材料力學簡明教程第十二章能量法主要內容：

概述

外力功和應變能的計算

卡氏定理

單位載荷法·莫爾定理

運用能量法解超靜定問題

動載荷應力§12－1概述構件受外力作用而變形，載荷作用點隨之產生位移，載荷作用點沿載荷作用方向的位移分量，稱為該載荷的相應位移。外力通過相應位移做功，同時，在構件內部積蓄了能量，稱為應變能，并用V表示。根據能量守恒定律可知，如果載荷由零逐漸地、緩慢地增加，以至在加載過程中，構件的動能與熱能的變化均可忽略不計，則存儲在構件內的應變能V，數值上等于外力所做的功W．即V=W

利用能量原理分析構件或結構的位移與應力的方法稱為能量法。能量原理線性彈性體的外力功在整個加載過程中，載荷所做的總功為式中，F為廣義力;而△則為相應于該廣義力的廣義位移§12－2外力功和應變能的計算

克拉貝依隆原理上述載荷Fi(i=1，2，…，n)應理解為廣義力，而位移△i(i=l，2…，n)應理解為相應的廣義位移。桿件應變能計算

當桿件僅受到軸向拉伸(或壓縮)時的應變能為當軸力沿桿軸線為常數F時，則有當軸僅受到扭轉時的應變能為當扭矩沿桿軸線為常數T時，則有當梁在平面彎曲時的應變能為整個桿或桿系的應變能例求圖示桁架應變能及節(jié)點C的垂直位移△C

各桿的拉壓剛度均為EA。解：取節(jié)點C，受力情況如圖b所示，兩桿軸力分別為結構總的應變能為△c為外力F在其作用點沿作用力方向上的位移，外力功為得設梁的應變能VS為外力F1，F2，…，Fn的函數。有應變能增量可以表示為§12－3卡氏定理

梁的應變能由3個部分組成略去高階小量，可得卡氏定理例桁架由桿件BC和BD組成，在結點占作用有鉛垂載荷F，如圖所示。已知兩桿的抗拉剛度EA相同并且為常量，試求B點的水平和鉛垂位移。解：桁架為拉壓桿件組成的桿系結構，桁架的總應變能為根據卡氏定理，鉛垂位移根據題意需要計算B點的水平位移，而結構中沒有對應的廣義力。因此需要施加一個虛擬的廣義力Faf，如圖(b)所示。根據平衡關系可得兩桿的內力，如圖(c)所示，即桁架的應變能為結點位移為因為偏導數求解完成后，令內力表達式中的虛擬廣義力Faf為0，則將上述結果代入位移表達式，可得設簡支梁在載荷F1，F2，…，Fn作用下,梁上任一截面C的位移為△(圖a))。梁的彎曲應變能為設想在C點沿位移△的方向上單獨作用數值為1的單位力(圖b))，梁在單位力作用下的應變能為§12－4單位載荷法·莫爾定理

作用于C點的單位力又產生位移△(圖c))，完成了1?△的功，故應變能為關于莫爾定理的應用作如下說明：(1)當外載荷在桿件橫截面上同時產生軸力、彎矩和扭矩時，可推出莫爾積分的普遍形式在只受節(jié)點載荷作用的桁架中，由于各桿在橫截面上只有軸力且沿桿長為定值，則表達式可寫為(2)單位力為廣義力，視所要確定位移的性質而定。

(3)公式右端的計算結果若為正值，則表示待定位移△的指向與單位力指向一致；若為負值，則△的指向與單位力指向相反。莫爾定理例圖示直角折桿，在端點C上作用集中力F，設折桿兩段均為等截面直桿，材料相同，試用莫爾定理確定C點的鉛垂位移△c

。解：在C點豎直方向施加一單位力，計算實際載荷和單位力單獨作用時各段的內力方程如下：CB段：AB段：由莫爾定理，C點的垂直位移為運用能量法可較方便地建立與變形協調條件相應的補充方程，使求解過程簡便許多。解：由圖(a)可以看出，該剛架有四個支座反力，獨立平衡方程只有三個，所以是一次靜不定問題。將可動鉸支座A設為多余約束，以垂直支反力代替其作用，則可得到基本靜定系如圖(b)所示，相應的變形諧調條件為截面A處的垂直位移為零，即§12－5運用能量法解超靜定問題

例圖示等截面剛架，一端為固定端，另一端為可動鉸支座，在桿AB受均布載荷q作用，試計算支反力。

使用莫爾積分來找出yA的表達式。由圖(c)可以看出，在q和RA的作用下，剛架AB和BC段的彎矩方程分別為在基本靜定系上沿RA方向作用一單位力，如圖(c)示，可以看出，在單位力作用下，剛架AB和BC段的彎矩方程分別為多余約束反力確定后，由平衡方程得§12－6動載荷應力

如果構件在載荷的作用下,其各部分的加速度相當顯著,這種載荷即稱為動載荷。因動載荷作用而引起構件產生的應力稱為動應力。

在研究動載荷作用于構件的問題時,都假定構件材料的動荷應力不超過材料的比例極限,而研究方法采用動靜法。構件作等加速直線運動時的動荷應力

水平放置在一排滾子上的等直桿，在載荷F牽引下沿桿件軸線力向作等加速直線運動，根據牛頓第二定律，有桿件加速度為使用假想截面沿m-m截面將桿分為A,B兩部分，如圖b）所示。根據動靜法，在桿件各個點施加與加速度力向相反的慣性力，外力與慣性力組成平衡力系(圖c）。單位長度的慣性力為上述分析同樣適用于構件的任意部分。對于A部分，如圖d）所示，有橫截面m-m的動應力為

構件作勻速轉動時的動荷應力

設某一機器飛輪的輪緣以等角速度ω轉動。飛輪輪緣以等角速度轉動時：微段的慣性力為取半個輪緣為研究對象，列出平衡方程得

沖擊載荷

重物從高度h處自由下落，以一定的速度沖擊直桿。根據功能原理，在沖擊過程中，沖擊物所做的功應等于被沖擊物的變形能,即在整個沖擊過程中，沖擊物的動能變化為零，沖擊物所做的功為桿的變形能為假設桿的材料是線彈性的，故有沖擊時桿的最大縮短量：其中：例

如圖所示制動器，1為制功輪，2為飛輪。在轉軸被制動時，因飛輪與軸等已具有一定的轉速，有一定的功能，制功時它因慣性使軸受到扭轉沖擊。若已知軸直徑d=50mm,長l=1.5m,切變模量G=80GPa;輪回轉半徑為250mm,重力W=450N，轉速n=