第一節(jié)集中趨勢的描述

第二節(jié)離中趨勢的描述第三節(jié)分布形狀的描述第三章變量分布特征的描述

第一節(jié)集中趨勢的描述

一、集中趨勢與平均指標(biāo)二、數(shù)值平均數(shù)

三、位置平均數(shù)

一、集中趨勢與平均指標(biāo)

集中趨勢亦稱為趨中性，是指變量分布以某一數(shù)值為中心的傾向。作為中心的數(shù)值就稱為中心值，它反映變量分布中心點的位置所在。變量分布的集中趨勢要用平均指標(biāo)來反映。平均指標(biāo)是將變量的各變量值差異抽象化、以反映變量值一般水平或平均水平的指標(biāo)，也就是反映變量分布中心值或代表值的指標(biāo)。平均指標(biāo)的具體表現(xiàn)稱為平均數(shù)，平均數(shù)因計算方法不同可分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)兩類。

二、數(shù)值平均數(shù)

（一）算術(shù)平均數(shù)

1.簡單算術(shù)平均數(shù)簡單算術(shù)平均數(shù)是根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計算的，即直接將變量的每個變量值相加，除以變量值的個數(shù)。若以表示變量，以表示第個變量值（=1，2，…，n），以表示算術(shù)平均數(shù)，以n表示變量值個數(shù)，則簡單算術(shù)平均數(shù)的計算公式為：

==（可簡記為)

二、數(shù)值平均數(shù)

（一）算術(shù)平均數(shù)

2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)是根據(jù)變量數(shù)列計算的，即以各組變量值（或組中值）乘以相應(yīng)的頻數(shù)求出各組標(biāo)志總量，加總各組標(biāo)志總量得出總體標(biāo)志總量，再用總體標(biāo)志總量除以總頻數(shù)。

若以表示第組的變量值（或組中值）（=1，2，…，k），以表示第i組的頻數(shù)（=1，2，…，k），以k表示分組數(shù)，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算公式為：

=（可簡記為）

二、數(shù)值平均數(shù)

3.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)

各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零，即：

=0（對于簡單算術(shù)平均數(shù)）

=0（對于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)）

2)各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之和為最小值，即：

=最小值

只有當(dāng)時，等號成立。4.算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點

算術(shù)平均數(shù)具有以下幾個優(yōu)點：

一是可以利用算術(shù)平均數(shù)來推算總體標(biāo)志總量，因為算術(shù)平均數(shù)與變量值個數(shù)之乘積等于總體標(biāo)志總量（變量值總和）；

二是由算術(shù)平均數(shù)的兩個數(shù)學(xué)性質(zhì)可知，算術(shù)平均數(shù)在數(shù)理上具有無偏性與有效性（方差最小性）的特點，這使得算術(shù)平均數(shù)在統(tǒng)計推斷中得到了極為廣泛的應(yīng)用。

三是算術(shù)平均數(shù)具有良好的代數(shù)運算功能，即分組算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平均數(shù)等于總體算術(shù)平均數(shù)。

4.算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點

算術(shù)平均數(shù)也有其局限性，主要表現(xiàn)在以下兩個方面：

一是算術(shù)平均數(shù)易受特殊值（特大或特小值）的影響，當(dāng)變量存在少數(shù)幾個甚至一個特別大或特別小的變量值時，就會導(dǎo)致算術(shù)平均數(shù)迅速增大或迅速變小，從而影響對變量值一般水平的代表性。

二是根據(jù)組距數(shù)列計算算術(shù)平均數(shù)時，由于組中值具有假定性而使得計算結(jié)果只是一個近似值，尤其是當(dāng)組距數(shù)列存在開口組時，算術(shù)平均數(shù)的準(zhǔn)確性會更差。（二）調(diào)和平均數(shù)

1.簡單調(diào)和平均數(shù)

當(dāng)各組的標(biāo)志總量相等時，所計算的調(diào)和平均數(shù)稱為簡單調(diào)和平均數(shù)。設(shè)總體分為k個組，每個組的標(biāo)志總量都為m，則總體標(biāo)志總量為km。現(xiàn)仍以x表示各組變量值，以H表示調(diào)和平均數(shù)，則簡單調(diào)和平均數(shù)的計算公式為：

=（可簡記為）

（二）調(diào)和平均數(shù)

2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)當(dāng)各組的標(biāo)志總量不相等時，所計算的調(diào)和平均數(shù)要以各組的標(biāo)志總量為權(quán)數(shù)，其結(jié)果即為加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。若以m表示各組標(biāo)志總量，則加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計算公式為：

（可簡記為）

3.由相對數(shù)或平均數(shù)計算平均數(shù)

有時，我們需要根據(jù)相對數(shù)或平均數(shù)來計算平均數(shù)。例如，根據(jù)各零售分店的計劃完成程度來計算全公司的計劃完成程度；根據(jù)各企業(yè)的職工平均工資來計算全公司的職工平均工資等。這時總體平均數(shù)的計算要依所掌握的權(quán)數(shù)資料不同采取不同的方法。

如果所掌握的權(quán)數(shù)資料是相對數(shù)或平均數(shù)的母項數(shù)值，要用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)；如果所掌握的權(quán)數(shù)資料是相對數(shù)或平均數(shù)的子項數(shù)值，則要用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。需要強調(diào)的是，在以相對數(shù)或平均數(shù)計算平均數(shù)時，不論是用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式還是用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式，都要從相對數(shù)或平均數(shù)指標(biāo)本身的經(jīng)濟(jì)含義出發(fā)來計算，這是一個很重要的原則。（三）幾何平均數(shù)

1.簡單幾何平均數(shù)

簡單幾何平均數(shù)就是變量的n個變量值連乘積的n次方根。若以表示變量的第i個變量值（=1，2，3，…，n），以G表示幾何平均數(shù)，則簡單幾何平均數(shù)的計算公式為：

（可簡記為）

（三）幾何平均數(shù)

2.加權(quán)幾何平均數(shù)

當(dāng)計算幾何平均數(shù)的各種變量值出現(xiàn)的次數(shù)不等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過了統(tǒng)計分組時，則應(yīng)采用加權(quán)幾何平均數(shù)。若以表示第i組的變量值（=1，2，…，），以表示第i組的頻數(shù)（=1，2，…，k），以k表示分組數(shù)，則加權(quán)幾何平均數(shù)的計算公式為：

（可簡記為）

（四）算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系

從數(shù)學(xué)上看，算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)都是冪平均數(shù)的一種。冪平均數(shù)的定義是：

當(dāng)=1時，冪平均數(shù)就是算術(shù)平均數(shù)；當(dāng)=-1時，冪平均數(shù)就是調(diào)和平均數(shù)；當(dāng)趨向于0時，冪平均數(shù)的極限形式就是幾何平均數(shù)。由于冪平均函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以值越大冪平均數(shù)就越大，因此單從數(shù)學(xué)意義上看，算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)三者的大小關(guān)系是：（四）算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系

從數(shù)學(xué)上看，算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)都是冪平均數(shù)的一種。冪平均數(shù)的定義是：

當(dāng)=1時，冪平均數(shù)就是算術(shù)平均數(shù)；當(dāng)=-1時，冪平均數(shù)就是調(diào)和平均數(shù)；當(dāng)趨向于0時，冪平均數(shù)的極限形式就是幾何平均數(shù)。由于冪平均函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以值越大冪平均數(shù)就越大，因此單從數(shù)學(xué)意義上看，算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)三者的大小關(guān)系是：三、位置平均數(shù)

（一）中位數(shù)與分位數(shù)

1.中位數(shù)中位數(shù)是變量的所有變量值按定序尺度排序后，處于中間位置的變量值。中位數(shù)既可用以測定定量變量的集中趨勢，也可用以測定定序變量的集中趨勢，但不適用于定類變量。（1）根據(jù)未經(jīng)分組的原始數(shù)據(jù)來確定假設(shè)變量的n個數(shù)據(jù)按大小、強弱等順序排列后的結(jié)果為：，，，…，，以表示中位數(shù)，則=（2）根據(jù)變量分布數(shù)列確定中位數(shù)在單項式數(shù)列中，先按（+1）/2來確定中位數(shù)位置，然后對數(shù)列中的各組頻數(shù)進(jìn)行向上累計或向下累計，當(dāng)某一組的累計頻數(shù)大于或等于（+1）/2時，該組的變量值就是中位數(shù)。（3）中位數(shù)的應(yīng)用特點

中位數(shù)具有以下一些優(yōu)點：一是中位數(shù)作為一種位置平均數(shù)，概念較為清晰，只要排列數(shù)據(jù)順序，就可比較容易地加以確定；二是中位數(shù)不受變量數(shù)列中特殊值的影響，遇有特大值或特小值時，用中位數(shù)來表示現(xiàn)象的一般水平更具有代表性；三是組距數(shù)列出現(xiàn)開口組時，對中位數(shù)無影響；四是當(dāng)某些變量不能表現(xiàn)為數(shù)值但可以定序時，不能計算數(shù)值平均數(shù)而可以確定中位數(shù)。當(dāng)然中位數(shù)也有局限性，一是中位數(shù)不能如算術(shù)平均數(shù)那樣可以進(jìn)行代數(shù)運算；二是除了變量數(shù)列的中間部分?jǐn)?shù)值外，其他數(shù)值的變化都不對中位數(shù)產(chǎn)生影響，因此中位數(shù)的靈敏度較低。2.分位數(shù)分位數(shù)是將變量的數(shù)值按大小順序排列并等分為若干部分后，處于等分點位置的數(shù)值。常用的分位數(shù)有四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)，他們分別是將數(shù)值序列4等分、10等分和100等分的3個點、9個點和99個點上的數(shù)值。其中四分位數(shù)第2點的數(shù)值、十分位數(shù)第5個點的數(shù)值和百分位數(shù)第50個點的數(shù)值，就是中位數(shù)。所以，中位數(shù)就是一個特殊的分位數(shù)。以四分位數(shù)為例，設(shè)，和分別表示第一個、第二個和第三個四分位數(shù)，則他們的位置分別為：，和，根據(jù)位置即可確定各個四分位數(shù)。（二）眾數(shù)

眾數(shù)是變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多、頻率最高的變量值。在某些場合，眾數(shù)可以用來反映現(xiàn)象的一般水平。眾數(shù)通常用來表示。眾數(shù)可用以測定任何種類變量的集中趨勢，包括定類變量和定序變量。眾數(shù)的確定方法因所掌握的數(shù)據(jù)條件不同而有所不同。根據(jù)單項式數(shù)列確定眾數(shù)比較容易，只要找出出現(xiàn)頻數(shù)最多或出現(xiàn)頻率最高的變量值即可。如果根據(jù)組距式數(shù)列來確定眾數(shù)，則先要找出頻數(shù)最多的一組作為眾數(shù)組，然后運用公式來確定眾數(shù)。

（二）眾數(shù)

下限公式為：

（式中為眾數(shù)組頻數(shù)與下一組頻數(shù)之差，為眾數(shù)組頻數(shù)與上一組頻數(shù)之差；L、d的含義與中位數(shù)公式的相同。）上限公式為：

(式中U的含義與中位數(shù)公式的相同。)

（二）中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系

1.在變量分布完全對稱（即正態(tài)分布）時，中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)三者完全相等，即2.在變量分布不對稱（即偏態(tài)分布）時，中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)三者之間存在著差異。當(dāng)算術(shù)平均數(shù)受極大標(biāo)志值一端的影響較大時，變量分布向右偏，三者之間的關(guān)系為：3.根據(jù)經(jīng)驗，在輕微偏態(tài)時，不論是左偏還是右偏，眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的距離約等于中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的3倍:第二節(jié)離中趨勢的描述

一、離中趨勢和離散指標(biāo)二、離散指標(biāo)的測度一、離中趨勢和離散指標(biāo)

所謂離中趨勢，就是變量分布中各變量值背離中心值的傾向。對離中趨勢的描述，就是要反映變量分布中各變量值遠(yuǎn)離中心值或代表值的狀況，以更客觀地反映變量分布的特征。變量分布的離中趨勢要用離散指標(biāo)來反映。離散指標(biāo)就是反映變量值變動范圍和差異程度的指標(biāo)，即反映變量分布中各變量值遠(yuǎn)離中心值或代表值程度的指標(biāo)，亦稱為變異指標(biāo)或標(biāo)志變動度指標(biāo)。常用的離散指標(biāo)主要有：全距（亦稱極差）、四分位差、異眾比率、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。二、離散指標(biāo)的測度

（一）全距

全距就是變量的最大值（）與最小值（）之差，也叫極差，表明變量的最大變動范圍或絕對幅度。全距通常用R表示，即：R=-（二）四分位差

四分位差是四分位數(shù)中第一個四分位數(shù)與第三個四分位數(shù)之差，也稱為內(nèi)距或四分間距，通常用表示，即：（三）異眾比率異眾比率是分布數(shù)列中非眾數(shù)組的頻數(shù)與總頻數(shù)之比，通常用來表示，即：

其中為眾數(shù)組的頻數(shù)。（四）平均差

平均差是變量的各變量值與算術(shù)平均數(shù)離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，表明各變量值與算術(shù)平均數(shù)的平均差距，通常用來表示，即：或平均差由于利用了全部數(shù)據(jù)信息，因而比全距、四分位差等更能比較客觀反映變量分布的離散程度。平均差愈大，表示變量分布離散程度愈大；平均差愈小，則變量分布離散程度愈小。（五）方差和標(biāo)準(zhǔn)差

方差是變量的各變量值與其均值的離差平方的算術(shù)平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差則是方差的平方根。方差的計算公式為：或（五）方差和標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式為：或（六）離散系數(shù)

相對離散指標(biāo)也叫離散系數(shù)變異系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，是變量的標(biāo)準(zhǔn)差與均值之比，通常用來表示，即：

離散系數(shù)越大，說明變量分布的離散程度越強，平均數(shù)的代表性越差；離散系數(shù)越小，說明變量分布的離散程度越弱，平均數(shù)的代表性越好。第三節(jié)分布形狀的描述

一、分布形狀和形狀指標(biāo)二、偏度系數(shù)三、峰度系數(shù)一、分布形狀和形狀指標(biāo)

如前所述，變量分布的形狀是各種各樣的，有J型的、U型的和鐘型的等。為了全面了解變量分布的特征，我們不僅要觀察其集中趨勢和離中趨勢，也要觀察其形狀。

變量分布的形狀要用形狀指標(biāo)來反映。形狀指標(biāo)就是反映變量分布具體形狀，即左右是否對稱、偏斜程度與陡峭程度如何的指標(biāo)。具體來說，變量分布的形狀一般從對稱性和陡峭性兩方面來反映，因此形狀指標(biāo)也有兩個方面：一是反映變量分布偏斜程度的指標(biāo)，稱為偏度系數(shù)；二是反映變量分布陡峭程度的指標(biāo)，稱為峰度系數(shù)。由此可見，形狀指標(biāo)與平均指標(biāo)、離散指標(biāo)一樣，都是變量分布特征的重要體現(xiàn)。二、偏度系數(shù)

偏度的概念首先由統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜（Pearson）于1895年提出，是對變量分布對稱性的測度，是指變量分布偏斜的方向及其程度。

偏度的測定是通過計算偏度系數(shù)來實現(xiàn)的，通常用來表示。偏度系數(shù)的計算主要有以下三種方法：（一）利用算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)或中位數(shù)的離差求偏度系數(shù)

用算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)或中位數(shù)的離差求偏度系數(shù)并標(biāo)記為，計算公式為：

=

將-除以標(biāo)準(zhǔn)差，一是為了消除了不同計量單位的影響，二是為了把不可直接比較的絕對數(shù)轉(zhuǎn)化為可相互比較的相對數(shù)。一般情況下，偏度系數(shù)的變動范圍為（－3，3）。當(dāng)﹥時，為正值，變量分布屬于正偏；當(dāng)﹤時，為負(fù)值，變量分布屬于負(fù)偏；當(dāng)=時，為0，變量分布屬于無偏（即對稱分布）。的絕對值越接近于3，表明變量分布的偏斜程度越嚴(yán)重；的絕對值越接近于0，表明變量分布的偏斜程度越輕微。（二）利用四分位數(shù)求偏度系數(shù)

根據(jù)四分位數(shù)的特點可知，如果變量分布對稱、無偏斜，那么第一個四分位數(shù)與第三個四分位數(shù)是關(guān)于中位數(shù)對稱分布的，即-=-，因此我們可以通過-=-這個等式是否成立來判斷變量分布是否對稱，并且可以根據(jù)第一個、第三個四分位數(shù)與中位數(shù)距離的關(guān)系來求偏度系數(shù)并標(biāo)記為，計算公式為：

＝偏度系數(shù)的取值范圍為（－1，1）。的絕對值越接近于1，表明變量分布的偏斜程度越嚴(yán)重；的絕對值越接近于0，表明變量分布的偏斜程度越輕微。同理，我們也可以根據(jù)十分位數(shù)、百分位數(shù)來求偏度系數(shù)。（三）利用動差法求偏度系數(shù)

計算偏度系數(shù)最重要的方法是動差法。動差法偏度系數(shù)是以變量數(shù)列的三階中心動差（）作為度量偏度的基本依據(jù)。令常數(shù)a為變量分布的中心，則所有變量值與值之差的次方的算術(shù)平均數(shù)就稱為變量x關(guān)于a的t階動差，即：

t階動差=或t階動差=

（三）利用動差法求偏度系數(shù)

當(dāng)a＝0時，t階動差稱為t階原點動差，若以表示，則：一階原點動差為：或，即算術(shù)平均數(shù)二階原點動差為：或，即平方的平均數(shù)三階原點動差為：或，即三次方的平均數(shù)……當(dāng)a＝時，t階動差稱為t階中心動差，若以表示，則：一階中心動差為：或二階中心動差為：或三階中心動差為：或……

很顯然，一階中心動差=0，偶數(shù)階中心動差恒為正（其中2階中心動差就是方差，即