專題02正余弦定理在解三角形中的高級應用與最值問題

【命題規(guī)律】

解三角形是每年高考?？純热?，在選擇、填空題中考查較多，有時會出現(xiàn)在選擇題、填空題的壓軸小

題位置，綜合考查以解答題為主，中等難度.

【核心考點目錄】

核心考點一：倍長定比分線模型

核心考點二：倍角定理

核心考點三：角平分線模型

核心考點四：隱圓問題

核心考點五：正切比值與和差問題

核心考點六：四邊形定值和最值

核心考點七：邊角特殊，構建坐標系

核心考點八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題

核心考點九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范圍

【真題回歸】

【方法技巧與總結】

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是將三角形中已知條件的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系，

基本思想是方程思想，即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.

3、對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，

求得最大值或最小值；二是將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數形式，結合角的范圍，確定所

求式的范圍.

4、利用正、余弦定理解三角形，要注意靈活運用面積公式，三角形內角和、基本不等式、二次函數等

知識.

5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周長或面積最值問題的殺手銅，要牢牢掌握并靈活運用.利用三

角公式化簡三角恒等式，并結合正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角互化，再結合角的范圍、輔助角公式、基本不

等式等求其最值.

6、三角形中的一些最值問題，可以通過構建目標函數，將問題轉化為求函數的最值，再利用單調性求

解.

7、“坐標法”是求解與解三角形相關最值問題的一條重要途徑.充分利用題設條件中所提供的特殊邊角

關系，建立恰當的直角坐標系，選取合理的參數，正確求出關鍵點的坐標，準確表示出所求的目標，再結合

三角形、不等式、函數等知識求其最值.

【核心考點】

核心考點一：倍長定比分線模型

【規(guī)律方法】

D

【典型例題】

⑴求AD的長度;

⑴求。;

(2)求S的取值范圍.

(1)求C的值;

⑴求角B；

核心考點二：倍角定理

【規(guī)律方法】

【典型例題】

⑴證明：A=2C；

⑵若A=2B,求BC的長.

(2)求2的取值范圍.

C

核心考點三：角平分線模型

【規(guī)律方法】

【典型例題】

(1)求角C的大小;

(1)求角C的大小;

(1)求角B的大小;

核心考點四：隱圓問題

【規(guī)律方法】

【典型例題】

45

A.5/2B.GC.-D.—

核心考點五：正切比值與和差問題

【規(guī)律方法】

【典型例題】

(1)求角8的大小;

核心考點六：四邊形定值和最值

【規(guī)律方法】

正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內接的四邊形，尤其是擁

有對角互補的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理.

A

/\

/I

B

【典型例題】

核心考點七：邊角特殊，構建坐標系

【規(guī)律方法】

利用坐標法求出軌跡方程

【典型例題】

【答案】正

核心考點八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題

【規(guī)律方法】

【典型例題】

(1)證明：a,b,c成等比數列;

(1)求角A的大小;

(1)求角C；

核心考點九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍

【規(guī)律方法】

對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求

得最大值或最小值；二是將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數形式，結合角的范圍，確定所求

式的范圍.

【典型例題】

⑴求

⑴求角C的大小;

(1)求角c的大小.

(1)若b=。，求A的值;

(2)求B的最大值.

⑴求A的大小;

【新題速遞】

一、單選題

C.-1

A.1B.--D.--

432

A.21B.24C.27D.36

A.6D.3

二、多選題

三、填空題

16.(2022?全國?高三專題練習)已知A、B、C、。