第10講平面向量的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)1向量在平面幾何中的應(yīng)用

1.用向量法解決平面幾何問(wèn)題

用向量法解決平面幾何問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)方向：

(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表

示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；

(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為代數(shù)運(yùn)算.一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法.

2.向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用

證明線段平行、點(diǎn)共線問(wèn)題及相似問(wèn)題常用向量共線的條件：

證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是正方形、矩形，常用向量垂直的條件：

判斷兩直線(或線段)是否垂直等

求夾角問(wèn)題，若向量。與。的夾角為e利用夾角公式：

求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等可以用向量的模：

對(duì)于有些平面幾何問(wèn)題，如載體是長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐

標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決綜合問(wèn)題.

3.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;

(2)通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題;

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻逢”成幾何關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)2向量在物理中的應(yīng)用

向量方法解決物理問(wèn)題的步驟

用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)分為四個(gè)步驟：

(1)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.

(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.

(4)回答問(wèn)題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問(wèn)題.

考點(diǎn)一向?在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用

解題方略：

用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路

(1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：

①選取基底；

②用基底表示相關(guān)向量；

③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；

④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.

(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟:

①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；

③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系;

④利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題.

DC

(-)用向量證明線段垂直問(wèn)題

【例1】如圖所示，在正方形A8CD中，E,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：AF±DE.

(-)用向量證明線段平行問(wèn)題

(三)用向量解決夾角問(wèn)題

【例3］求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值.

變式1:直徑所對(duì)的圓周角為直角.

(四)用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題

【例4】試用向量方法證明：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于其各邊平方的和.

考點(diǎn)二平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題

解題方略：

利用向量法解決長(zhǎng)度問(wèn)題的策略

向量法求平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題，即向量長(zhǎng)度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,

用公式|aF=a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a=(x,y),則|a|=y/^+y2.

【例5】如圖，在平行四邊形A5C。中，AD=1,AB=2,對(duì)角線3。=2,求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

變式1：若平行四邊形兩鄰邊的長(zhǎng)分別是4A和4#,它們的夾角是45。則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的那條

對(duì)角線的長(zhǎng)是.

變式2：已知RtaA5c中，ZC=90°,設(shè)AC=?i,BC=n.

⑴若Z＞為斜邊A3的中點(diǎn)，求證：CD=1AB；

⑵若E為CZ＞的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交5c于F,求A尸的長(zhǎng)度（用加，表示）.

考點(diǎn)三判斷三角形的形狀

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

考點(diǎn)四平面幾何中的最值問(wèn)題

115

A.—B.——C.—D.—2

224

A.16B.12C.5D.4

I

A.1B.一

4

考點(diǎn)五向?在物理中的應(yīng)用

解題方略:

用向量方法解決物理問(wèn)題的“三步曲”

【例9］在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過(guò)

長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？

【例10】物體受到一個(gè)水平向右的力匕及與它成60。角的另一個(gè)力工的作用.已知片的大小為2N,它們的合

力尸與水平方向成30。角，則F?的大小為（）

10N

【例11】已知兩恒力Fi=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)4(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)2(7,0),求Fi，

F2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.(力的單位：牛頓，位移單位：米)

考點(diǎn)六奔馳定理與三角形的四心

解題方略：

奔馳定理在三角形四心中的具體形式

備注：奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟

三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著決定性的基石作用.

(一)三角形的四心

【例12】已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若現(xiàn)兩=兩.泣1=無(wú).麗，則尸是△48(7的()

A.外心B回心C重心D捶心

變式1：已知。是平面上一定點(diǎn),A,8,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足5>=-一+筋>"GR,

則尸點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C,等腰非等邊三角形D.等邊三角形

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

（二）奔馳定理的應(yīng)用

【例13】點(diǎn)尸在AABC內(nèi)部，滿足設(shè)+2法+3反：=0,則以ABC:S&APC為（）

A.2：1B.3：2C.3：1D.5：3

變式1：點(diǎn)。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若SAAOB：SABOC:SAAOC=4：3：2,設(shè)同+〃或;貝按數(shù)2和"

的值分別為（）

44212^21

A.eq,§B.eqB.g,9c,eqCy,gD.eqD.g,9

A.—B.—C.2D?3

22

練習(xí)一向■在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用

2、如圖所示，在等腰直角三角形AC2中，乙4cB=90。，CA=CB,。為的中點(diǎn)，E是A3上的一點(diǎn),

5.AE=2EB,求證：AD1CE.

8

在四邊形A8C。中，AB+CD=0,AB-BC=0,證明：四邊形ABC。是矩形.

5、在四邊形ABCZ）中,AB+CD=0,尼?麗=0,求證：四邊形A8C。是菱形.

6、用向量的方法證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于一組鄰邊平方和的兩倍.

練習(xí)二平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題

練習(xí)三判斷三角形的形狀

1、已知在四邊形A8C。中，AB^DC，且lA8l=lACl，tan￡>=若，判斷四邊形ABC。的形狀.

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

練習(xí)四平面幾何中的最值問(wèn)題

25

C.—D.3

16

練習(xí)五向■在物理中的應(yīng)