/2024-2025學(xué)年安徽省六安市獨山中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)2?i1?i=(

)A.32+12i B.122.已知向量a=1,1，b=1,?2，c=x,?1，若A.1 B.2 C.?2 D.?13.如圖，在△ABC中，BD+4CD=0，則A.15AB+45AC

B.454.已知正三棱柱的體積為62，且底面邊長與高相等，則該正三棱柱一個側(cè)面的對角線長為(

)A.1 B.3 C.2 D.5.如圖，水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′，已知A′O′=O′B′=1，B′C′=1，則四邊形ABCD的周長為(

)A.62

B.122

C.6.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為6，體積為24，則該球的表面積是(

)A.264π B.44π C.411π7.在△ABC中，若BC=1，AC=3，cosC=23，則sinB=(

)A.306 B.155 C.8.如圖，一同學(xué)利用所學(xué)習(xí)的解三角形知識想測量河對岸的塔高AB時，他選取了塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.∠BCD=45°，∠BDC=75°，CD=20?m，在點C處塔頂A的仰角為60°，則塔高為(

)A.10(6+2)m B.5(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點分別在一、二象限，則z1+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是(

)A.圓柱的側(cè)面積為2πRB.圓錐的側(cè)面積為2πR2

C.D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：211.對于△ABC，有如下判斷，其中正確的是(

)A.若sinA=sinB，則△ABC為等腰三角形

B.若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰或直角三角形

C.若cosA<cosB，則A>B

D.若tanA>tanB，則A>B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是個底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′中，B′C′=2，OC′=2，則該平面圖形的面積為______．13.如果在一個邊長為5的正△ABC中，一個向量所對應(yīng)的有向線段為AD(其中D在邊BC上運動)，則向量AD長度的最小值為______．14.在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，則AD=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2=?2i，i為虛數(shù)單位．

(1)求z1z2；

(2)若z=z1z16.(本小題15分)

已知|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為45°．

(1)求a在b方向上的投影向量；

(2)求|a+2b|17.(本小題15分)

已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，AA1=4，E為棱CC1的中點．

(Ⅰ18.(本小題17分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=ccosA．

(1)試判斷△ABC的形狀；

(2)若c=1，求△ABC周長的最大值．19.(本小題17分)

某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為60cm的正四面體沿棱的三等分點，截去四個一樣的正四面體得到．

(1)求石凳的體積與原正四面體的體積之比；

(2)為了美觀工人準備將石凳的表面進行粉刷，已知每平方米造價50元，請問粉刷一個石凳需要多少錢？(3

答案解析1.A

解：2?i1?i=(2?i)(1+i)(1?i)(1+i)=3+i2=32.D

解：由題意可得a+2b=(3,?3)．

又因為c⊥(a+2b)，

所以有c?(a+2b)=3x+(?1)×(?3)=0，

解得x=?1，

故選：3.A

解：∵在△ABC中，BD=4DC，∴AD=AB+BD=AB4.C

解：如圖，

設(shè)正三棱柱的底面邊長與高相等，等于a，

由題意，12a2×32×a=62，解得a=2．

5.D

解：根據(jù)題意，矩形A′B′C′D′，A′O′=O′B′=1，B′C′=1，

則O′C′=12+12=2，

如圖：平面圖形是平行四邊形ABCD，

AB=AO+OB=A′O′+O′B′=2，OC=2O′C′=22，

BC=OB2+OC2=3，

則四邊形6.B

解：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，因為正四棱柱的高為6，體積為24，

所以a2×6=24，即a2=4，得a=2，正四棱柱的各頂點都在一個球面上，

所以正四棱柱的體對角線長等于球的直徑，即22+22+62=27.A

解：由題意可得BC=a=1，AC=b=3，AB=c，

由余弦定理可得c2=a2+b2?2abcosC=6，即c=6，

又cosC=23,C∈(0,π)，

可得sinC=53，

利用正弦定理可知bsinB8.A

解：由題可知，在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，故∠CBD=60°，

由正弦定理可得：CDsin∠CBD=CBsin∠BDC，

又sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=22×32+22×12=6+249.AB

解：在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)點的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則有x1>0，y1>0且x2<0，y2>0，

于是得z1+z2對應(yīng)點的坐標為(x1+x2,y1+y210.CD

解：A選項，圓柱的側(cè)面積為2π×2R=4πR2，故A選項錯誤．

B選項，圓錐的母線長為R2+(2R)2=5R，

圓錐的側(cè)面積為πR×5R=5πR2，故B選項錯誤．

C選項，球的表面積為4πR2，

所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C選項正確．

D選項，圓柱的體積為πR2×2R=2πR3，

圓錐的體積為1311.ABC

解：A中，因為sinA=sinB，在△ABC中，由正弦定理可得a=b，

所以該三角形為等腰三角形，所以A正確；

B中，因為sin2A=sin2B，在△ABC中，可得2A=2B或2A=π?2B，

即A=B或A+B=π2，可得C=π2，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，所以B正確；

C中，在三角形中，A，B∈(0,π)，因為y=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減，所以A>B，所以C正確；

D中，當B為鈍角，A為銳角時，此時tanA>tanB時，B>A，所以D不正確．

故選：ABC．

A中，由正弦定理可得a=b，進而可得A=B，即判斷出該三角形的形狀，進而判斷出A的真假；B中，由三角形中的角之間的關(guān)系，判斷出該三角形的形狀，判斷出B的真假；C中，由余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得角A，B的關(guān)系，判斷出C的真假；D中，當B為鈍角，A為銳角時，判斷出12.6解：由直觀圖可得平面圖形OABC如下圖所示：

則OC=2OC′=22，BC=B′C′=2，

在題設(shè)等腰梯形OA′B′C′中，OA′=2×22×2+2=4，

因此OA=OA′=4，

所以SOABC13.5解：由題意可得，當D為BC的中點時，此時向量AD長度最小，

即|AD|=32×5=532，

故514.3解：在△ABC中，AB=3，AC=1，∠BAC=60°，

余弦定理：可得BC2=AB2+AC2?2AB?AC?cos60°

即BC=7．

在△ADC中，設(shè)BD=m，則DC=7?m．

余弦定理：可得DC2=AD2+AC2?2AD?AC?cos30°

即(7?m15.解：(1)z1=3+4i，z2=?2i，

則z1z2=(3+4i)(?2i)=8?6i；

(2)∵z1=3+4i，z2=?2i，

∴z=z1z2(1)結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．

(3)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，復(fù)數(shù)的幾何意義，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．16.解：(1)∵|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為45°，

∴|a|cos45°?b|b|=2×22×b|b|=b，

∴a在b方向上的投影向量為b；

(2)∵|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為45°，

∴|a+2b(1)根據(jù)投影向量求解公式求出答案；

(2)平方后求出|a+2b|2=10，得到模長；

17.解：(I)因為在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，AA1=4，E為棱CC(I)分別求出各個面的面積即可求解；

(II)根據(jù)VE?AA118.解：(1)由b=ccosA，利用余弦定理得b=cb2+c2?a22bc，即a2+b2=c2，

所以C=π2，

所以△ABC是直角三角形；

(2)由(1)知△ABC是直角三角形，且c=1，

可得a=sinA(1)由題意利用余弦定理得a2+b2