考點16空間幾何體(核心考點講與練)

空間幾何體的表面積、體積

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

KS

圖形A

ABABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點,但不一定相

側(cè)棱平行且相等延長線交于一點

等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形糜

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

△

圖形

1a

互相平行且相等，

母線相交于一點延長線交于?點

垂直于底面X

軸截面全等的起密全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開

矩形扇形扇環(huán)

圖X

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

八'

岸明:

側(cè)面展開圖E，包一備，

側(cè)面積公式=2nrlSnrlS區(qū)臺偈=Ji（八+制？

3.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體

S表面枳=Sf?+2S，=￡物力

（棱柱和圓柱）

錐體

1

S衣面枳=st<+s底P=.S能力

（棱錐和圓錐）O

臺體

產(chǎn)=1（5'上十5■十、/⑸$）力

5■表面枳=S蝴+S上+SFt

（棱臺和圓臺）

球S=4五#

3-----

求多面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多

的表面積面體的表面積

求旋轉(zhuǎn)體可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要

的表面積搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系

求不規(guī)則

通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱

幾何體的

體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積

表面積

2.求體積的常用方法

直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式宜接計算

首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)

割補法

則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算

選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱鏤的體積，即利用三棱錐的任

等體枳法

一個面可作為三棱椎的底面進行等體積變換

3.幾何體的外接球：一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球

的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.

幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點，多面體的各側(cè)

面為底面的棱錐，利用多面體的體枳等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.

4.截面問題：在高考立體幾何考點中涉及到空間幾何體的截面的地方較多，如:判斷截面的形狀、計算出空

間兒何體的截面周長或面積、或者求與之相關(guān)的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地解

決前面所提到的諸多問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出橫面，并判斷其形狀.

一、單選題

1.（2022?海南?？?模擬預(yù)測）己如圓柱的側(cè)面枳等于上、卜.底面積之和，圓柱的體枳與表面積的數(shù)值相同,

則該圓柱的高為（）

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件及圓柱的側(cè)面積、表面積和體積公式即可求解.

【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，腐為〃，則

所以該圓柱的高為4.

故選：B.

【答案】C

【分析】可得展開圖為圓環(huán)的一部分，求出小圓和大圓半徑即可求出.

故選：C.

3.12021湖北省黃石市高三上學(xué)期9月調(diào)研）已知圓錐的母線長為3亞，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為

5

故選：ACD

【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握棱臺的表面積、體積的求法及公式，并靈活應(yīng)用，難點在于求各個棱長及

確定。2為外接球的球心，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.

三、填空題

6.（2021貴州省貴陽市五校高三上學(xué)期聯(lián)合考試）學(xué)生到工廠參加勞動實踐，用薄鐵皮制作一個圓柱體，

圓柱體的全面積為8萬，則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是.

【分析】設(shè)圓柱底面圓半徑為〃結(jié)合已知表示出圓柱的高人再利用球及其內(nèi)接圓柱的特征求出球的表面

枳與r的函數(shù)關(guān)系結(jié)合基本不等式即可得解.

由球及其內(nèi)接圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，球心是圓柱兩底面圓圓心的中點，設(shè)球半徑為兄

【答案】且5乃

12

記。為外接球球心，半徑為我

故答案為：立，5兀

12

一、單選題

1.（2022?遼寧沈陽?二模）現(xiàn)有一個側(cè)面展開圖為半圓形的圓錐，其內(nèi)部放有一個小球，當(dāng)小球體積最大時,

該圓錐與小球的體積之比是（）

A.9:4B.9:5C.3:2D.3:1

【答案】A

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖為半圓，求得母線與底面半徑的關(guān)系，利用當(dāng)小球是圓錐的內(nèi)切球時，小球

體積最大，求得小球的半徑，可得答案.

【詳解】由圓錐側(cè)面展開圖為半圓，設(shè)圓錐母線為/,底面半徑為R,

又由當(dāng)小球是圓錐的內(nèi)切球時，小球體積最大，軸截面如圖示：

A

同理可知：尸為4片的中點，

故選：D.

3.（2021廣東省廣州市荔灣區(qū)高三上學(xué)期調(diào)研）若圓臺的下底面半徑為4,上底面半徑為1,母線長為5,

則其體積為（）

A.15萬B.214C.28乃D.637r

【答案】C

【分析】畫出圓臺的軸截面，即可求出圓臺的高，從而根據(jù)公式求出圓臺的體枳;

【詳解】解：圓臺的軸截面如圖所示：

1

故選：c

二、多選題

A.AB。r是等邊三角形B.直線AE與8尸是異面直線

【答案】AC

對于B,連接E/、如圖所示:

故選：AC.

【答案】AB

故選：AB.

三、解答題

【答案】(1)證明見解析(2)存在，|

【詳解】

故答案為：--

3

2.（2021江西省臨川一中、臨川一中實驗學(xué)校高三第一次月考）如圖，在底面邊長為4,高為6的正四棱

柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切,

則小球的半徑為.

3.（2022?天津?南開中學(xué)模擬預(yù)測）棱長為2方的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處

各放入一個小球，則這些球的最大半徑為（）

A.72B.也C.旦D.也

246

【答案】C

【詳解】

望曳柱錐臺的軸截面問題

一、單選題

【答案】B

【分析】由題意知直角圓錐的底面圓半徑為「等于高〃，再由直角圓錐的側(cè)面積求出底面圓的半徑，即可求

出其體積.

【詳解】設(shè)該直角圓錐的底面圓半徑為八高為爪母線長為/，

故選:B.

二、多選題

A.截面可以是三角形

D.當(dāng)平面。經(jīng)過側(cè)棱PC中點時，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：I

【答案】ACD

對于D：分別求出上下兩部分幾何體的體積，即可判斷.

【詳解】對于A:取PC的中點E,連結(jié)8E、DE、BD.

對于D:由A的推導(dǎo)過程可知：平面&經(jīng)過側(cè)棱PC中點時，平面々即為平面BDE.

故選：ACD

三、填空題

3.（2022.遼寧沈陽.模擬預(yù)測）已知圓錐底面圓半徑為2,母線與底面成角為60。,則圓錐側(cè)面積為,

若圓錐底面圓周及頂點均在一球上，則該球體積為.

【分析】求出圓錐的母線長可得惻面積，求出圓錐軸截面三角形外接圓半徑即圓錐外接球半徑，從而可得

球體積.

【答案】；

74640.

設(shè)MN的中點為C,連接PC,DM,首先求出點。到直線PC的距離OE,然后結(jié)合球。的半徑R,即可求

出平面PMN截球。所得截面圓的半徑為r.

設(shè)平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r,

p

5.（2021上海市高三春考模擬卷）已知圓錐的母線長為5,側(cè)面積為20萬，過此圓錐的頂點作一截面，則

截面面積最大為

【答案】」25

2

分析】圓錐軸截面頂角（兩片線夾角）小于等于二時，軸截面面積最大，軸械面夾角大于￡時，母線夾

22

7T

角為一時截面面積最大.

2

7T

所以當(dāng)兩母線夾角為一時，過此圓錐頂點的截面面積最大，

2

25

故答案為：—

2

四、解答題

（2）祖眼原理“哥勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平

面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.記鳥滿足的不等式組

I'所表示的幾何體為區(qū).請運用祖咂原理求證明與“的體積相等，并求出體積的大小.

0?z?4

（2）由題意可得幾何體恤為圓柱內(nèi)挖去一個同底等高的圓錐，且該圓錐的對稱軸與母線的夾角為45、.然后

由祖晅原理可求得結(jié)果

【詳解】（1）{/+必2/2?16,則幾何體”表示上半球，球半徑為4.

且該圓錐的對稱軸與母線的夾角為45.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查祖晅原理的應(yīng)用，考查新定義，考查不等式與幾何圖形的關(guān)系，解題的關(guān)

健是正確理解新定義和祖曜原理，考宜轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題

1.（2（）21年全國新高考1卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為及，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐

的母線長為（）

【答案】B

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

故選：B.

A.立B.立C.克

12124

【答案】A

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面

距離的勾股關(guān)系求解.

3.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)I））埃及胡夫金字嗒是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視

為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三

角彩底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

【答案】C

故選：C.

【點晴】本題主要考杳正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考杳學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，是一道容易題.

A.6471B.48兀C.36兀D.32兀

【答案】A

【詳解】設(shè)圓Q半徑為,，球的半徑為R，依題意，

故選：A

【點睛】本題考杳球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬「基礎(chǔ)題.

一、單選題

B.過戶，8,G三點若可作正方體的截面，則截面圖形為三角形或平面四邊形

【答案】D

【分析】根據(jù)錐體體積公式、正方體的截面、三棱錐的外接球、線面角等知識對選項進行分析，從而確定

正確答案.

當(dāng)P與僅、用不重合時，截面圖形為三角形，所以B選項正確.

2.（2022?江蘇?南京市第一中學(xué)三模）底面半徑為3,表面積為24%的圓錐的體積為（）

【答案】A

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為/,因為圓錐的底面半徑為3,表面積為24萬

故選：A

【答案】C

【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，，高為2r,球。的半徑為R,

故選：C.

【答案】C

【分析】圓錐的軸截面為一個等腰直角三角形，內(nèi)接正方體的對角面，根據(jù)三角形相似可得正方體的邊長.

故選：C.

【答案】A

故選：A.

6.（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模（文））攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代

稱攢尖.通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分.多見于亭閣式建筑，

園林建筑.如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）

是底邊長為6m,頂角為羊的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作出圓錐軸截面圖像，根據(jù)圖像求出圓錐底面半徑「和母線/,根據(jù)側(cè)面積公式”/即可

求解.

【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，

故選：B.

二、填空題

7.（2022?天津紅橋?一模）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1、

五、3,則此球的體積為.

【分析】求得長方體外接球的半徑，從而求得球的體積.

所以外接球半徑為G，

【答案】3冗

設(shè)外接球的球心為0,而BCDE的外接圓的圓心為0”則球心在過01且垂直于面BCDE的直線機上.

在底面四邊形BCQE中，如圖示:

由球的性質(zhì)可知：當(dāng)0M垂直于截面時，截面圓的面積的最小，設(shè)其半徑為，?.

故答案為：34

【點睛】多面體的外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：

（1）公式法；（2）多面體幾何性質(zhì)法；（3）補形法；（4）尋求軸截面圓半徑法；（5）確定球心位置法.

9.（2022?陜西?安康市高新中學(xué)三模（理））已知四面體/WCO中，人03,其余棱長均為2,則該四面體外

接球的表面積是_____.

【分析】根據(jù)圖形的對稱性，找到球心，再通過余弦定理、勾股定理可求得外接球的半徑，從而可求得外

接球的表面積.

四面體外接球的球心必在過△A8。，ACB。的外接圓圓心且與其所在面垂直的直線上.

【答案】57r

【分析】先判斷出球心的位置.，然后計算出球的半徑，從而求得球的表面積.

【詳解】取4。中點E,AC中點F,

故答案為：5兀

11.（2022?四川遂寧?三模（文））稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的體積為9〃,

則它的側(cè)面積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，

因為三棱錐的軸截面為等腰直角三角形，所以三棱錐的高為，母線為&r，

【答案】y

如圖,將其放到正方體中，該四面體的外接球和該正方體的外接球相同,

又所，所以正方體的棱長為￥，

故答案為：-y-.

13.（2021?上海?模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長為5,側(cè)面積為20刀,過此圓錐的頂點作一截面,則截