專題02二次函數(shù)y=ax2與y=a(x-h)2+k的圖象與性質(zhì)壓軸題三種模型全攻略

聚焦考點(diǎn)

考點(diǎn)一二次函數(shù)尸ax2的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二二次函數(shù)尸ax2+人的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)三二次函數(shù)尸a(X-/J)2的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)四二次函數(shù)尸。(x-ft)2+人的圖象與性質(zhì)

典型例題

..........

考點(diǎn)一二次函數(shù)尸ax2的圖象與性質(zhì)

例題：(2022?全國(guó)?九年級(jí))已知y=(&+2)/+J是二次函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，y隨尤的增大而增大.

(1)求1的值;

(2)直接寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

【答案】(1)心-3；(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),對(duì)稱軸是y軸.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)的次數(shù)是二，可得方程，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得旭2<0,可得答案；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸.

【詳解】

解：(1)由y=(Z:+2)/+i是二次函數(shù)，且當(dāng)*0時(shí)，y隨x的增大而增大，得

k2+k-4=2

k+2<0'

解得k=-3；

(2)由(1)得二次函數(shù)的解析式為y=-N,

y=-x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),對(duì)稱軸是y軸.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的定義得出方程是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國(guó)?九年級(jí))已知y=(左+2)/+i是二次函數(shù)，且當(dāng)x<。時(shí)，y隨尤的增大而增大.

(1)則人的值為;對(duì)稱軸為.

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,機(jī))，則該圖象上點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為—.

(3)請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)-2Wx<4時(shí)，y的范圍為.

J'

j

ri

1

,-5-，-2-1(91J-

-1

-j

(\

【答案】(1)-3,y軸；(2)(-1,m),(3)-16VyW0

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)(未知數(shù)的最高次數(shù)為2)且當(dāng)尤＜0時(shí)，y隨x的增大而增大列出相應(yīng)的方程組，

求解可得上值，代入二次函數(shù)確定解析式，即可確定其對(duì)稱軸；

(2)根據(jù)坐標(biāo)系中軸對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)即可得；

(3)當(dāng)x=-2時(shí)，y=-4,當(dāng)x=4時(shí)，y=-16,結(jié)合函數(shù)圖象可得：當(dāng)x=0時(shí)，y取得最大值即可得出

解集.

【詳解】

解：(1)由y=(Z+2)J+i是二次函數(shù)，且當(dāng)尤＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，得

fk2+k-4=2

[k+2＜0'

解得：k=—3,

二二次函數(shù)的解析式為y=-x2,

...對(duì)稱軸為y軸，

故答案為：-3,y軸；

(2)?.?點(diǎn)A(1,m),

二點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,加)，

故答案為：(-1,m),

故答案為：(-1,W；

(3)如圖所示：

當(dāng)x=4時(shí)，y=-42=-16,

根據(jù)函數(shù)圖象可得當(dāng)x=0時(shí)，y取得最大值，當(dāng)x=0時(shí)，y=0,

.?.當(dāng)-2Vx<4時(shí),-16<y<0；

故答案為：-16<yW0.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查二次函數(shù)得定義和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握定義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵

2.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線>與拋物線>=辦2交于A,B兩點(diǎn)，與，軸于點(diǎn)C,

其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,8）.

⑴求。，b的值；

⑵若CD_LAB于點(diǎn)C,CD=CA.試說(shuō)明點(diǎn)。在拋物線上.

【答案】（1）。=；,b=6

（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程即可.

(2)如圖，分別過(guò)點(diǎn)A,。作AM0y軸于點(diǎn)LWEy軸于點(diǎn)N.利用全等三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)。的坐標(biāo),

可得結(jié)論.

(1)

把點(diǎn)A(-4,8)代入y=-Jx+b,得：-；*(一4)+6=8

0/?=6；

把點(diǎn)A(-4,8)代入>="2,得：(一4)2%。=8

1

回〃=5；

⑵

如圖，分別過(guò)點(diǎn)4。作AM團(tuán)y軸于點(diǎn)M,ZW0y軸于點(diǎn)N.

令x=0,則y=6

0C(0,6),

^MC=^\DNC=^ACD=90o,

團(tuán)回ACM+R]DCN=90°,回。CN+R1C0N=9O°,

團(tuán)團(tuán)4cM二回CON,

團(tuán)CA=CZ),

^AMC^CND(SAS),

團(tuán)CN=AM=4,DN=CM=2,

團(tuán)。(-2,2),

當(dāng)x=-2時(shí)，y=gX22=2,

回點(diǎn)。在拋物線y=3N上.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加

常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

考點(diǎn)二二次函數(shù)產(chǎn)ax2+4的圖象與性質(zhì)

例題：(2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))已知：二次函數(shù)

⑴寫(xiě)出此函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵畫(huà)出它的圖象.

【答案】⑴拋物線的開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1).

(2)圖像見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)y=a(x-//尸+鼠當(dāng)。＞0時(shí)開(kāi)口向上；頂點(diǎn)式可直接求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(//,向及對(duì)稱軸x=/z；

(2)可分別求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)以及拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用描點(diǎn)法可畫(huà)出函數(shù)圖象.

(1)

解：(1)回二次函數(shù)y=N-1,

回拋物線的開(kāi)口方向向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),對(duì)稱軸為y軸；

⑵

解：在、=無(wú)2-1中，令y=0可得N-1=0.

解得尤=-1或1,所以拋物線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)和(1,0)；

令彳=0可得y=-l,所以拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1)；

又回頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),對(duì)稱軸為y軸，

再求出關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，

將上述點(diǎn)列表如下：

X-2-1012

)=工2-130-103

描點(diǎn)可畫(huà)出其圖象如圖所示:

y.

【點(diǎn)睛】

本題考察了二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo).以及二次函數(shù)拋物線的畫(huà)法.解題的關(guān)鍵是把二

次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式.描點(diǎn)畫(huà)圖的時(shí)候找到關(guān)鍵的幾個(gè)點(diǎn)，如：與X軸的交點(diǎn)與y軸的交點(diǎn)以及頂點(diǎn)

的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知拋物線>+6過(guò)點(diǎn)(-2,-3)和點(diǎn)(1,6).

(1)求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式；

(2)寫(xiě)出當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)V隨尤的增大而增大.

【答案】(1)y=-3x2+9；(2)當(dāng)尤<0時(shí)，函數(shù)》隨尤的增大而增大

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求解;

(2)求出對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：⑴團(tuán)拋物線于二請(qǐng)+匕過(guò)點(diǎn)(_2,-3)和點(diǎn)(1,6),

4々+6=—3a=-3

/,解得

a+b,=Qb=9

回這個(gè)函數(shù)得關(guān)系式為：v=-3x2+9.

(2)回二次函數(shù)y=-3x?+9開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=0,

回當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)，隨x的增大而增大.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法的運(yùn)用.

2.(2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))已知函數(shù)y=(租+2)/+"i+i是關(guān)于x的二次函數(shù).

(1)滿足條件的根的值；

(2)相為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個(gè)最低點(diǎn)，這時(shí)當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大？

(3)機(jī)為何值時(shí)，函數(shù)有最大值？最大值是多少？這時(shí)當(dāng)尤為何值時(shí)，y隨尤的增大而減??？

【答案】(1)m1=2,機(jī)2=-3；(2)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，最低點(diǎn)為：(0,1),當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的

增大而增大；(3)當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為1,當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小

【解析】

【分析】

(1)利用二次函數(shù)的定義得出關(guān)于加的等式，解方程即可得出答案；

(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出，”的值；

(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出機(jī)的值.

【詳解】

(1)回函數(shù)y=(〃z+2)x"'+*4+i是關(guān)于x的二次函數(shù)，

Slm2+m-4=2,

解得：mi-2,m2=-3；

(2)當(dāng)m=2時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，

此時(shí)y=4x2+l,

則最低點(diǎn)為：(0,1),

由于拋物線的對(duì)稱軸為y軸，

故當(dāng)尤>0時(shí)，y隨x的增大而增大；

(3)當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，函數(shù)有最大值，

此時(shí)廣-N+i,故此函數(shù)有最大值1,

由于拋物線的對(duì)稱軸為y軸，

故當(dāng)尤>0時(shí)，y隨x的增大而減小.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，因此掌握二次函數(shù)的定義與性質(zhì)是解答

本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三二次函數(shù)產(chǎn)a(x-h)2的圖象與性質(zhì)

例題：(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))拋物線y=3(x—2尸與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,求EAO8的面積

和周長(zhǎng).

【答案】AAQB的面積為12,周長(zhǎng)為14+2用

【解析】

【分析】

令y=0,求出x的值，令x=0,求出>的值，即可得出A、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出。1、的長(zhǎng)度，由

勾股定理得出AB的長(zhǎng)度，由三角形面積公式以及周長(zhǎng)公式即可求出答案.

【詳解】

團(tuán)拋物線y=3(x-2)2與x軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)B,

.?.令1=0,3-2)2=0,

解得：x=2,

令x=0,y=3x(0-2)2=12,

AA(2,0),B(0,12),

.-.04=2,03=12,

由勾股定理得：AB=J*+1*=2而

，S"=：x2xl2=12,

C-AOB=2+12+2歷=14+2737.

的面積為12,周長(zhǎng)為14+2歷.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知二次函數(shù)圖像上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))對(duì)于二次函數(shù)y=-3(x+2>.

⑴它的圖象與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么關(guān)系？它是軸對(duì)稱圖形嗎？它的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐

標(biāo)分別是什么？

(2)當(dāng)無(wú)取哪些值時(shí)，y的值隨X的增大而增大？當(dāng)X取哪些值時(shí)，y的值隨X的增大而減?。?/p>

【答案】⑴見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)由于二次函數(shù)y=-3(x+2)2與y=-3N的二次項(xiàng)系數(shù)相同，所以將產(chǎn)-3尤2的圖象向左平移2個(gè)單位可以

得到產(chǎn)-3(x+2)2的圖象，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知它是軸對(duì)稱圖形，二次項(xiàng)系數(shù)小于0,開(kāi)口向下，再根據(jù)

頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸；

(2)由對(duì)稱軸及開(kāi)口方向即可確定拋物線的增減性.

【詳解】

(1)將y=-3x2的圖象向左平移2個(gè)單位可以得到y(tǒng)=_3。+2)2的圖象，

E-3<0,

團(tuán)拋物線開(kāi)口向下，

它是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0)；

(2)0-3<0,拋物線開(kāi)口向下，

團(tuán)當(dāng)x<-2時(shí)，y的值隨尤的增大而增大；當(dāng)x>-2時(shí)，y的值隨尤的增大而減小.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)，需熟練掌握.

2.(2022?全國(guó)?九年級(jí))在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列二次函數(shù)的圖象：

y=3無(wú)2，y=；(x+2)2,y=；(尤_2)2.

觀察三條拋物線的位置關(guān)系，并分別指出它們的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)..

【答案】見(jiàn)解析；三條拋物線都開(kāi)口向上，對(duì)稱軸依次是y軸、直線X=-2,直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)依次是

(0,0),(-2,0),(2,0).

【解析】

【分析】

111

用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像，先列表，描點(diǎn)，平滑曲線連線可依次得到>=y=1(x+2)29,y=1(%-2)29,根

據(jù)平移的性質(zhì)可得出三函數(shù)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖像可得出三函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

解：列表

-3-2-10123

9J_9

y=—x1202

22~22-2

y=*+2『j_925

028

2~22T

259j_j_

820

~22~22-

Q11Q

描點(diǎn)(3-),(-2,2),(-1,-),(0,0),(1,-),(2,2),(3,

2222

用平滑曲線連線可得y=的圖形如圖；

描點(diǎn)(-3,；)，(-2,0),(-1,；)，(。，2),(1,—),(2,8),(3,—),

2222

1

用平滑曲線連線可得y=-(x+2)92的圖形如圖；

25911

描點(diǎn)(-3,—(-2,8),(-1,-),(0,2),(1,-),(2,0),(3,-),

2222

用平滑曲線連線可得y=；(x-2『的圖形如圖；

將拋物線y=：/向左平移2個(gè)單位得y=g(x+2『，向右平移2個(gè)單位得y=1(x-2)2

函數(shù)開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)

y=—x2向上y軸(0,0)

2

y=*+2『

向上x(chóng)=-2(-2,0)

向上x(chóng)=2(2,0)

【點(diǎn)睛】

本題考查在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)二次函數(shù)圖像，掌握描點(diǎn)法，列表，描點(diǎn)，連線，二次函數(shù)的性質(zhì)開(kāi)口方

向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)四二次函數(shù)產(chǎn)a(x-ft)的圖象與性質(zhì)

例題：(2021?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))說(shuō)出下列拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)：

(1)y=3(x+3>+5；

(2)y=-3(x-l)2-2；

2

⑶y=4(x-3)+7；

(4)y=—5(x+2)~—6.

【答案】(1)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x=-3,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一3,5)；(2)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x=l,

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,一2)；(3)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,7)；(4)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸

是直線x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一2,—6).

【解析】

【分析】

根據(jù)。的符號(hào)直接判斷開(kāi)口方向，根據(jù)頂點(diǎn)式直接寫(xiě)出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

(1)J=3(X+3)2+5,開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x=-3,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一3,5)；

(2)y=-3(x-l)2-2,開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-2)；

(3)y=4(x-3)2+7,開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,7)；

(4)y=-5(x+2)2-6,開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線尤=—2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,—6).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知二次函數(shù)y=-(x-2)2+3.

(1)寫(xiě)出此函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)y隨無(wú)增大而減小時(shí)，寫(xiě)出x的取值范圍；

(3)當(dāng)l<x<4時(shí)，求出y的取值范圍.

【答案】(1)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3)；(2)x>2；(3)-l<y<3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)。的符號(hào)判斷拋物線的開(kāi)口方向；根據(jù)頂點(diǎn)式可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的增減性，當(dāng)。>0時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減??；

(3)因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)(2,3)在1<%<4的范圍內(nèi)，開(kāi)口向下，所以y最的大值為3；當(dāng)尤=1時(shí)，y=2；當(dāng)

x=4時(shí)，y=-1,即可確定函數(shù)值y的范圍.

【詳解】

解：(1)加=-1<0,

團(tuán)圖象開(kāi)口向向下；

-(x-2)2+3,

國(guó)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3)；

(2)團(tuán)對(duì)稱軸x=2,圖象開(kāi)口向選，y隨x增大而減小

取的取值范圍為尤>2；

(3)回拋物線的對(duì)稱軸x=2,滿足1<無(wú)<4,

回此時(shí)y的最大值為3,

回當(dāng)彳=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=4時(shí)，y=-1,

回當(dāng)l<x<4時(shí)，y的取值范圍是-l<y43.

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，開(kāi)口方向；還考查了二次函數(shù)的增減性.

1

2.(2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))已知二次函數(shù)>=-1口-2%9)+3-4機(jī)(機(jī)是實(shí)數(shù)).

⑴小明說(shuō)：當(dāng)機(jī)的值變化時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在一條直線上運(yùn)動(dòng)，你認(rèn)為他的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？

(2)已知點(diǎn)尸(。-5,)Q(4機(jī)+3+a,c)都在該二次函數(shù)圖象上，求證：cV15.

【答案】⑴對(duì)的，理由見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到當(dāng)優(yōu)的值變化時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在一條直線上運(yùn)動(dòng)；

(2)由P,。的縱坐標(biāo)相同，即可求出對(duì)稱軸為直線x=a+2〃?-l,則可得方程a+2"z-l=2:w,從而求出a的值，

得出尸坐標(biāo)為(-4,c),代入解析式可得c=-1(-4-271+3=-(/?-4)2+15,最后根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)即可證得結(jié)論.

(1)

解：設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)

1

團(tuán)已知二次函數(shù)了=一,九一2根9)+3-4m(用是實(shí)數(shù))，

0x=2m,y=3-4m,

回2%+y=3,

即y=-2x+3,

團(tuán)當(dāng)加的值變化時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線產(chǎn)-2x+3上運(yùn)動(dòng)，

故小明的說(shuō)法是對(duì)的.

(2)

證明：點(diǎn)尸(a-5,c),Q(4,〃+3+a,c)都在該二次函數(shù)圖象上，

、r/rQ-5+4機(jī)+3+a_

團(tuán)對(duì)稱軸為直線％=--------------=a+2m-1,

2

0tz+2m-l=2m,

團(tuán)4二1,

團(tuán)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(-4,c)

代入>=一，(九一2相，+3-4m,得0=一■-(—4—2m)2+3—4m=—(m—4)2+15

4V74

0c<15.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

課后訓(xùn)練

'a..............................**

一、選擇題

1.（2022?內(nèi)蒙古?敕勒川實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于二次函數(shù)y=-3/+4的圖象，下列說(shuō)法正確的是

（）

A.開(kāi)口向上B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,4）

C.對(duì)稱軸是直線x=2D.與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確.

【詳解】解：回。=-3<0,

團(tuán)圖象開(kāi)口向下，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

把x=-3代入y=-3d+4中，得尸23,

團(tuán)圖象經(jīng)過(guò)（-3,-23）,故選項(xiàng)2錯(cuò)誤；

函數(shù)y=-3/+4對(duì)稱軸是直線x=0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

0A=Z?2-4ac=0-4x（-3）x4=48>0,

回二次函數(shù)圖象與無(wú)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸以及開(kāi)口方

向等，此題難度不大.

2.（2020?天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）二次函數(shù)〉=g（x-3>+4的圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、

頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（）

4.向上，直線x=3,（3,4）B.向上，直線x=—3,（-3,4）

C.向上，直線x=3,（3,-4）D.向下，直線x=3,（3,4）

【答案】A

【分析】因?yàn)轫旤c(diǎn)式左，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（〃，k）,對(duì)稱軸為x=/z.

【詳解】解：回。=5>0,

1

回二次函數(shù)y=5（x-3）92+4的圖象的開(kāi)口方向上，對(duì)稱軸x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)（3,4）

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，此題型是中考中考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握.

3.（2021?廣西?柳州市壺西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列對(duì)拋物線>=-2（無(wú)-4）2+9性質(zhì)的描寫(xiě)中，正確

的是（）

A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱軸是直線x=9

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-4,9)D.函數(shù)y有最大值

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】4拋物線y=-久x-4>+9中。=-2<0,開(kāi)口向下，故A錯(cuò)誤；

B.拋物線的對(duì)稱軸是直線x=4,故8錯(cuò)誤；

C.拋物線的解析式為：y=-2(x-4)2+9,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,9),故C錯(cuò)誤；

D.拋物線y=-久x-4>+9中。=-2<0,開(kāi)口向下，y有最大值，故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解答此題的關(guān)鍵.

4.(2022?湖北?武漢市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))己知點(diǎn)A(1,%),B(2,為)，C(-3,%)都在

二次函數(shù)y=-2/+4的圖象上，貝!]()

A.B.C.D.yi>y3>y2

【答案】B

【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性判斷即可.

【詳解】二次函數(shù)、=-21+4,

回拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是y軸，當(dāng)x>0時(shí)，y隨尤的增大而減小，

回點(diǎn)A(1,Ji),B(2,%)，C(-3,%)都在二次函數(shù)丁=一2/+4的圖象上，

回點(diǎn)C(-3,y3)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是C(3,y3)，

01<2<3,

回%>%>為,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的

關(guān)鍵.

5.(2021?四川?鄰水縣壇同鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))已知四個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么

q,%,a3,%的大小關(guān)系是()

1

y^y=y=a2x

A.%＞。2＞。3＞。4B.

C.。2＞。1＞。3＞。4D.%＞。2＞。4＞。3

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=中。的絕對(duì)值越大開(kāi)口越小,“>0開(kāi)口向上，。<0開(kāi)口向下，進(jìn)行判斷即可求

解.

【詳解】解：如圖所示：①y=G尤2的開(kāi)口小于②y=“2爐的開(kāi)口，則q>%>0，

③y=“3尤2的開(kāi)口大于④y=的開(kāi)口，開(kāi)口向下，

則a4<a3<0,

故aj>a2>a3>a4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了>=辦2的圖象與性質(zhì)，掌握。的意義是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2021?重慶市巴川小班實(shí)驗(yàn)中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）二次函數(shù)>=（x-4）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】（4,1）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：由二次函數(shù)y=（x-4>+l得，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,1）,

故答案為：（4,1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

7.（2022?北京市三帆中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-4）的拋物線的解析式

【答案】y=x2-4（答案不唯一）

【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式寫(xiě)出答案即可.

【詳解】解：回開(kāi)口向上，

回。>0,

回頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-4）,

回解析式為y=f—4,

故答案為：y=x2-4（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是要由頂點(diǎn)坐標(biāo)正確設(shè)出拋物線的解析式.理解開(kāi)口向上的含

義.

8.（2021?山東?泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）拋物線y=的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,拋物

線y=[x+的對(duì)稱軸是.

【答案】（0,-1）x=-j3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)>="?+左的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0,k）；二次函數(shù)y=a（尤-獷的的對(duì)稱軸是直線x=/z,

即可求解.

【詳解】解：拋物線＞=爐-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-1)；

拋物線y=[x+J的對(duì)稱軸是直線尤=-1.

3

故答案為：(0,T),x=--

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)y=g2+左的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,k)；二

次函數(shù)y=a(x-/z)2的的對(duì)稱軸是直線x=〃是解題的關(guān)鍵.

9.(2022?浙江?九年級(jí)單元測(cè)試)將拋物線y=V向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則平

移后的拋物線的解析式為.

【答案】J=(X-2)2+1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律即可得.

【詳解】解：將拋物線y=v向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的拋物線的解析

式為y=(x-2)~+i,

故答案為：y=(x-2)2+l.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律是解題關(guān)鍵.

10.(2021?重慶市璧山中學(xué)校九年級(jí)期中)設(shè)A(—2,%),8(1,%)，C(2,為)是拋物線V=-(x+D?+。

上的三點(diǎn)，則%,上，%的大小關(guān)系(用〈符號(hào)連接)

【答案】為＜%＜必

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-l,然后比較三個(gè)點(diǎn)離直線x=-l的遠(yuǎn)近得到M、

%、%的大小關(guān)系.

【詳解】解：回二次函數(shù)的解析式為？=-(尤+1)2+。，

回拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-l,

由4(-2,%)、2(1,%)、C(2,%)可知點(diǎn)C離直線x=-l最遠(yuǎn)，點(diǎn)A離直線尤=-1最近，

拋物線開(kāi)口向下，

國(guó)為＜%＜3.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)y=a(x-/02+k的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.對(duì)

于二次函數(shù)y=a(x-/?)2+k(a,h,左為常數(shù)，/0),當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨尤

的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，此時(shí)函數(shù)有最小值；當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，在

對(duì)稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，此時(shí)函數(shù)有最大值.其頂點(diǎn)坐標(biāo)

是他k),對(duì)稱軸為直線尤為.

三、解答題

11.(2021?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))填表

函數(shù)開(kāi)口方向頂點(diǎn)對(duì)稱軸最值對(duì)稱軸右側(cè)的增減性

y=3%2

y=-2x2+1

y=g(x-i)2

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)二次函數(shù)》=以2,y=ax2+k,y=a(x-/z)2的圖象與性質(zhì)即可完成填表.

【詳解】

函數(shù)開(kāi)口方向頂點(diǎn)對(duì)稱軸最值對(duì)稱軸右側(cè)的增減性

y=3%2上(0,0)y軸最小值0y隨x增大而增大

y=-2.x2+l下(0,1)y軸最大值1y隨x增大而減小

1

y=5(i)9上(1,0)直線*=1最小值0y隨x增大而增大

【點(diǎn)睛】本題考查了一類!特殊的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵.

12.(2020?北京延慶?九年級(jí)期中)已知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一2,5).

⑴求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求此拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】⑴y=(x-i)2-4

(2)此拋物線與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),(-1,0)

【分析】(1)設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)="(x-l)2-4,然后把(-2,5)代入求出°,即可得到拋物線解析式.

(2)將(1)中的y=0,解出一元二次方程的根即可.

(1)

解：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-l>-4

回圖像經(jīng)過(guò)(-2,5)

回5=9。一4

團(tuán)Q=1

2

_y=(X-l)-4

(2)

解：令y=0,即(x—I)?-4=0

解得：x=3或x=-l

故此拋物線與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),(-1,0)

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

析式時(shí)，要根據(jù)題目給定條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出解析式，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

13.(2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))一條拋物線由拋物線y=2/平移得到，對(duì)稱軸為直線彳=-1,并且經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(U).

⑴求該拋物線的解析式，并指出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵該拋物線由拋物線y=2%2經(jīng)過(guò)怎樣平移得到？

【答案】⑴拋物線為y=2(尤+1)2-7,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-7)；

⑵向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移7個(gè)單位長(zhǎng)度

【分析】(1)根據(jù)平移的規(guī)律平移后的拋物線為y=2(x+1)2+公代入點(diǎn)(1,1),即可求出解析式；

(2)由拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)左加右減，上加下減可得出答案.

(1)

解：設(shè)所求拋物線為y=2(x+1)2+4過(guò)(1,1)

則1=2(1+1)2+k,

解得k=-l,

團(tuán)所求拋物線為y=2(x+1)27

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-7)

(2)

解：所求拋物線y=2(x+1)2-7是由拋物線y=2/

向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及圖象的平移，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a?+k

對(duì)應(yīng)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?內(nèi)蒙古?敕勒川實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))己知拋物線y=-(%-2)2+3.

⑴該拋物線開(kāi)口向,對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(2)在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=-(x-2)2+3的圖象.

【答案】⑴下，直線尤=2,(2,3)

⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)找到對(duì)稱軸兩側(cè)的關(guān)鍵點(diǎn)及頂點(diǎn)坐標(biāo)即可;

(2)由表中的點(diǎn)，即可畫(huà)出函數(shù)圖象.

(1)

解：由拋物線>=-(x-2)2+3可知，

a=-1<0,開(kāi)口向下，

對(duì)稱軸是：直線尤=2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,3)；

故答案為：下，直線x=2,(2,3)；

(2)

①列表：

X01234

y-1232-1

故答案為：(0,-1),(1,2),(2,3),(3,2),(4,-1)；

②描點(diǎn)、連線：

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)圖象的畫(huà)法，理解二次函數(shù)的性

質(zhì).

15.(2021?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))(1)先填表，并在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)y=f和y=(x+l)2的

圖象；

X-3-2-10123

y二

>=(尤+球

—

(2)分別寫(xiě)出它們頂點(diǎn)坐標(biāo).

V

x

【答案】(回)見(jiàn)解析；(2)二次函數(shù)y=Y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),y=(x+l)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)

【分析】(1)列表，描點(diǎn)，連線畫(huà)出圖象即可；

(2))根據(jù)二次函數(shù)圖象即可寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

【詳解】解：(1)列表：

X-3-2-10123

y=x19410149

y=(x+l)241014916

在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)y=x?和