/2026年遼寧省部分重點(diǎn)高中聯(lián)盟新高三起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)科試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場號及座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)，，則p是q成立的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分亦非必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義即可得出結(jié)論．【詳解】由于命題；，推不出故是的充分不必要條件．故選：A2.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則的虛部為（）A. B. C.1 D.3【正確答案】B【分析】先得到，利用復(fù)數(shù)除法法則得到，求出虛部.【詳解】由題意可知，所以，則的虛部為.故選：B.3.已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則這個(gè)等邊三角形的邊長是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)等邊三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，由對稱性可知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則直線的傾斜角為，可得出直線的方程，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出，由此可得出該等邊三角形的邊長.【詳解】設(shè)等邊三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，由對稱性可知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則直線的傾斜角為，直線的方程為，聯(lián)立可得，解得或，即點(diǎn)，故點(diǎn)，則，因此，該等邊三角形的邊長為.故選：D.4.已知是鈍角，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于、的方程組，結(jié)合是鈍角可求得的值.【詳解】因?yàn)闉殁g角，則，，所以，故，由題意可得，解得，故選：D.5.在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)．現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)30100計(jì)算可知，根據(jù)小概率值α＝________的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（）附：，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.001 B.0.05C.0.01 D.0.005【正確答案】B【分析】計(jì)算卡方，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念判斷即可.【詳解】完善2×2列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗104050未注射疫苗203050合計(jì)3070100零假設(shè)為H0：“給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”．因?yàn)棣?＝，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”．故選：B.6.用半徑為的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，則該圓錐形容器的容積最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先利用扇形弧長與圓錐底面周長相等得出，再利用體積公式求出體積，其是關(guān)于的函數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，其中，研究最大值，求出，即可求出的最大值.【詳解】設(shè)圓形半徑為，圓錐底面半徑為，則扇形的弧長為，圓錐底面周長為，則，即，則圓錐的高為，則圓錐的體積為設(shè)，其中，則，由得；得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，即時(shí)，圓錐的體積取最大值，且，故選：B.7.已知函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，定義域?yàn)?所以.當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.當(dāng)，所以函數(shù)的值域?yàn)?令，則，要使函數(shù)的值域?yàn)?，則，解得或，又，所以，.故選：D.8.7名教師甲、乙、丙、丁、戊、己、庚帶領(lǐng)學(xué)生參加“探秘未知”活動(dòng)，教師隨機(jī)分為4組，每組至少一人，則甲乙同組且丙丁同組的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題知不同的分組方法有4,1,1,1；3,2,1,1；2,2,2,1三種；利用不平均分組問題計(jì)算方法數(shù)，列出符合題意得情況，然后求概率即可.【詳解】根據(jù)題意，不同的分組方法有4,1,1,1；3,2,1,1；2,2,2,1三種；當(dāng)分組為4,1,1,1時(shí)，共有種，其中甲乙同組且丙丁同組有1種；當(dāng)分組為3,2,1,1時(shí)，共有種，其中甲乙同組且丙丁同組有種；當(dāng)分組為2,2,2,1時(shí)，共有種，其中甲乙同組且丙丁同組有種；所以乙同組且丙丁同組的概率為.故選：A.二?選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列四個(gè)命題中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則B.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)m的值是4C.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，則D.樣本相關(guān)系數(shù)r，當(dāng)越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)【正確答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可求得的值，判斷A；根據(jù)線性回歸直線過樣本中心可求得m的值，判斷B；根據(jù)二項(xiàng)分布的方差的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的意義可判斷D.【詳解】對于A，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則由，可得，即，故，則，A正確；對于B，將樣本點(diǎn)的中心代入，可得，B錯(cuò)誤；對于C，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則，若，則，C正確；對于D，樣本相關(guān)系數(shù)r，當(dāng)越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，正確，故選：ACD10.在斜三角形中，下列結(jié)論可能成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】利用正弦定理結(jié)合三角形三邊關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用兩角和的正切公式可判斷B選項(xiàng)；利用三角恒等變換結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；取，結(jié)合二倍角的正弦公式求出的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】在斜三角形中，設(shè)內(nèi)角、、的對邊分別為、、，對于A選項(xiàng)，若，由正弦定理可得，由三角形三邊關(guān)系可知等式不成立，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若，由兩角和的正切公式可得，故，因?yàn)?，故只需即可，合乎題意；對于C選項(xiàng)，若，則，即，所以，即，因?yàn)?、，故，，所以，即，即，因?yàn)?、，則、，故，所以，由題意可得，故，由于，故，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，整理得，這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若，由可得，即，等式兩邊平方可得，即，因?yàn)?，解得，因?yàn)椋瑒t，故，則，由于，，所以滿足條件的銳角存在，D對.故選：BD.11.設(shè)數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為m，稱為數(shù)列和的距離．記滿足的所有數(shù)列構(gòu)成的集合為C．已知數(shù)列和為集合C中的兩個(gè)元素，項(xiàng)數(shù)均為m，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列1，3，5，7和數(shù)列2，4，6，8的距離為4B.若，則C若則D.若數(shù)列和的距離不超過2025，則m的最大值為3470【正確答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列距離的定義直接求解可判斷A；根據(jù)遞推公式迭代判斷周期性，利用周期性化簡可判斷B；周期性結(jié)合基本不等式可判斷C；利用周期性求時(shí)，數(shù)列和的距離即可判斷D.【詳解】對于A，數(shù)列1，3，5，7和數(shù)列2，4，6，8的距離為，正確；對于B，由得，所以數(shù)列為以4為周期的周期數(shù)列，且，記，則，則，同理，記，可得，正確；對于C，，錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)樗裕?，因?yàn)椋皂?xiàng)數(shù)越大，數(shù)列和的距離越大，因?yàn)?，，所以，所以?shù)列和的距離不超過2025，則m的最大值為3470，正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為________.【正確答案】【分析】先對函數(shù)化簡變形得，然后由求出函數(shù)的增區(qū)間，從而可求出其在上增區(qū)間【詳解】因?yàn)椋粤?，則，所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，因?yàn)?，所以函?shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為故13.如圖，在中，，是邊上的高，若，則的面積為___________.【正確答案】3【分析】利用已知條件和余弦定理化簡三角形面積，再結(jié)合和，即得，得到結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故3.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于代入數(shù)值，靈活運(yùn)用余弦定理和勾股定理化簡面積到已知定值上，即突破難點(diǎn).14.設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是_______．【正確答案】【分析】分別令、、，求出數(shù)列前項(xiàng)的值，猜想得出，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明出猜想成立，然后列舉出數(shù)列前若干項(xiàng)的值，可知，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由題意可得，因?yàn)閿?shù)列是正整數(shù)數(shù)列，假設(shè)，則，為了滿足為正，只需，即，假設(shè)，則，可得，合乎題意，假設(shè)，則，可得不是正整數(shù)，故，從而可得，當(dāng)時(shí)，則有，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，猜想，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，當(dāng)時(shí)，，由猜想可得，則，所以，所以，這說明當(dāng)時(shí)猜想也成立，故數(shù)列滿足，所以，數(shù)列的各項(xiàng)依次為：，，，，，，，，，，，由上可知均為偶數(shù)，又因?yàn)?，故的前?xiàng)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知．（1）求角B的大?。唬?）求的取值范圍【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，與兩角和的正弦公式求得B的值；（2）根據(jù)正弦定理邊化角，再利用同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合角的范圍求得取值范圍．【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理，有即有則有，又，所以，（2）由（1），，則，又為銳角三角形，所以，且，所以，于是則又所以，的取值范圍是本題主要考查了正弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和差的正弦公式，正確求得角的范圍是解題的關(guān)鍵．16.如圖，三角形中，，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，滿足，，點(diǎn)、分別為、中點(diǎn)．（1）證明：、、三點(diǎn)共線；（2）現(xiàn)將三角形沿翻折至三角形，得到四棱錐，若，，連接，求平面與平面夾角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，求出的值，以及的長，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可取得平面與平面夾角的正弦值．【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，滿足，為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，，即，即，故，所以，所以、、三點(diǎn)共線.【小問2詳解】因?yàn)?，，，，故，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，將三角形沿翻折至三角形，得到四棱錐，則，因?yàn)?，、平面，故平面，在中，，，，由余弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，所以，故，因?yàn)?，故，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，所以，故.因此，平面與平面夾角的正弦值為.17.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：存在唯一極大值點(diǎn)，且．【正確答案】（1）；（2）證明見解析﹒【分析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，求出f(1)和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義和直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；(2)討論的正負(fù)，判斷f(x)的單調(diào)性，從而可證明f(x)有唯一極大值點(diǎn)，并可求出的范圍，結(jié)合和即可求出的范圍．【小問1詳解】，，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】，令，得或，設(shè)，∵在上單調(diào)遞增，且，，∴存在唯一，使得，即，故時(shí)，x-2<0，，，f(x)單調(diào)遞增，時(shí)，x-2<0，，，f(x)單調(diào)遞減，時(shí)，x-2>0，，，f(x)單調(diào)遞增，∴是函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)；∵，∴；又，即，∴，令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，綜上所述：．本題關(guān)鍵是對因式分解，構(gòu)造函數(shù)，求出g(x)的零點(diǎn)，由此判斷f(x)單調(diào)性和極值點(diǎn)，利用將和轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)，從而可對范圍進(jìn)行研究．18.已知雙曲線的焦距為4，左右焦點(diǎn)分別為，若點(diǎn)P為雙曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作雙曲線C兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線分別交于點(diǎn)，四邊形的面積為．設(shè)點(diǎn)分別為雙曲線的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)．設(shè)直線與交于點(diǎn)G，直線與交于點(diǎn)H，雙曲線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)R．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，說明理由．【正確答案】（1）.（2）.【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立可解出兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合四邊形的面積為建立方程求出基本量，最后求出雙曲線方程即可.（2）聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行化簡證明即可.【小問1詳解】已知雙曲線焦距為4，即，故.

又因?yàn)?，所?如圖，設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，滿足，雙曲線的漸近線方程為.而四邊形的面積為，且??由題意得四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，，解得，，則，同理可得，由平行四邊形面積公式得=（為點(diǎn)到直線的距離）.因?yàn)?；漸近線為.所以；代入得，可得，所以解得，解得，.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】易知斜率不存在時(shí)候不符合題意，故設(shè)直線方程為，，代入雙曲線方程聯(lián)立可得，化簡得.且；如圖，設(shè)，，其中，則由韋達(dá)定理得，.直線過和，方程為.直線過和，方程為.直線與交于點(diǎn)，可得，解得.同理直線與交于點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為.而雙曲線在點(diǎn)和處的切線方程分別為，聯(lián)立解得切線交點(diǎn)的坐標(biāo)為，.因此，點(diǎn)，，均在直線上；設(shè)，，.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得