22.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

(1)內(nèi)切圓的有關(guān)概念：

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三

角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).

(2)任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形.

(3)三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角..

知識(shí)點(diǎn)23.正多邊形和圓

(1)正多邊形與圓的關(guān)系

把一個(gè)圓分成〃(”是大于2的自然數(shù))等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫

做這個(gè)正多邊形的外接圓.

(2)正多邊形的有關(guān)概念

①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.

②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

知識(shí)點(diǎn)24.弧長的計(jì)算

(1)圓周長公式：C=2nR

(2)弧長公式：/=巨蟲(弧長為/,圓心角度數(shù)為"，圓的半徑為R)

180

①在弧長的計(jì)算公式中，"是表示1。的圓心角的倍數(shù)，〃和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長.

③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用7T表示.

④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同

圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

知識(shí)點(diǎn)25.扇形面積的計(jì)算

(1)圓面積公式：S=TO-2

(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

(3)扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是武，圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=———TTM或S扇形=1/7?(其中/為扇形的弧長)

3602

(4)求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

(5)求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

知識(shí)點(diǎn)26.圓錐的計(jì)算

(1)連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高.

(2)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

(3)圓錐的側(cè)面積：S惻

2

(4)圓錐的全面積：S金=S底+S惻=TU2+TU”

(5)圓錐的體積=Lx底面積又高

3

注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等.

②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等.

知識(shí)點(diǎn)27.圓柱的計(jì)算

(1)圓柱的母線(高)等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長.

(2)圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長X高

(3)圓柱的表面積=上下底面面積+側(cè)面積

題型一圓的基本概念辨析

1.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，48是。的直徑，點(diǎn)C、。在(。上，ZJ8OC=U0°,AD//OC,

貝！IAAOD=.

c~

【答案】40。/40度

【知識(shí)點(diǎn)】圓的基本概念辨析、等邊對等角

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理.先利用鄰補(bǔ)角性質(zhì)和平

行線的性質(zhì)求得N4=4。。=70。，再根據(jù)等邊對等角性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：是，。的直徑，Z5OC=110°,

.?.Z^OC=180°-110o=70°,

AD//OC,

??，=乙4。。=70。，

?/OA=OD,

??.NOD4=ZA=70。，

ZAOD=180°-2ZA=40°,

故答案為：40°.

題型二求圓中弦的條數(shù)

2.（九年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）點(diǎn)A、0、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求圓中弦的條數(shù)

【詳解】試題分析：弦是連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，根據(jù)定義作答.

解：由圖可知，點(diǎn)A、B、E、C是上的點(diǎn)，

圖中的弦有AB、BC、CE,一共3條.

故選B.

考點(diǎn)：圓的認(rèn)識(shí).

題型三求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦

3.（九年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，AB為。0的直徑，AB=6cm,點(diǎn)C在AB延長線上且BC=3cm,點(diǎn)P為。0

上動(dòng)點(diǎn)，則aOPC的面積的最大值是cm2.

【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦

【分析】作PH1AB于H,如圖，利用三角形面積公式得到SAOPC=：OOPH=3PH,則當(dāng)PH最大時(shí)，S^OPC有最大值,

然后利用PH<OP得到PH最大值為3,從而得到SAOPC有最大值9.

【詳解】解：作PH1AB于H,如圖，

.-.OC=OB+BC=|AB+BC=6

??,SAOPC=|OC?PH=Ix6xPH=3PH,

???當(dāng)PH最大時(shí)，SAOPC有最大值，

???PH<OP,

.?.當(dāng)PH=OP=3時(shí)，PH最大，SAOPC有最大值9,

即aOPC的面積的最大值是9cm2.

故答案為9.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的面積和圓的基本性質(zhì)，掌握圓的基本性質(zhì)和線段的最值問題是解決此題的關(guān)鍵.

題型四圓的周長和面積問題

4.（23-24九年級上?江蘇南京?開學(xué)考試）如圖，從/地到5地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個(gè)小

半圓.有一天，一只貓和一只老鼠同時(shí)從工地到3地.老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），

就沿著4個(gè)小半圓行走.假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么先到達(dá)2地

【答案】貓和老鼠同時(shí)到達(dá)

【知識(shí)點(diǎn)】圓的周長和面積問題

【分析】利用圓的周長公式即可求解.

【詳解】解：以為直徑的半圓的長是：\TT-AB-

2

設(shè)四個(gè)小半圓的直徑分別是a,b,c,d,則a+6+c+d=/5,

貝I」老鼠行走的路徑長是：—7ra+—7rb+—7rc+—7id=—7i(a+b+c+d)=—7vAB.

22

故貓和老鼠行走的路徑長相同，同時(shí)到達(dá)，

故答案為：貓和老鼠同時(shí)到達(dá).

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長，熟練掌握其計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

題型五判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

5.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期末)如圖，在8x8的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)兒B,C,P,Q,M,N都在格點(diǎn)上(正方形

的頂點(diǎn)即格點(diǎn))，若O。是以B,C為頂點(diǎn)的三角形的外接圓，則下列各點(diǎn)中，在。。上的是()

A.點(diǎn)尸B.點(diǎn)QC.點(diǎn)MD.點(diǎn)N

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問題、判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】本題主要考查了外接圓的圓心，勾股定理，

先確定圓心的位置，再求出半徑，即可判斷答案.

【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)。是N8C的外接圓的圓心,

小正方形的邊長為1,根據(jù)勾股定理可知oc=jF+32=&U，ON=Vl2+32=Vio＞

.??I）。上的是點(diǎn)N.

故選：D.

題型六利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

6.（24-25九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí)）閱讀理解：

如圖1、圖2,點(diǎn)尸分別在。外、在。內(nèi)，直線。尸分別交（。于點(diǎn)4B,則尸4的長度是點(diǎn)尸到：。上的點(diǎn)的最短

距離，網(wǎng)的長度是點(diǎn)尸到O上的點(diǎn)的最長距離，這個(gè)模型被稱為“一箭穿心”.

（1）請就圖1中尸8為何最長進(jìn)行證明;

（2）若平面內(nèi)的點(diǎn)尸到「O上的點(diǎn)的最短距離為3,最長距離為7.則。的半徑為

（3）如圖3,正比例函數(shù)＞=2x與反比例函數(shù)了=：（左＞0）的圖象交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在以點(diǎn)C（-2,0）為圓心，1為半徑

3

的CC上，。是心的中點(diǎn)，已知長的最大值為1,求無的值.

【答案】（1）見解析

（2）2或5

32

⑶-石

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、與三角形中位線有關(guān)的求解問題、利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑、一次函數(shù)與反比

例函數(shù)的交點(diǎn)問題

【分析】(1)根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊即可得解；

(2)分兩種情況討論：①點(diǎn)尸在*。外，②點(diǎn)尸在內(nèi)，根據(jù)線段的和差即可求解；

連接NE,交。于點(diǎn)。，則4P的最小值是4。的長，根據(jù)勾股定理即可求出進(jìn)而得到/￡>的長，即可解答；

3

(3)連接8尸，根據(jù)中位線定理可得8尸長的最大值為2xq=3,當(dāng)8尸過圓心C時(shí)，AP最長，過3作軸于。，

2

設(shè)8億27),則CD=/(-2)=f+2,BD=-2t,根據(jù)勾股定理可得8c?=CD?十臺(tái)步，列出方程求出點(diǎn)g的坐標(biāo)，代入

反比例函數(shù)解析式即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)。為，。上任意一點(diǎn)，連接尸C,OC,

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)3不重合時(shí)，

?.,在△尸OC中，PO+CO>PC,

又CO=BO,

：.PO+BO>PC,IPPB>PC,

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)2重合時(shí)，PB=PC,

???綜上可得，PBNPC,

???點(diǎn)C為C。上任意一點(diǎn)，

PB的長是點(diǎn)P到C。上的點(diǎn)的最長距離.

(2)解：若點(diǎn)P在。外，如圖①，

圖①圖②

則H4=3,尸5=7,

：.AB=PB-PA=l-3=4,

的半徑為2；

若點(diǎn)尸在?。內(nèi)，如圖②，

貝舊=3,尸3=7,

.-.AB=PB+PA=7+3=10,

。的半徑為5；

綜上所述，。的半徑為2或5.

故答案為：2或5；

(3)解：連接BP,由對稱性得：OA=OB,

而。是"的中點(diǎn)，

：.OQ=^BP

的長的最大值3為則在長的最大值為2x3：=3,

22

如圖所示：

當(dāng)5P過圓心。時(shí)，5尸最長，過8作軸與，

CP=\,

，5C=3—1=2,8在直線歹=2x上，

設(shè)8?,2%)，貝［jCZ)=’—(―2)=/+2,BD=—2t,

在RtASCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2,

22=(/+2)2+(-2?)\

整理得：5產(chǎn)+射=0,

4

解得：％=0（舍去），^2=--

4_8

5，-5

???8在反比例函數(shù)y=勺左＞0）的圖象上,

832

25

【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征，勾股定理，三角形的中位線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，圓的基本性質(zhì)等，綜合性比較強(qiáng)，難度較大.

題型七已知半徑和圓上兩點(diǎn)作圓

7.（23-24九年級上?江蘇連云港?期中）【深度閱讀】蘇格蘭哲學(xué)家托馬斯?卡萊爾（1795-1881）曾給出了一元二次

方程尤2+6x+c=0的幾何解法：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)以42為直徑作P.若P

交x軸于點(diǎn)M（嘰0）,N（%0）,則加，"為方程/+6x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

【自主探究】（1）由勾股定理得，AM2=U+m2,BM2=c2+（-b-m^,AB2+b2,在Rt48M中，

AM2+BM2=AB2,所以12+療+°2+（_6_〃?）2=（］一°）2+62,化簡得：蘇+6加+。=0.同理可得.

所以加，〃為方程無2+6x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

【遷移運(yùn)用】（2）在圖2中的x軸上畫出以方程尤2一3無一2=0兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M,N.

（3）已知點(diǎn)40，1）,8（4,-3）,以N5為直徑作判斷C與x軸的位置關(guān)系，并說明理由.

【拓展延伸】（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)/（0,。），B（-b,c）,若以42為直徑的圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”，N,

則以點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是

【答案】(1)n2+bn+c=O;(2)見解析；(3)C與x軸相交；見解析；(4)x1+bx+ac=Q

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解、用勾股定理解三角形、已知半徑和圓上兩點(diǎn)作圓

【分析】本題屬于圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，一元二次方程的根以及勾股定理的應(yīng)用，

(1)根據(jù)勾股定理得出等式化簡即可；

(2)作N8的垂直平分線交于點(diǎn)尸，再以點(diǎn)P為圓心，以48為直徑畫圓，圓與x軸的交點(diǎn)即為M,N點(diǎn)即可；

(3)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得X2-4X-3=0,再算出A>0,即可得出結(jié)論；

(4)由點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)果.

解題的關(guān)鍵是對一元二次方程x2+bx+c=0的幾何解法的理解和運(yùn)用.

2222222

【詳解】解：(1)AN=l+n\BN=c+(-b-n)fAB=(\-c^+b,

在Rt-45“中，AN2+BN2=AB2,

222

：.1+H+C+(-/7-〃)2=(1-c)2+/,

化簡得：n2+bn+c=Oi

故答案為：n2+bn+c=O;

(2)先在坐標(biāo)系內(nèi)找到，(O，l),5(3,-2),連接AB,分別48為圓心，以大于g/B為半徑畫弧，連接兩弧的交點(diǎn)

與交于點(diǎn)尸，以P為圓心，以48為直徑畫圓，圓與x軸的交點(diǎn)即為"，N點(diǎn).如圖所示:

圖2

2

(3)由題意得：X-4X-3=0,

.?.A=62-4ac=(-4)2-4xlx(-3)=28>0,

方程，-4x-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

C與尤軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

即。與x軸相交；

(4)由題意得，以為直徑的圓與交x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”、N,

則以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是x2+bx+ac=0.

故答案為：x2+bx+ac=O-

題型八利用垂徑定理求值

8.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期中)如圖，4B是。的弦，OCL48于點(diǎn)C,NOAB=3Q°,AB=2』，點(diǎn)、P為。

所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且。尸=3,則點(diǎn)P與(O的位置關(guān)系是()

A.點(diǎn)尸在。內(nèi)B.點(diǎn)尸在(。外C.點(diǎn)尸在。上D.無法確定

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、利用垂徑定理求值、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形

【分析】根據(jù)垂徑定理可得AC=A/L由含30。角的直角三角形的性質(zhì)，可得。4=2OC,設(shè)OC=x,則。4=2x,在

Rt_/OC中，根據(jù)勾股定理列方程求出x,進(jìn)而求出圓的半徑，即可求解.

【詳解】解：OC_L/3于點(diǎn)C,48=26，

AC==AB=拒,

2

又；ZOAB=30°,

OA=2OC,

設(shè)OC=x,貝i|GL4=2x,

在Rt_NOC中，根據(jù)勾股定理得：0c2+/。2=0/2,即/+（石『=（2》）2,

解得：x=1（負(fù)值已舍去），

半徑為2,

OP=3,且3>2,

二點(diǎn)尸在0。外,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)

知識(shí).

題型九利用垂徑定理求解其他問題

9.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①直徑是圓中最長的弦②平分弦的直徑垂直于弦③長度相等的兩條弧是等弧④AB、CD是的兩條弦，4B被

CD垂直平分，則48WCD.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓的基本概念辨析、利用垂徑定理求解其他問題

【分析】本題主要考查圓的概念及垂徑定理，熟練掌握圓的每個(gè)概念及垂徑定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相關(guān)概念逐個(gè)判

斷，即可解題.

【詳解】解：①直徑是圓中最長的弦，正確；

②平分弦(弦不是直徑)的直徑垂直于弦，故②錯(cuò)誤；

③在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故③錯(cuò)誤；

@AB,CD是。的兩條弦，被CD垂直平分，

CD過圓心，即CD為直徑，

則N34CZ),正確.

綜上所述，說法中正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).

故選：B.

題型十垂徑定理的推論

10.(24-25九年級上?江蘇無錫?期中)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，顧老師提出了一個(gè)問題：

如圖1,已知4B，在48上作一點(diǎn)尸，使40=3尸3.

小亮同學(xué)很快就給出了下列思路：

如圖2,連接43,作42的垂直平分線CD交48于點(diǎn)￡，交43于點(diǎn)足再作物的垂直平分線G”,交瓶于尸，交4B

于點(diǎn)0,則點(diǎn)P即為滿足"=3尸5的點(diǎn).

結(jié)合圖2回答下列問題：

'a

圖1圖2

(D/E與"是否相等?請說明理由；

(2)小亮的做法是否正確?若正確，請說明理由;若不正確，清用無刻度直尺和BI規(guī)在圖1中作出所求的點(diǎn)P.

【答案】(1)相等，理由見解析

(2)不正確，圖見解析

【知識(shí)點(diǎn)】作垂線（尺規(guī)作圖）、垂徑定理的推論

【分析】本題考查垂徑定理，尺規(guī)作圖——線段垂直平分線的作法：

（1）根據(jù)垂徑定理的推論進(jìn)行判斷；

（2）G4平分線段EB,而不是以所對的弦，因此G"不能平分EB，可得小亮做法不正確，正確的作法應(yīng)該是連接防,

作E8的垂直平分線，與助的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)產(chǎn)?

【詳解】（1）解:NE與歐相等，

理由：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）解：不正確，作圖如下.

題型十一垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

11.（24-25九年級上?江蘇蘇州?期中）蘇州是一座擁有4000多年歷史的文化名城，蘇州古城坐落在水網(wǎng)之中，街道依

河而建，水陸并行；建筑臨水而造，前巷后河，形成“小橋、流水、人家”的獨(dú)特風(fēng)貌.如圖，某座蘇州古橋的橋拱可

看作一段圓弧，現(xiàn)測得橋下水面N8寬度16m時(shí)，拱頂高出水平面4m.

（1）求此圓弧形拱橋的半徑；

（2）若有一艘寬12nl的船準(zhǔn)備從橋下穿過，船艙頂部為矩形并高出水面3m,請通過計(jì)算判斷，該船能否安全穿過橋洞,

并說明理由.

【答案】（1）此圓弧形拱橋的半徑為10m

(2)該船不能安全穿過橋洞，理由見解析

【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)并理解題意.

(1)連接。8,設(shè)48與0c交于點(diǎn)D,由題意可得：CD=4m,AB=16m,OCLAB,根據(jù)垂徑定理求出=8m,

設(shè)半徑為r，則8=廠-4,在Rt_3OD中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；

(2)根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出當(dāng)船寬12m時(shí)允許通過的最大高度，再與3m比較即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖，連接。2,設(shè)48與OC交于點(diǎn)。，

由題意可得：CD=4m,48=16m,OCVAB,

BD——AB=8m,

2

設(shè)半徑為m，則?！?gt;=0C-CZ)=(r-4)m,

在Rt500中，根據(jù)勾股定理得：OD2+BD2=OB2,BP(F-4)2+82=F2,

解得：r=10,

即此圓弧形拱橋的半徑為10m；

(2)該船不能安全穿過橋洞，理由如下：

如圖，在矩形EFG”中，GH、OC交于點(diǎn)EF=Um,連接。G,

EF=12m,

MG=DF=-EF=6m,

2

在RtGMO中，根據(jù)勾股定理得：OM-^OG2-MG2=V102-62-8(m),

（9D=OC-CD=10-4=6（m）,

GF^DM^OM-OD=S-6^2（m）,

3>2,

該船不能安全穿過橋洞.

題型十二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

12.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期末)如圖，42是半圓的直徑，點(diǎn)。為圓心，C是半圓上一點(diǎn)，連接/C.

(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在半圓上確定一點(diǎn)P,使得尸3=PC(保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下,連接尸8,PC,若48=10,AC=6,求四邊形48PC的面積.

【答案】(1)見解析

(2)32

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用垂徑定理求值、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

【分析】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理；

(1)過點(diǎn)。作。尸，8C交。于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為所求；

(2)利用勾股定理求出3C,再求出/W,利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)尸即為所求;

(2)解：???48是直徑，

.-.ZACB=90,

BC=yjAB2-AC2=7102-62=8，

OPLBC,

CH=BH,

OA=OB,

:.OH=-AC=3,

2

OP=5,

PH=OP-OH=5-3=2,

???四邊形N8PC的面積=L?/C-8C+』-8C-P〃=LX6*8+LX8X2=32.

2222

題型十三利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

13.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，點(diǎn)A,B,C,。在。上，AB^CD-求證：ACBD.

【答案】見解析

【知識(shí)點(diǎn)】利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

【分析】本題考查了弦與弧之間的關(guān)系.根據(jù)已知條件求得以。=4DC，根據(jù)弧與弦的關(guān)系即可得證.

【詳解】證明：AB=CD'

??AB+AD=CD+AD^

；BAD=ADC，

AC=BD.

題型十四判斷確定圓的條件

14.（24-25九年級上?江蘇?階段練習(xí)）下列說法：①優(yōu)弧比劣弧長；②三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；③長度相等的弧是等

弧;④經(jīng)過圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)可以作無數(shù)條弦；⑤三角形的外心到三角形三條邊的距離相等.其中不正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】圓的基本概念辨析、三角形外接圓的概念辨析、判斷確定圓的條件

【分析】本題考查等弧的定義，優(yōu)弧、劣弧的定義，確定圓的條件、弦的定義，三角形外形的性質(zhì)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考

點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

根據(jù)等弧的定義，優(yōu)弧、劣弧的定義，確定圓的條件，弦的定義，三角形外形的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：①優(yōu)弧不一定比劣弧長，在同圓或等圓中，優(yōu)弧比劣弧長，故①錯(cuò)誤，符合題意；

②不在用一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故②錯(cuò)誤，符合題意；

③長度相等的弧是等弧，錯(cuò)誤，長度相等的弧不一定相等，等弧的長度相等，故③錯(cuò)誤，符合題意；

④經(jīng)過圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)可以作無數(shù)條弦，正確，故④不符合題意；

⑤三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故⑤錯(cuò)誤，符合題意；

故不正確的有①②③⑤，

故選：D.

題型十五確定圓心（尺規(guī)作圖）

15.（24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)/（0,4）、

3（-4,4）、C（-6,2）,請?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：

（1）利用網(wǎng)格線找出該弧所在圓的圓心。點(diǎn)，在圖上標(biāo)出。點(diǎn)；

（2）連接Z。、CD,貝U。的半徑長為.（結(jié)果保留根號）

（3）如果點(diǎn)￡坐標(biāo)為（2,-2）,則E點(diǎn)在必.（填“內(nèi)”、“外”或，上”）

【答案】（1）見解析

⑵26

⑶上

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、確定圓心（尺規(guī)作圖）

【分析】本題考查與圓有關(guān)的綜合題，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

（1）連接48、BC,分別作/夙3c的垂直平分線，交于點(diǎn)。即為所求，標(biāo)出坐標(biāo)即可；

（2）利用點(diǎn)A與點(diǎn)。的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理即可得到:。的半徑；

（3）利用兩點(diǎn)的距離公式求出點(diǎn)E和點(diǎn)。的距離，再與（。的半徑比較，即可得到E點(diǎn)與的位置關(guān)系.

【詳解】（1）解：連接/夙BC,分別作48、3c的垂直平分線，交于點(diǎn)。即為所求，坐標(biāo)為：。（-2,0）,如圖:

（2）W：???D（-2,0）,/（0,4）,

0D—2,0A=4,

AD=y）DO2+AO2=V22+42=275，

Q的半徑長為20，

故答案為：2石.

（3）解：?;E（2,-2）,0（-2,0）,

???點(diǎn)E到）0圓心。的距離為：DE=J（2+2）2+（-2-Of=26，

Q的半徑長為2指，

???￡點(diǎn)在。上，

故答案為：上.

題型十六畫圓（尺規(guī)作圖）

16.（24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）如圖是一殘破圓輪，A,B,C是其弧上的三個(gè)點(diǎn).用尺規(guī)作出圓輪的圓心;

（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見詳解

【知識(shí)點(diǎn)】畫圓（尺規(guī)作圖）

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂徑定理，三角形的外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作出線段NANC的垂直平

分線，利用垂直平分線的性質(zhì)解決問題.線段與線段NC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心。

【詳解】

題型十七三角形外接圓的概念辨析

17.（24-25九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí)）有下列五個(gè)命題：①等弧所對的圓心角相等；②經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作

圓；③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；④長度相等的兩條弧是等??；⑤直角三角形的外心是斜邊的中

點(diǎn).其中正確的有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】圓的基本概念辨析、三角形外接圓的概念辨析、判斷三角形外接圓的圓心位置、判斷確定圓的條件

【分析】此題考查了等弧、確定一個(gè)圓的條件、三角形的外心等知識(shí)，根據(jù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：①等弧所對的圓心角相等，命題正確；

②經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓，故選原命題錯(cuò)誤；

③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等，命題正確；

④長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯(cuò)誤；

⑤直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，命題正確.

綜上可知正確的有①③⑤，

故選：C

題型十八求三角形外心坐標(biāo)

18.（24-25九年級上?江蘇泰州?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中的網(wǎng)格中，有一個(gè)格點(diǎn)，N2C（即三角形的頂

點(diǎn)都在格點(diǎn)上），其中點(diǎn)/（2,5）,點(diǎn)3（5,4）,點(diǎn)C（5,2）.

⑴填空：48c的外心M的坐標(biāo)為；48C的外接圓半徑長為:

（2）僅用無刻度的直尺，作出AS的中點(diǎn)。.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】（1）（3,3）；V5

（2）見詳解

【知識(shí)點(diǎn)】求三角形外心坐標(biāo)、利用垂徑定理求值、勾股定理與網(wǎng)格問題、線段垂直平分線的性質(zhì)

【分析】本題考查的是畫三角形的外接圓的圓心，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用；

（1）根據(jù)外心是三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，以及運(yùn)用網(wǎng)格特征作圖，再結(jié)合勾股定理列式計(jì)算，即可作答.

（2）結(jié)合網(wǎng)格特征，取格點(diǎn)記為7,連接NT,與弧48的交點(diǎn)為。，即可作答.

【詳解】（1）解：依題意，外心的定義：三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，

故,/3C的外心〃?在/C和2C的垂直平分線的交點(diǎn)上，

如圖所示：

???48c的外心M的坐標(biāo)為（3,3）,

則N2C的外接圓半徑長為正二了=石；

故答案為：（3,3）,V5

（2）解：依題意，46的中點(diǎn)。如圖所示.

題型十九求特殊三角形外接圓的半徑

19.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，已知以42為直徑的半圓。，C為弧48上一點(diǎn)，NABC=60,尸為

弧上任意一點(diǎn)，CDLCP交AP于D,連接80,若48=4,則8。的最小值為.

【答案】2幣-26

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圓的半徑、點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問題

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的想性質(zhì)，三角形的外接圓，解直角三角形等知識(shí)，判斷點(diǎn)。在“/CO

的外接圓上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵.

先求出/ADC=150。，AC=26,則可判斷點(diǎn)。在-/CD的外接圓上，設(shè)圓心為E,在優(yōu)弧/C取點(diǎn)G,連接NG,CG,

AE,CE,BE,過E作于凡可求4EC=60。，利用等邊三角形的判定和性質(zhì)求出NE4C=60。，

AE=AC=EC=2B利用勾股定理求出3E=2療，由BDNBE-DE,當(dāng)E、D、3三點(diǎn)共線時(shí)，8。最小，最小值

為BE-DE,即可求解.

【詳解】解:連接NC,

,?*^LABC-60°,4c=4C，

.?.ZP=ZABC=60°,

?,CDLCP,

/.ZDCP=90°,

ZADC=ZDCP+ZP=150。，

???43為直徑，

.-.ZACB=90°fZCAB=30°

??BC=^AB=2,ACy)AB2BC2.273

.??點(diǎn)。在..ZCZ)的外接圓上，設(shè)圓心為E,在優(yōu)弧/C取點(diǎn)G,連接/G,CG,AE,CE,BE,

???NG=180°-ZADC=30°,

-.ZAEC=60°f

?；AE=CE,

?.AE=EC=AC=26ZEAC=60°,

??.AEAB=NEAC+/CAB=90°,

??.BE=,+（2團(tuán)=2近，

BD>BE-DE,

當(dāng)￡、。、8三點(diǎn)共線時(shí)，8。最小，最小恒為BE-DE=2近-2日

故答案為：2幣-26

題型二十已知外心的位置判斷三角形的形狀

20.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?一模）如圖，/、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個(gè)小方格的邊長為1,在此網(wǎng)格中找兩個(gè)格

點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）B、C,使。為/3C的外心，則2C的長度是（）

A.372B.275C.4D.后

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問題、已知外心的位置判斷三角形的形狀

【分析】本題考查外心的定義：外心是三角形外接圓的圓心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，也考查了勾股定理.根

據(jù)題意作出圖形，得到點(diǎn)8和點(diǎn)C的位置，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，

?.?點(diǎn)。為J48C的外心，

.??04=03=。。，點(diǎn)8和點(diǎn)C的位置如圖所示,

?■-SC=732+32=372

故選：A.

題型二十一判斷三角形外接圓的圓心位置

21.(24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,7),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)

C的坐標(biāo)為(3,0).

⑴若4BC的外接圓的圓心為M,則圓心M的坐標(biāo)為,刊的半徑為；

(2)4BC的外接圓與五軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是.

(3)M中/c所對的圓周角是度，NC的長度.

【答案】(1)(5,5)；V29

(2)(7,0)

(3)45°,屈

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用、求圓弧的度數(shù)、判斷三角形外接圓的圓心位置

【分析】本題主要考查了確定三角形外接圓圓心的位置，勾股定理，勾股定理的逆定理，求弧的度數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟知

三角形外接圓圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)圓心河是線段NB、2C的垂直平分線的交點(diǎn)，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)畫出點(diǎn)〃的位置，進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，

再利用勾股定理求出減i的長即可得到答案；

(2)設(shè)/2C的外接圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為。，根據(jù)點(diǎn)M在線段CD的垂直平分線上，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)即可；

(3)利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且44〃C=90。，然后利用弧長的度數(shù)即可求出圓

周角的度數(shù)；

【詳解】(1)解：如圖所示，點(diǎn)M的位置即為圓心位置，

圓心〃■的坐標(biāo)為(5,5),

MA