專題18直線與圓的位置關系

’內(nèi)容導航一預習三步曲

第一步：學

析教材學知識教材精講精析、全方位預習

練題型強知識7大核心考點精準練

第二步：記

思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關測穩(wěn)提升小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

知識點02：判斷直線與圓的位置關系的兩種方法

1、幾何法（優(yōu)先推薦）

圖象&

位置關系相交相切相離

222

判定方法C:(x-tz)+(y—bp=產(chǎn)；C:(九一〃)2+(y—/?)2-r.C:(x-6Z)+(y—人)2-/；

1:Ax+By+C=0。l:Ax+By+C=Qo1:Ax+By+C=0。

圓心C(〃/)到直線/的距離：圓心C(a力)到直線/的距離：圓心C(〃/)到直線/的距離：

,\Aa+Bb+C\,\Aa+Bb+C\7\Aa+Bb+C\

d二,-------od二---------od二,---------o

VA2+B2VA2+B2y/A2+B2

d<m圓與直線相交。d=廠=>圓與直線相切。d>m圓與直線相離。

2、代數(shù)法

直線/：Ax+By+C^Q；圓M//+￡)x+Ey+p=o

Ax+Sy+C=0

聯(lián)立消去“丁”得到關于“x”的一元二次函數(shù)ax-+bx+c=0

x2+y2+Dx+Ey+F=Q

①A〉。O直線/與圓"相交

②△=00直線/與圓M相切

③△<00直線/與圓M相離

知識點03：直線與圓相交

記直線/被圓C截得的弦長為IA31的常用方法

1、幾何法（優(yōu)先推薦）

①弦心距（圓心到直線的距離）

②弦長公式：AB=24-d2

2、代數(shù)法

直線/：Ax+By+C-0；圓“￡+/+￡）x+Ey+p=o

Ax+By+C=0

聯(lián)立〈，,消去“y”得到關于“x”的一元二次函數(shù)依2+云+°=。

x2+y2+Dx+Ey+F=0

弦長公式：AB=J1+左*?"（%+々）2-4芯%2

知識點04：直線與圓相切

1、圓的切線條數(shù)

①過圓外一點，可以作圓的兩條切線

②過圓上一點，可以作圓的一條切線

③過圓內(nèi)一點，不能作圓的切線

2、過一點《（毛,%）的圓的切線方程（。加：0-4）2+0-/?）2=/）

①點兄（毛,為）在圓上

步驟一：求斜率：讀出圓心"（a/）,求斜率底”，記切線斜率為左，則左昂用法=-In%

步驟二：利用點斜式求切線（步驟一中的斜率+切點《（%,先））

②點￡）（%，%）在圓外

記切線斜率為左，利用點斜式寫成切線方程V-%=左。-%）；在利用圓心到切線的距離d=r求出左

（注意若此時求出的女只有一個答案；那么需要另外同理切線為x=x0）

3、切線長公式

記圓M：（x-萬+（丁-6）2=，；過圓外一點p做圓M的切線，切點為利用勾股定理求PH；

【題型01：判斷直線與圓的位置關系】

一、單選題

1.（24-25高二上?四川成都?月考）直線/：y=x+l與圓C:（x-1）2+V=4的位置關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.都有可能

【答案】A

［分析］利用圓心到直線的距離與半徑比較大小可得答案.

【詳解】圓c的圓心坐標為（1,0）,半徑為2,直線/的方程為x-y+l=0,

圓心到直線/的距離為索

y/2<2,

所以直線/與圓C的位置關系是相交.

故選：A.

2.（23-24高二上.廣東.期末）直線/：xcosg+ysine-2=0與圓0：/+丁=1的位置關系為（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】A

【分析】求圓心到直線的距離d與半徑廠比較即可判斷直線與圓的位置關系.

【詳解】由題意知，圓心（0,0）,半徑r=l,

1-21

所以圓心。到直線）的距離d=/,—=2>r=l,故圓。與直線/相離.

Vcos6）+sin'0

故選：A.

3.（24-25高二下?湖南婁底?期中）已知直線左-1=。和圓C:x2+/-2x+4y+4=0,則直線/與圓C

的位置關系是（）

A.相切B.相交C.相離D.相交或相切

【答案】D

【分析】由題意可求出直線所過定點（L-1）,代入圓中即可判斷出答案.

【詳解】由題意，：辰-=直線可化為：Mx-l）-（y+l）=0,

直線過定點（1,-1）,代入圓C:尤2+-2x+4y+4=0中，

易知該點為圓上一點，所以直線1與圓相交或相切.

故選：D.

4.（23-24高二上?陜西西安?期中）如果。2+〃=92,那么直線依+力-。=0與圓V+V=2的位置關系是

（）

A.相交B.相切C.相離D.相交或相切

【答案】C

【分析】由點到直線的距離公式代入計算，即可判斷.

【詳解】因為圓f+y2=2的圓心（0,0）,半徑一應，

Jd一一」dQ

則圓心到直線的距離為萬壽￡，

即直線與圓相離.

故選：C

5.（2025高二?全國?專題練習）已知直線/:盆+力=0與圓C:Y+丁=廣，點A（a,6）,則下列說法錯

誤的是（）

A.若點A在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點A在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點A在直線/上，則直線/與圓C相切

【答案】C

【分析】求出圓心C（o,o）到直線/的距離，根據(jù)點與圓的位置列關系式，求出圓心C（o,o）到直線/的距離求

【詳解】圓心c（o,o）到直線/的距離4=

若點A（a,b）在圓C上,貝！I

所以〃=則直線/與圓C相切，故A正確;

《a2+〃

若點A（a,b）在圓C內(nèi),貝！I/+〃</,

所以公則直線/與圓C相離，故B正確;

y/a2+b2

若點A（a,b）在圓C夕卜,貝！|片+〃>/,

所以〃=<H，則直線/與圓C相交，故C錯誤;

Va2+b2

若點A（a㈤在直線/上，貝!|。2+/一/=0,

即1+從=產(chǎn)，所以d=

^+b-

直線/與圓。相切，故D正確.

故選：C.

【題型02：由直線與圓的位置關系求參數(shù)】

一、單選題

1.(24-25高二上?廣東深圳?期末)若直線/：+y-l=O與圓(x-2y+y2=4相切，則切=()

335

A.——B.1C.-D.——

444

【答案】A

［分析】利用直線和圓相切的條件及點線距離公式列方程可得答案.

【詳解】因為直線/：〃a+，-1=0與圓(為一2)2+丫2=4相切，

所以圓心到直線的距離d=+T=2,解得%=-】.

+14

故選：A

2.(24-25高二下?江蘇南京?月考)設。、beR,若直線R刀與圓Y+9=2相切，則點P(a⑼與圓的位

置關系是()

A.點在圓上B.點在圓外

C.點在圓內(nèi)D.不能確定

【答案】C

【分析】利用直線與圓相切可得出而乒=變＜應，再利用點與圓的位置關系可得出結論.

2

【詳解】圓Y+y2=2的圓心為原點。，半徑為

因為直線網(wǎng)+少=|與圓V+V=2相切，則即J/+后考＜0,

即|O尸|=■萬〈收，因此，點P在圓f+＞2=2內(nèi).

故選：C.

22

3.(24-25高二下?河南洛陽?月考)已知經(jīng)過點「(-1,0)且傾斜角為子的直線/與圓C：x+y-6x+m=Q

相離，則機的取值范圍為()

A.(-1,9)B.(—,9)C.(1,9)D.(1,+8)

【答案】C

【分析】先寫出直線的方程，再應用點到直線距離與半徑比較即可列式即可求解.

【詳解】經(jīng)過點尸(-1,0)且傾斜角為?的直線/,則直線/的方程為產(chǎn)-X-L

-----------|3+1|《36-4m

因為圓心為。(3,0)半徑為所以由題意得下力＞一2―

36-4m＞0,

解得1＜機＜9.

故選：c.

4.（24-25高二下?廣西南寧?期中）直線、=履+3與圓d+（y_l）2=i相交的充分不必要條件可以是（）

A.k2>3B.k2<3C.k>2D.k>l

【答案】C

【分析】由圓心到直線的距離小于半徑，求得上的范圍即可求解.

【詳解】圓元2+（y-l）2=l的圓心坐標為（0,1）,半徑為1,

|^x0-l+3|

由直線與圓相交，得<1，即”?+1>2,得上2>3,

-JE+1

結合選項可知：直線y="+3與圓尤2+（y_咪=］相交的充分不必要條件可以是k>2.

故選：C.

5.（24-25高二上?天津和平?月考）若圓丁+丁=，&>0）上僅有4個點到直線工一尸2=。的距離為1,則

實數(shù)r的取值范圍為（）

A.（A/^+L+OO）B.^5/2—1,-\/2+ljC.D.（0,\Z^+l）

【答案】A

【分析】到已知直線的距離為1的點的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題

意可得這兩條平行線與尤2+>2=/有4個公共點，由此利用點到直線的距離公式加以計算，可得r的取值范

圍.

【詳解】

作出到直線尤-'-2=。的距離為1的點的軌跡，得到與直線x-y-2=0平行,

且到直線x-y-2=0的距離等于1的兩條直線,

圓尤2+y2=尸的圓心為原點,

原點至恒線x_y_2=0的距離為公~1^一"'

，兩條平行線中與圓心。距離較遠的一條到原點的距離為,

又圓八）2=/（廠>0）上有4個點至恒線x-y-2=。的距離為1,

，兩條平行線與圓X?+>2=產(chǎn)有4個公共點，即它們都與圓x2+/=產(chǎn)相交.

由此可得圓的半徑『>〃’,

即r>0+l,實數(shù)r的取值范圍是（夜+1,+引.

故選：A.

二、填空題

6.（23-24高二上?四川南充?月考）已知圓C:V+y2=9,直線/：y=x-6,若圓C上至少有3個不同的點

到直線/的距離都等于1,則6的取值范圍是

【答案】[-272,272]

【分析】數(shù)形結合，找到滿足題意的臨界狀態(tài)，再利用點到直線的距離公式，列出不等式，即可求得范圍.

因為圓C的半徑為3,故當圓心到直線/的距離小于等于2時，滿足題意，

也即當直線/與4,4平行，且介于44之間（也可與44重合）時，滿足題意;

則圓心C到直線/的距離d=gw2,解得6e[-20,2a].

故答案為：[-2忘,2虛].

【題型03：求切線方程及參數(shù)問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?遼寧沈陽?月考）過點*2,1）作圓C:d+y2-2y-3=0的切線，則切線方程為（）

A.X-j-l=OB.x-2y=0C.x+2y-4=0D.x-2=0

【答案】D

【分析】分析可知，點尸在圓C上，且⑥c=。，由此可得出所求切線的方程.

【詳解】圓C的標準方程為尤2+（y—丁=4,圓心為C（0,l）,

因為22+（1-1）2=4,所以，點尸在圓C上，貝!1%===0，

2—0

所以，所求切線與X軸垂直，故所求切線的方程為尤=2.

故選：D.

2.（24-25高二上?北京?月考）若圓（x-ay+y2=i（a>0）與直線y=#尤只有一個公共點，則。的值為（）

A.1B.73C.2D.2石

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件可知直線y=3x是已知圓的切線，由點到直線距離公式求解即得.

3

【詳解】因圓a-。）?+/=1（。>。）與直線y=-x只有一個公共點，

-3

則直線x-=0與圓（x-4+V=1切線，圓心（。,0）到該直線距離為半徑1,

即J仔+；君y=10^1=2,而。>0,貝!!有。=2,

所以。的值為2.

故選：C

3.（24-25高二上?云南臨滄?月考）過點尸（3,1）作圓0:/+丁=1的切線/,貝腳的斜率為（）

332

A.0B.—C.0或一D.0或一

443

【答案】C

【分析】設出直線方程，借助切線的性質(zhì)計算即可得.

【詳解】當直線斜率不存在時，直線為x=3,此時圓心到的距離d=3wr,故不符；

當直線斜率存在時，設切線/的方程為k1=小-3）,即"7-3%+1=0,

11-3^1

則圓心到直線/的距離d==1,

>]k2+l

3

解得左=0或左=J.

4

故選：C.

4.（23-24高二下?全國?課后作業(yè)）從圓/-2》+,2-2殲1=0外一點尸（3,2）向這個圓作兩條切線，則兩切

線夾角的余弦值為（）

A.；B,-C.BD.6

252

【答案】B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結合二倍角公式即可求解.

【詳解】由x2-2x+y2-2y+l=0得（x-l）2+（L，

所以圓心為4（1,1）,半徑為廠=1,

設切點分別為民C,連接P4,則13尸。為兩切線的夾角，

由于歸H=“3—1）2+（2—1）2=小，

\AB1

所以sin/AP2=\AP=15

二、填空題

5.(24-25高二上?福建莆田?期中)己知圓C的圓心(〃?,-機)，且與直線y=2無相切于點尸(1,2),則圓C方

程為.

【答案】(x+5)2+(y-5)2=45

【分析】根據(jù)圓心與切點連線垂直于切線求出〃?，由「=歸。求得半徑，根據(jù)圓的標準方程求得答案.

【詳解】?.?圓C的圓心且與直線V=2X相切于點尸(1,2),

...直線PC與直線＞=2x垂直,

：.kPCx2=-l,即NL^X2=-1,解得加=—5,

m-1

，圓心C(—5,5),圓的半徑r=|PC|=J(-5-1。+(5-2)2=3卡，

.,.圓C方程為(x+5y+(y-5)2=45.

故答案為：(x+5y+(y-5)2=45.

6.(24-25高二上?天津?期末)己知圓C:(*-3)2+(k1)2=1,直線/過點尸(4,3),若直線/與圓C相切，

則直線I的方程為.

【答案】3x-4y=0或》=4

【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求解.

【詳解】當切線的斜率存在時，可設直線/：y-3=Mx-4),

即kx~y~4k+3=0,

/、|3女一1—4女+3|3

圓心C(3,l)到直線I的距離為d=??=1,解得左=：,

故直線/的方程為3x-4y=0；

當直線的斜率不存在時，直線/：x=4,圓心C(3,l)到直線/的距離為1,符合題意；

所以直線/的方程為版-4尸0或x=4.

故答案為：3x-4y=0或尤=4.

7.(23-24高二上?四川遂寧?期中)己知圓C的圓心在直線x-y+l=。上，且與直線3x+4y-16=。和y軸

都相切，則圓C的方程為.

[^1(x-1)2+(j-2)2=1^(x-6)2+(y-7)2=36

【分析】由已知可設圓心為C(“,。+1),半徑/=同，再根據(jù)直線與圓相切，可得解.

【詳解】由已知圓C的圓心在直線x-y+l=O上，

則設C(q,a+1),

又圓與>軸相切，

所以半徑r=同，

圓的方程為(尤-4+(卜。-1)2=片

因為圓C與直線3x+4y-16=0相切，

，|3a+4(fl+l)-16|..

所以d=?——一=r=\a\,

V32+42

化簡得(a-l)(a-6)=0,解得a=l或a=6,

所以圓的方程為(x-iy+(y_2)2=]或(X_6)2+Q_7)2=36,

故答案為：(x-l)2+(y-2)2=l^(x-6)2+(y-7)2=36.

【題型04:切線長(切點弦)問題】

一、單選題

1.(2025?重慶?三模)過圓O：/+/=1外的點p(3,2)作。的一條切線，切點為M,則|網(wǎng)=()

A.2B.2#C.713D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)切線的意義知加JLMP,由勾股定理可求.

【詳解】由題意有「一/=13-1=12,即|亞。|=2有.

故選：B.

2.(24-25高二上?浙江金華?期末)點尸為直線y=2上一動點，過點尸作圓尤2+丁=1的切線，切點為Q,

則|尸0的最小值為()

A.1B.&C.6D.2

【答案】C

【分析】可知圓。的圓心為原點，可求出「。|的最小值，再利用勾股定理可求得|PQ|的最小值.

【詳解】設點尸的坐標為(〃2,2),由圓尤2+丁=1的圓心坐標為(0,0),有|PO|=J7萬22,

由圓的幾何性質(zhì)可得PQ±QO,

又由|尸@=不加5=J7不I2亞口=如，

所以當m=0時，|尸0取得最小值名.

故選：C.

二、填空題

3.(2024高二?全國?專題練習)已知圓C:(x-l)2+(y-2)2=9外一點P(-4,2),過點尸作圓C的兩條切線，

切點分別為A和B,則直線A3的方程為.

【答案】x=-j

【分析】由二級結論：若點"(毛,%)在圓外，過點M引圓的兩條切線，切點為加|，加2,則切點弦(兩切點

的連線段)所在直線的方程為(La)&—a)+(y—%)(%一》)=/(圓的方程為(x-q)2+(y—6)2=/),代入

即可的直線A3的方程.

【詳解】由題意，切點弦所在直線的方程為：

(T-1)(X-1)+(2-2)(y-2)=9,

化簡得：x=-14.

4

故答案為：尤=-手

4.(24-25高二上?江蘇南京?期中)已知圓M:/+(y-2)2=l,。是x軸上動點，QA0B分別是圓M的切

線，切點分別為A8兩點，則直線A8恒過定點.

【答案】[。，|]

【分析】先設Q(a,0),然后求出直線A3的方程，計算定點即可.

【詳解】設。(。,0),4(3,％),3(尤2，%)，易知加(0,2)

MA=(xl,y1-2),MB=(x2,y2-2),MQ=(a,-2)

由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，MA.MQ=1,MB.MQ=1

所以有一；「一?：；

ax2—2(%-2)=1

所以點48在直線就-2(k2)=1上

故直線AB的方程為依-2y+3=0,過定點[o]

故答案為：

三、解答題

5.(2025高二?全國?專題練習)已知圓C:x2+y2-6x-8y+21=0,直線/過點A(LO).

(1)若直線/與圓C相切，求直線/的方程；

(2)當直線/的斜率存在且與圓C相切于點8時，求

【答案】⑴元=1或31丫-3=0

⑵4

【分析】(1)分斜率存在或不存在兩種情況，若不存在，設直線/的方程，利用d=，即可;

(2)在VABC中勾股定理即可.

【詳解】(1)圓C的方程d+y2-6x-8y+21=0可化為(x-3『+(y-4)2=4,

則圓C的圓心為(3,4),半徑廠=2,

①當直線/的斜率不存在，則直線，方程為x=l,滿足題意;

②當直線/的斜率存在時，可設直線/的方程是＞=左(％-1),即"-丫-左=0,

\3k-4-k\3

由圓心(3,4)到直線/的距離d==r=2,解得人“

Jj+l

此時直線/的方程是3x-4y-3=0,

綜上，直線/的方程是x=l或3x-4y-3=0.

(2)由⑴得直線/的方程是3x-4y-3=0,

則|AC|=^/（3-1）2+42=2A/5,

6.(24-25高二上?廣東廣州?期中)已知VABC的三個頂點分別為4(2,0),3(2,4),C(4,2),直線/經(jīng)過

點。。,4).

(1)求VABC外接圓M的標準方程；

⑵若直線/與圓河相交于尸，。兩點，且2。=2若，求直線/的方程；

(3)若E,歹是圓M上的兩個動點，當ZEE*最大時，求直線EF的方程.

【答案】⑴(x-2>+(y-2)2=4

(2)x=l或3x+4y-19=0.

⑶x-2y+6=0

【分析】(1)設出圓M的一般式方程，代入三點坐標解方程組可得一般式方程，再配方得標準方程；

(2)由弦長求法求得圓心到直線的距離，按直線斜率存在與不存在分類討論求直線方程，斜率存在時，設

直線方程，由點到直線距離公式求參數(shù)值.

(3)由0(1,4)在圓M外，當尸與圓相切時(E,尸不重合)，ZEDb取的最大值，

求出以DM為直徑的圓方程，與圓M方程相減可得切點弦EF所在直線方程.

【詳解】(1)設圓M的方程為/+)?+m+項+尸=0,D2+E2-4F>0,

‘4+2。+尸=0[。=-4

貝/4+16+2Z)+4E+F=0,解得<E=-4,

16+4+4D+2E+F=0[F=4

則圓M的方程為Y+y2-4x-4y+4=0,

即圓M的標準方程為-2)2+(y-2)2=4；

(2)由(1)得圓心M(2,2),半徑r=2,

又|PQ|=26,可知圓心〃到直線/的距離d==A/4—3=1>

當直線/斜率不存在時，直線方程為x=l,此時圓心M(2,2)到直線/的距離為1,忱。卜2代成立;

當直線/斜率存在時，設直線/方程為丫-4=左(了-1),即丘左+4=0,

\2k-2-k+4\

圓心M(2,2)到直線/的距離d==1,

?E+1

解得上=_：,貝!)直線方程為>一4=一：@一1),即3x+4y—19=0；

綜上，直線方程為x=l或3x+4yT9=0.

(3)由。(1,4)在圓M外，當。E,OF與圓相切時(E,F不重合)，/￡/用取的最大值,

此時ZW的中點為(于3),DM=7(1-2)2+(4-2)2=V5,

35

所以以。M為直徑的圓的方程為(x-彳)2+"-3)2=不

24

即產(chǎn)+儼—3%—6y+10=0①，

又圓M的方程為尤2+y2-4x-4y+4=0②，

①-②：x-2y+6=0,

所以直線口的方程為x-2y+6=0.

【題型05:弦長及參數(shù)問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?甘肅?期末）直線/：3無+4y+l=0被圓C:尤2+y2-4x+6y+4=0截得的弦長為（）

A.20B.4A/3C.2也D.40

【答案】D

【分析】利用弦長公式/=277二^即可求得結果.

|3x2+4x(-3)+l|

【詳解】圓C的圓心為（2,-3）,半徑為3,圓心到直線/的距離”=衣+工一=1,

所以直線/被圓C截得的弦長為2律二了=4五.

故選：D

2.⑵-24高二上?重慶九龍坡?期中）直線丁="+1與圓（I）?+（y-2）2=4相交于M、N兩點，若,叫=26,

則左等于（）

A.0B.-2C.2或0D.-2或0

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的方程及弦長，可以求得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式即可求得.

【詳解】由圓（彳-1）2+仃-2）2=4的方程可知，圓心為（1,2）,半徑R=2,

\k-l\

則圓心到直線的距離為,又因為弦長|MN|=2A，所以d=l,

即”==1,解得左=0.

故選:A

3.（24-25高二下?云南?月考）若尸（1,2）為圓O:Y+y2=9的弦"的中點，則直線鉆的方程是（）

A.x-2y+5=0B.2x-y+4=0

C.x+2y-5=0D.2x+y-4=0

【答案】C

【分析】求出直線。尸的斜率，由垂徑定理得到。尸，河，利用兩直線垂直斜率關系可以求出直線的斜

率，利用點斜式寫出直線方程，最后化為一般式方程.

【詳解】由題意知直線的斜率存在，且OPJ_AB

kAB-kop=-1,

,**k()p=-0=2,/.=--,

二直線AB的方程為y-2=-：(x-l),即尤+2y—5=0,

故選：C.

4.(24-25高二上?山東?月考)直線3尤-4y+10=0與以點C(T-2)為圓心的圓相交于4,8兩點，且［43|=8,

則圓C的方程為()

A.(x+l>+(>+2)2=25B.(X-1)2+(J-2)2=25

C.(X+1)2+(J+2)2=5D.(X-1)2+(J-2)2=5

【答案】A

【分析】利用點到直線的距離公式及圓的弦長公式的逆運用計算半徑即可.

1-3+8+101

【詳解】點。(-1,-2)到直線3x-4y+10=0的距離為“=行+㈠丁=3，

所以圓C的半徑為廠=|/+［苧］=79716=5,

則圓C的方程為(x+1>+(y+2產(chǎn)=25.

故選：A.

5.(2025?云南大理?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，己知直線/:無+y-2=0與圓。：/+y=4交于

點A,3,動點尸在圓C:(x+2)2+V=/(r>0)上運動，若的的面積的取值范圍為［2,6］,則，?的值為()

A.4B.72C.2D.20

【答案】B

【分析】利用點到直線和圓上的點到直線的距離公式求解即可.

所以|AB|=2j22-=2應,

記點P到直線/的距離為h,則dPAB的面積SPAB=^\AB\h=y/2he［2,6］,

所以此[&,3忘],

又圓心C到直線/的距離為d==所以/ze[20-匕20+r],

又〃e[&,30],所以一夜，

故選：B

二、解答題

6.(24-25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期末)己知圓心為C的圓經(jīng)過點A(2,0),B(0,T),且圓心C在直線x+y=0上.

⑴求圓C的方程；

(2)已知直線/過點(8,0)且直線/截圓C所得的弦長為2,求直線/的方程.

【答案】⑴(尤-3)2+3+3)2=10

⑵y="1-15或y=0

8

【分析】根據(jù)圓心在弦的中垂線上，也在直線無+y=0上求解可得圓心，進而求得半徑即可得圓的方程;

先討論直線/斜率不存在時，再設直線/的點斜式，根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】(1)由題意圓心在弦AB的中垂線上，

又A(2,0),B(0,T)中點M(1,-2),kAB==2,

0—2

iiiQ

則弦A5的中垂線斜率左=-展故中垂線方程：y+2=-1(x-l),即尸一夕一：，

聯(lián)立龍+y=0可得x=3,尸一3,即C(3,-3),

故圓C的半徑|AC|=J(3-2『+(-3-0『二M.

故圓C的方程：(x-3)2+(y+3)2=10

(2)當直線/斜率不存在時，直線/與圓C不相交；

當直線/斜率存在時，設/方程〉=左(》-8),

因為直線/截圓C所得的弦長為2,故圓心C到I的距離d=710^1=3.

/、_J3左+3-8月

貝！|近一y—8左=0至!)C(3,—3)的星巨離〔.+-=3,

則(5"3)2=9(1+叼，即25^-30左+9=9+9/,解得左=,或后=0.

故/方程、=皆＞8),即y=3.I5或y=0.

OO

7.(24-25高二上?四川巴中?期末)已知直線/：y=Mx+l),圓M:x2+y-4x-4y+4=0(點M為圓心).

⑴若直線/與圓M相切，求實數(shù)上的值；

(2)當左=1時，判斷直線,與圓M是否相交于不同的兩點？如果相交于不同兩點，記這兩點為A3,并求

的面積，如果不相交，請說明理由.

【答案】⑴左=0或左=￡;

⑵直線/與圓M相交于不同的兩點，立

2

【分析】(D借助切線定義計算即可得；

(2)計算點/到直線/的距離，比較半徑即可得直線/與圓”是否相交于不同的兩點，再借助垂徑定理可

計算即可的的面積.

【詳解】(1)由尤2+y2-4》-4丁+4=0可得(x—2)2+(y—2)2=4,即“(2,2)、半徑-2,

由y=左(工+1)可得6_y+左=0,

由直線/與圓M相切，則有“2+」=2,化簡得左(5k-12)=。，

即左=0或%=?17；

(2)當左=1時，y=x+l,此時點〃到直線/的距離為止=叫2+1|="<2,

71+12

故直線/與圓M相交，即直線/與圓M相交于不同的兩點，

由d考，則阿=222-m=2口|=①

貝！等

8.(24-25高二上?廣東肇慶?月考)已知圓C：f+(y_2『=32,點4(6,0).點p在圓C上運動，8為線段AP

的中點.

(1)求點8的軌跡方程E,并說明其軌跡；

(2)若過點(1,2)的直線/被曲線E(點E為軌跡中心)截得的弦長為4,求直線/的一般方程.

【答案】(l)(x-3y+(y-l)2=8,軌跡為以E(3,1)為圓心，以2板為半徑的圓.

⑵尤=1或3x-4y+5=0

x=2x-6

【分析】（1）設*x,y）,尸優(yōu),%）,根據(jù)B為線段"的中點，可得a°c,再結合尸點在圓C上可

y0=2y

得B點軌跡方程，再進一步分析其軌跡.

（2）結合（1）的結論，按直線/的斜率是否存在分類，結合弦心距求直線方程.

【詳解】（1）如圖：

設3（x,y）,P（A0,y0）,因為8為線段AP的中點,

龍。+6一，

-A

2\x0=2x-6

所以《1為=2y

又點P（%,%）在圓C：x2+（y-2）2=32±,所以片+（%-2『=32.

所以（2x-6）2+（2y—2）2=32,即（無一37+（j-l）2=8.

所以點B的軌跡是以E（3,l）為圓心，以2萬為半徑的圓.

（2）由（1）可知，點E到直線/的距離：.='（20『-22=2.

點E到直線/的距離為2,因此直線/的方程可以為尤=1；

當直線/的斜率存在時，設其方程為：y-2=k（x-l）,即日-y+2-左=0.

此時直線,的方程為：3x-4y+5=0.

故直線/的方程為x=l或3x-4y+5=0.

9.（24-25高二上?廣東茂名?期末）已知圓（7:/+9+公一6'+12=0關于直線工一＞+1=。對稱.

（1）求圓C的標準方程；

⑵若直線3x+y-8=0與圓C相交于A、8兩點，求|AB|；

⑶在（2）的前提下，若點。是圓（x+4）2+（y-3）2=10上的點，求—QAB面積的最大值.

【答案】（1）（尤-2?+“3）2=1

3710

5

【分析】(1)將圓C的方程化為標準方程，分析可知，直線x-y+l=。過圓心，求出a的值，即可得出圓

C的標準方程；

(2)求出圓心到直線的距離，結合勾股定理可求得弦AB的長；

(3)求出點。到直線48的距離的最大值，結合三角形的面積公式可求得面積的最大值.

【詳解】⑴圓C的方程可化為,+|j+(y_3)2=:3,圓心為

因為圓uf+j+〃％一6〉+12=。關于直線九一丁+1=0對稱，

貝!I直線x-y+l=O過圓心C,所以一■|_3+1=0,得。=7.

所以圓C的標準方程為(x-2)2+(y-3)2=l.

(2)由(1)得圓心為C(2,3),半徑廠=1,

又直線A3的方程為3x+y-8=0,

|6+3-8|-\/10<]

則圓心C到直線的距離4=打+仔一玉尸，直線AB與圓相交,

所以=2J7二盾==平.

(3)圓(尤+4『+(y—3)2=10的圓心為(Y,3),半徑長為風,

則點(T3)到直線A2:3x+y-8=0的距離為

所以點。到直線AB距離的最大值為"叵+亞=生何，

1010

所以Q"面積的最大值為京羋x暗=3

【題型06：直線與半圓相交的問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?江西吉安?月考）直線y=x+6與曲線*=黃三恰有1個交點，則實數(shù)b的取值范圍是

（）

A.B.-72<b<\

C.-5/2<b<—\D.—1<Z?<1/>=—y/2

【答案】D

【分析】由曲線》=6丁，表示一個半圓（單位圓位于y軸及y軸右側(cè)的部分），然后根據(jù)直線y=x+6

與半圓的位置關系，利用數(shù)形結合法求解.

【詳解】曲線工=6丁，即/+丁=1（尤wo）,

表示一個半圓（單位圓位于y軸及y軸右側(cè)的部分），

如圖，

設A（0』）、3（1,0）、C（0-1）,

當直線y=x+6經(jīng)過點A時，b=l,

當直線y=x+6經(jīng)過點3、點C時，b=-l,此時有2個公共點，不符合題意;

所以當-1<641時，直線與曲線有一個公共點；

當直線y=x+6和半圓相切時，

則圓心到直線的距離等于半徑，

即1=號，求得6=-應或b=0（舍去），

即時，只有一個公共點，符合題意，

綜上得，實數(shù)6的取值范圍為-1<6<1或6=-血，

故選：D.

2.（24-25高二上?山東濟南?期中）若直線/：履7-2=0與曲線c：,4-=x-l有兩個不同的交點,

則實數(shù)上的取值范圍是（）

A7-3+276D-3+276一u

A.k>---------B.----------<^<5

33

——3—2A/6.-3+2^/^n—3+2屈,.

C.--------<k<---------u.--------<<1

333

【答案】D

【分析】根據(jù)直線/的方程得到直線，恒過定點4(0,-2),根據(jù)曲線C的方程曲線C表示半圓，然后結合圖

形求"的范圍即可.

【詳解】直線/恒過定點40,-2),

曲線C的方程可整理為(x-1)?+(y-1)?=4,xW1,

所以曲線C表示以。,1)為圓心，半徑為2的半圓，圖象如下所示：

/1,%為兩種臨界情況，由題意得r?(i,-i),則勺=子9=1,

1--U

令圓心(1,1)到直線I的距離d=)一:一2|=2,解得左=絲近二2,則勺=拽二2,

ykH-133

所以當拽二時，直線/與曲線C有兩個不同的交點.

3

故選：D.

3.(24-25高二上?福建泉州?期中)若直線/:履-y-2=0與曲線c：Jl-蘆-I):1至少有一個公共點,

則實數(shù)%的取值范圍是()

一4-

A.§,2B.

「4[<4]4

C.-2,--u-,2D.一,+8

L3」(3」3

【答案】B

【分析】作出曲線C的圖象，數(shù)形結合可得解.

【詳解】直線/：丘-y-2=o恒過定點(0,-2),

由=尤-1,得至U(尤一(x>l),

所以曲線C表示以點(1,1)為圓心，半徑為1,且位于直線尤=1右側(cè)的半圓(包括點(1,2),(1,0)),

如下圖所示：

當直線/經(jīng)過點（1,2）時，/與曲線C有一個交點，此時發(fā)=4,

bt-34

當/與半圓相切時，由—=1,得％=w，

Jk2+13

4

由圖可知，當時，/與曲線C至少有一個公共點,

故選：B.

4.（24-25高二下?江西景德鎮(zhèn)?期中）已知P（x,y）是曲線y=上一動點，若滿足|無+>-/|=2的點

P恰有2個，則實數(shù)/的取值可能是（）

A.73B.75C.20D.3

【答案】B

【分析】作出圖形，利用代數(shù)式的幾何意義可求答案.

【詳解】由曲線y=石二？，得則