2025年蘇州中專數(shù)學試卷及答案

一、單項選擇題1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)答案：B2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\leq1\)D.\(x\lt1\)答案：A3.直線\(y=2x+3\)的斜率是（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：B4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.\(9\)B.\(11\)C.\(13\)D.\(15\)答案：A5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(7\)答案：C6.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\(\{x|1\ltx\lt2\}\)B.\(\{x|x\lt1或x\gt2\}\)C.\(\{x|x\lt1\}\)D.\(\{x|x\gt2\}\)答案：A7.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：C8.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的圓心坐標是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)答案：A9.若\(\alpha\)是第二象限角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加會議，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）種A.\(18\)B.\(28\)C.\(22\)D.\(36\)答案：C二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)答案：ABD2.下列屬于等比數(shù)列的有（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,4,6,8,\cdots\)D.\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots\)答案：ABD3.直線的一般式方程\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)），當（）時，直線斜率存在。A.\(A=0\)B.\(B=0\)C.\(A\neq0\)D.\(B\neq0\)答案：AD4.下列關于集合的說法正確的有（）A.空集是任何集合的子集B.任何一個集合至少有兩個子集C.若\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，則\(A=B\)D.集合\(\{x|x^2-1=0\}\)的元素是\(1\)和\(-1\)答案：ACD5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)D.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)答案：ABCD6.對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），當（）時，方程有兩個不同的實數(shù)根。A.\(\Delta=b^2-4ac\gt0\)B.\(\Delta=b^2-4ac=0\)C.\(\Delta=b^2-4ac\lt0\)D.\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足一定條件答案：A7.下列關于三角函數(shù)的說法正確的有（）A.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)B.\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)C.\(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)D.\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)答案：ABCD8.已知圓的方程為\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，則（）A.當\(D^2+E^2-4F\gt0\)時，方程表示一個圓B.圓心坐標為\((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)C.半徑\(r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\)D.當\(D^2+E^2-4F=0\)時，方程表示一個點答案：ABCD9.下列關于概率的說法正確的有（）A.必然事件的概率為\(1\)B.不可能事件的概率為\(0\)C.若\(A\)、\(B\)是互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)D.若\(A\)、\(B\)是對立事件，則\(P(A)+P(B)=1\)答案：ABCD10.已知\(a\)、\(b\)、\(c\)為實數(shù)，下列不等式成立的有（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）C.\(a^2+1\geq2a\)D.\((a+b)^2\geq4ab\)答案：ACD三、判斷題1.空集沒有元素，所以空集不是集合。（）答案：錯誤2.函數(shù)\(y=3x+1\)與\(y=3x-1\)是同一個函數(shù)。（）答案：錯誤3.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（）答案：錯誤4.平面內(nèi)到兩個定點\(F_1\)、\(F_2\)的距離之和等于常數(shù)（大于\(|F_1F_2|\)）的點的軌跡是橢圓。（）答案：正確5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）答案：錯誤6.等差數(shù)列的通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)。（）答案：正確7.向量\(\overrightarrow{a}\)與向量\(-\overrightarrow{a}\)是相反向量。（）答案：正確8.圓\(x^2+y^2=1\)的圓心是原點，半徑是\(1\)。（）答案：正確9.若\(A\)、\(B\)是兩個事件，\(P(A\capB)=P(A)\cdotP(B)\)，則\(A\)、\(B\)是相互獨立事件。（）答案：正確10.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）答案：正確四、簡答題1.求函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則根號下的數(shù)大于\(0\)，即\(x^2-4\gt0\)。因式分解得\((x+2)(x-2)\gt0\)。則有\(zhòng)(\begin{cases}x+2\gt0\\x-2\gt0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x+2\lt0\\x-2\lt0\end{cases}\)。解得\(x\gt2\)或\(x\lt-2\)。所以函數(shù)定義域為\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_1\)和\(d\)。答案：根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)。已知\(a_3=5\)，則\(a_1+2d=5\)；\(a_7=13\)，則\(a_1+6d=13\)。用\(a_1+6d=13\)減去\(a_1+2d=5\)，可得\(4d=8\)，解得\(d=2\)。把\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)，得\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=1\)。所以\(a_1=1\)，\(d=2\)。3.求直線\(2x-y+3=0\)與直線\(x+y-6=0\)的交點坐標。答案：聯(lián)立兩條直線的方程\(\begin{cases}2x-y+3=0\\x+y-6=0\end{cases}\)。將兩個方程相加消去\(y\)，得到\((2x-y+3)+(x+y-6)=0\)，即\(3x-3=0\)，解得\(x=1\)。把\(x=1\)代入\(x+y-6=0\)，得\(1+y-6=0\)，解得\(y=5\)。所以交點坐標為\((1,5)\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\)是第一象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：根據(jù)三角函數(shù)平方關系\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，則\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-(\frac{4}{5})^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}\)。因為\(\alpha\)是第一象限角，所以\(\cos\alpha\gt0\)，則\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)。再根據(jù)正切函數(shù)定義\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，可得\(\tan\alpha=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}\)。五、討論題1.討論在實際生活中，如何運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識來解決問題，舉例說明。答案：在實際生活中，等差數(shù)列和等比數(shù)列應用廣泛。比如，在計算房屋貸款還款金額時，若采用等額本息還款法，每月還款金額構成等差數(shù)列。每月還款本金逐漸增加，利息逐漸減少，但每月還款總額固定。又如，在細胞分裂問題中，細胞數(shù)量的增長是等比數(shù)列。一個細胞一次分裂成兩個，經(jīng)過\(n\)次分裂后，細胞總數(shù)為\(2^n\)個，這體現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，能幫助我們預測細胞數(shù)量變化。2.已知直線與圓的位置關系有相交、相切、相離三種情況，討論如何判斷直線與圓的位置關系，并舉例說明。答案：判斷直線與圓的位置關系有兩種常見方法。一種是代數(shù)法，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個變量得到一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷。若\(\Delta\gt0\)，直線與圓相交；\(\Delta=0\)，直線與圓相切；\(\Delta\lt0\)，直線與圓相離。另一種是幾何法，計算圓心到直線的距離\(d\)，與圓的半徑\(r\)比較。若\(d\ltr\)，直線與圓相交；\(d=r\)，直線與圓相切；\(d\gtr\)，直線與圓相離。例如直線\(y=x+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)，用幾何法，圓心\((0,0)\)到直線距離\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\lt1\)，所以直線與圓相交。3.討論函數(shù)在實際生活中的應用，結合具體的函數(shù)類型（如一次函數(shù)