專題19三角形的概念和性質(zhì)【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1畫三角形的高、中線、角平分線】 2【題型2等面積法求三角形的高】 4【題型3利用網(wǎng)格求三角形的面積】 5【題型4根據(jù)三角形的中線求解】 6【題型5與垂心性質(zhì)有關(guān)的計算】 8【題型6利用三角形的三邊關(guān)系求解】 9【題型7利用三角形內(nèi)角和定理求解】 9【題型8三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】 10【題型9三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】 12【題型10利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】 13【題型11利用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 15【題型13利用三角形外角的性質(zhì)求角度】 17【題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合】 18【題型15利用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題】 20【題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合】 21【知識點三角形】1.三角形的基本概念(1)三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。(2)三角形的分類①按邊之間的關(guān)系分：三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形；有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。②按角分類：三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。(3)三角形的三邊之間的關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。(4)三角形的高.中線.角平分線角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。高線：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。(5)三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。(6)三角形的角①三角形的內(nèi)角和等于180°。推論：直角三角形的兩個銳角互余。有兩個角互余的三角形是直角三角形。②三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。內(nèi)外角的關(guān)系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。三角形的外角和等于360°。(7)三角形的面積三角形的面積=×底×高【題型1畫三角形的高、中線、角平分線】【例1】（2025·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【變式1-1】（2025·吉林長春·校聯(lián)考二模）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，在給定的網(wǎng)格中，按照要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中作△ABC的中線BD．(2)在圖②中作△ABC的高BE．(3)在圖③中作△ABC的角平分線BF．【變式1-2】（2025·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【變式1-3】（2025下·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在小正方形的邊長均為1的方格紙中，△ABC的頂點均在小正方形的頂點上．

(1)在圖1中畫出△ABC中BC邊上的高AD，垂足為D；(2)在圖2中畫出△ABC中AB邊上的中線CE；(3)直接寫出圖2中三角形ACE的面積．【題型2等面積法求三角形的高】【例2】（2025·陜西西安·校考三模）如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1），點A、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點上，那么△ABC中BC邊上的高的長度是（）A．7510 B．713 C．7【變式2-1】（2025·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【變式2-2】（2025上·陜西延安·二模）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點在方格線的交點上．

(1)請在圖中作出△ABC中AB邊上的高．(2)求△ABC的面積．(3)點B到AC邊所在直線的距離為165，求AC【變式2-3】（2025·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點A，B，C，D中選一個點；與點M，N為頂點構(gòu)成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，這個點為（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【題型3利用網(wǎng)格求三角形的面積】【例3】（2025·安徽安慶·?？家荒＃┤鐖D，點A，B在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點上，在網(wǎng)格格點上除點A，B外任取一點C，則使△ABC的面積為1的概率是．

【變式3-1】（2025·北京·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均在格點上，則SΔABCS

【變式3-2】（2025·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？既＃┤鐖D，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB和線段DE，點A、B、D、E均在小正方形的頂點上．

(1)在方格紙中畫出以AB為斜邊的Rt△ABC，點C(2)在方格紙中畫出以DE為一邊的等腰△DEF，點F在小正方形的頂點上，且△DEF的面積為152【變式3-3】（2025·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在9×9的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B均在小正方形的頂點上(1)在圖中，按要求畫一個△ABC，使點C在格點上，使得AC=5，且△ABC的面積是8(2)在圖中，在格點上取一點D，畫一個△ABD，使得△ABD的面積是12，且tanB=2(3)連接CD，直接寫出△ACD的面積【題型4根據(jù)三角形的中線求解】【例4】（2025·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點，具有性質(zhì)：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為．【變式4-1】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，BD是△ABC的中線，AB=6，BC=4，△ABD和△BCD的周長差為【變式4-2】（2025·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．【變式4-3】（2025·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=【題型5與垂心性質(zhì)有關(guān)的計算】【例5】（2025·山東威?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）交于一點，該點叫三角形的垂心．【問題解決】如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H為△ABC的垂心，則∠BHC的度數(shù)為（

）A．120° B．115° C．102° D．108°【變式5-1】（2025·陜西西安·高新一中校考模擬預(yù)測）如圖，H、O分別為△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圓的半徑為2，則AH=（

）

A．23 B．22 C．4 【變式5-2】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知銳角△ABC的頂點A到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，則∠A的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式5-3】（2025·福建泉州·南安市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖1，設(shè)ΔABC是一個銳角三角形，且AB≠AC，Γ為其外接圓，O、H分別為其外心和垂心，CD為圓Γ直徑，M為線段BC上一動點且滿足AH=2OM．（1）證明：M為BC中點；（2）過O作BC的平行線交AB于點E，若F為AH的中點，證明：EF⊥FC；（3）直線AM與圓Γ的另一交點為N（如圖2），以AM為直徑的圓與圓Γ的另一交點為P．證明：若AP、BC、OH三線共點，則AH=HN；反之也成立．

【題型6利用三角形的三邊關(guān)系求解】【例6】（2025·四川·中考真題）若實數(shù)x、y滿足x?4+y?8=0，則以x【變式6-1】（2025·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【變式6-2】（2025·貴州·統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【變式6-3】（2025·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P、Q分別是AB、A1C1的中點，PQ的最小值等于．【題型7利用三角形內(nèi)角和定理求解】【例7】（2025·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接AAA．70° B．65° C．60° D．55°【變式7-1】（2025·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是．【變式7-2】（2025·湖北·中考模擬）如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點，并連接BD、DE．若∠A=30°，AB=AC，則A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°【變式7-3】（2025·江蘇·無錫市第一女子中學(xué)?？贾锌寄M）如圖，在△ACB和△DCE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE、BD交于點O，AE與DC交于點M，BD與AC交于點N．試判斷AE、BD之間的關(guān)系，并說明理由．

【題型8三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】【例8】（2025·四川·中考真題）如圖，在△ABC中，∠CAB=70°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得

A．35° B．40° C．50° D．70°【變式8-1】（2025·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點D，DE∥AC，交BC于點E．若∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)是（A．25° B．40° C．45° D．50°【變式8-2】（2025·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，AD//BC，∠ADC=120°，∠BAD=3∠CAD，E為AC上一點，且∠ABE=2∠CBE，在直線AC上取一點P，使∠ABP=∠DCA，則∠CBP：∠ABP的值為．【變式8-3】（2025·浙江金華·一模）如圖，已知AB∥CD，小妍同學(xué)進(jìn)行以下尺規(guī)作圖：①以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線AB于點E；②以點E為圓心，小于線段CE的長為半徑作弧，與射線CE交于點M，N；③分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，交于點F，直線EF交CD于點G．若∠CGE=α，則∠A的度數(shù)可以用α表示為（A．90°?α B．90°?12α C．180°?4α【題型9三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】【例9】（2025·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，∠DEA的度數(shù)是（

）．A．35° B．60° C．70° D．85°【變式9-1】（2025·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，點P是△ABC的內(nèi)心，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=度．【變式9-2】（2025·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，已知△ABC的三個內(nèi)角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且AD=AO，CB=CD，連接BD．(1)求證：∠OBD=∠ODB；(2)若∠BAC=80°，求∠ACB的長度．【變式9-3】（2025·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD為△ABC的角平分線．以點A圓心，AD長為半徑畫弧，與AB,AC分別交于點E,F，連接DE,DF．

(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度數(shù)．【題型10利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】【例10】（2025·青?！そy(tǒng)考中考真題）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角板的斜邊上，AC與DM、DN分別交于點E、F，把△MDN繞點D旋轉(zhuǎn)到一定位置，使得DE=DF，則∠BDN的度數(shù)是(

)A．105° B．115° C．120° D．135°【變式10-1】（2025·甘肅·中考真題）（1）如圖，BD與CD分別平分∠ABC和∠ACB，已知∠BDC=130°，求∠A的度數(shù)．（2）將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，求∠1的度數(shù)【變式10-2】（2025·浙江紹興·統(tǒng)考三模）如圖，將一個含30°角的直角三角板的斜邊和量角器的直徑所在的邊重合放置，其中點D所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為110°，∠ACB=90°，連結(jié)DC交AB于點E，則∠BEC的度數(shù)是（

A．55° B．65° C．75° D．85°【變式10-3】（2025·山西·統(tǒng)考三模）綜合與實踐??探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°，如圖2，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，(1)初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=時，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；(3)再探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時，求△ABC與△AFE重疊的面積；(4)拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說明理由．【題型11利用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】【例11】（2025·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，這個關(guān)系是（

）A．2∠A=∠1+∠2 B．3∠A=2∠1+∠2C．∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2∠1+2∠2【變式11-1】（2025·廣西百色·校聯(lián)考一模）如圖，有四條互相不平行的直線L1、L2、L3、LA．∠2=∠4+∠7 B．∠1+∠4+∠6=180°C．∠3=∠1+∠6 D．∠2+∠3+∠5=360°【變式11-2】（2025·海南儋州·海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)得到△DBE，使點D落在AC邊上，DE，BC相交于點E．設(shè)∠BAC=α，∠BFD=β．則下列關(guān)系正確的是（

）A．α+β=150° B．2α+β=230°C．52α+β=270° 【變式11-3】（2025·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．(1)如圖①，當(dāng)點D在線段BC上，如果α=60°，β=120°；如圖②，當(dāng)點D在線段BC上，如果α=90°，β=90°；如圖③，當(dāng)點D在線段BC上，如果α，β之間有什么樣的關(guān)系？請直接寫出．(2)如圖④，當(dāng)點D在射線BC上，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由；(3)如圖⑤，當(dāng)點D在射線CB上，且在線段BC外，（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請直接寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論．【題型12三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】【例12】（2025上·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期中）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，則AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，則BC＝CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正確結(jié)論的序號是．【變式12-1】（2025·江蘇·蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？级＃┒x：等腰三角形的一個底角與其頂角的度數(shù)的比值kk>1稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A=36°,則它的優(yōu)美比k為（

A．32 B．2 C．52 【變式12-2】（2025·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=3，則AB的長為【變式12-3】（2025·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）【閱讀理解】如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2a+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°，則∠B=_______°；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖①，在△ABC中，∠ACB>90°，AC=5，BC=73，且BC邊上的高AD=4．求證：【靈活運用】如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，試問在邊BC上是否存在點E，使得△ABE是“奇妙互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由．【題型13利用三角形外角的性質(zhì)求角度】【例13】（2025·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于點D，E，連接DE，AO的延長線交DE

【變式13-1】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，將△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF．若∠ABE=55°，則∠EGC=度．

【變式13-2】（2025·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點P．若∠A=48°，∠APD=80°，則∠B=°．【變式13-3】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB,CD交于點

A．180°?α B．180°?2α C．90°+α D．90°+2α【題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合】【例14】（2025·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小穎按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次畫出了直線a，b，c．如果∠1=70°，則∠2的度數(shù)為（

）．

A．110° B．70° C．40° D．30°【變式14-1】（2025·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°【變式14-2】（2025·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數(shù)為（）

A．14° B．16° C．24° D．26°【變式14-3】（2025·浙江·校聯(lián)考三模）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是射線AB上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交直線CD于點F，∠BEF的角平分線所在的直線與射線CD交于點

(1)如圖1，點E在線段AD上運動．①若∠B=60°，∠ACB=40②若∠A=90°，求∠EGC的度數(shù)；(2)若點E在射線DB上運動時，探究∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．【題型15利用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題】【例15】（2025·遼寧丹東·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=114°，D，F(xiàn)為BC邊上的點，將△ABD沿AD折疊到△ADE，連結(jié)EF.若∠DAF=57°，那么當(dāng)∠BAD=時，△DEF為直角三角形.【變式15-1】（2025·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在ΔABC處的A'處，折痕為DE.如果∠A=α，∠CEA'=βA．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=【變式15-2】（2025·河北·中考真題）如圖，將?ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1=∠2=44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°【變式15-3】（2025·浙江紹興·校聯(lián)考三模）數(shù)學(xué)探究活動中，小聰同學(xué)為了驗證：長條紙片上下邊沿MN與PQ是否平行，把紙片沿著AC折疊（如圖1），并用量角器測出∠1、∠2的度數(shù)．

(1)若∠1=∠2，則MN∥PQ．你認(rèn)為小聰同學(xué)的做法正確嗎？請說明理由；(2)在（1）的條件下小聰同學(xué)在PQ邊上取點D（不與P，B重合）（如圖2），連接AD并折疊紙片使得射線AB與射線AD重合，折痕交PQ于點E，過E作EF⊥AC于點F，設(shè)∠AEF=α，∠ADP=β．①當(dāng)點D在點C、B之間時，若β=120°，求α的度數(shù)；②當(dāng)點D在PQ上運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合】【例16】（2025·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，AB=AC，AD,BD,CD分別平分∠EAC,∠ABC,∠ACF，以下結(jié)論不一定成立的是（）

A．AD=CD B．AD∥BC C．∠BDC=12【變式16-1】（2025·浙江溫州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BE平分∠ABC交AC于點E，過點A作AD∥BC，交BE的延長線于點(1)求∠AEB的度數(shù)；(2)求證：△ADE是等腰三角形．【變式16-2】（2025·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知銳角∠AOB=30°，如圖，按下列步驟作圖：①在OA邊取一點D，以O(shè)為圓心，OD長為半徑畫MN，交OB于點C，連接CD．②以D為圓心，DO長為半徑畫GH，交OB于點E，連接DE．則∠CDE的度數(shù)為（）．A．25° B．35° C．45° D．55°【變式16-3】（2025·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測）在△ABC中，AB=AC，∠B的角平分線與AC邊所夾的銳角為60°，則∠C=度．

專題19三角形的概念和性質(zhì)【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1畫三角形的高、中線、角平分線】 2【題型2等面積法求三角形的高】 6【題型3利用網(wǎng)格求三角形的面積】 9【題型4根據(jù)三角形的中線求解】 13【題型5與垂心性質(zhì)有關(guān)的計算】 16【題型6利用三角形的三邊關(guān)系求解】 21【題型7利用三角形內(nèi)角和定理求解】 24【題型8三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】 27【題型9三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】 30【題型10利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】 34【題型11利用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 41【題型13利用三角形外角的性質(zhì)求角度】 52【題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合】 55【題型15利用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題】 60【題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合】 67【知識點三角形】1.三角形的基本概念(1)三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。(2)三角形的分類①按邊之間的關(guān)系分：三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形；有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。②按角分類：三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。(3)三角形的三邊之間的關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。(4)三角形的高.中線.角平分線角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。高線：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。(5)三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。(6)三角形的角①三角形的內(nèi)角和等于180°。推論：直角三角形的兩個銳角互余。有兩個角互余的三角形是直角三角形。②三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。內(nèi)外角的關(guān)系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。三角形的外角和等于360°。(7)三角形的面積三角形的面積=×底×高【題型1畫三角形的高、中線、角平分線】【例1】（2025·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段AD是△ABC的高線，圖②中，線段AD是△ABC的角平分線，圖③中，線段AD是△ABC的中線，故選：B．【點睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2025·吉林長春·校聯(lián)考二模）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，在給定的網(wǎng)格中，按照要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中作△ABC的中線BD．(2)在圖②中作△ABC的高BE．(3)在圖③中作△ABC的角平分線BF．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）找出對角線為AC的矩形，連接另一條對稱線，兩條對角線的交點就是D，連接BD即可；（2）找出與線段AC相等的線段BT，AC與BT交于點E，連接BE即可；（3）延長BC到H，使CH的長為小方格的正方形的邊長，則AB=BH=5，連接AH交外圍大正方形的邊于點W，則W是線段AH的中點，連接BW即可．【詳解】（1）如圖①中，線段BD即為所求；（2）如圖②中，線段BE即為所求；（3）如圖③中，線段BF即為所求．【點睛】本題考查了用網(wǎng)格作圖，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練運用這些知識是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2025·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當(dāng)AC與BC重合時，折痕是∠C的角平分線；當(dāng)點A與點B重合時，折疊是AB的中垂線，故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2025下·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在小正方形的邊長均為1的方格紙中，△ABC的頂點均在小正方形的頂點上．

(1)在圖1中畫出△ABC中BC邊上的高AD，垂足為D；(2)在圖2中畫出△ABC中AB邊上的中線CE；(3)直接寫出圖2中三角形ACE的面積．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)4【分析】（1）根據(jù)高線的定義，畫出AD即可；（2）取AB的中點E，連接CE即可；（3）利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，AD即為所求；

（2）如圖所示，CE即為所求；

（3）三角形ACE的面積為12【點睛】本題考查畫高線，中線，求三角形的面積．熟練掌握高線和中線的定義，是解題的關(guān)鍵．【題型2等面積法求三角形的高】【例2】（2025·陜西西安·校考三模）如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1），點A、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點上，那么△ABC中BC邊上的高的長度是（）A．7510 B．713 C．7【答案】D【分析】由勾股定理求得BC=17，由割補(bǔ)法求得S△ABC=7，設(shè)△ABC中BC【詳解】解：由題意可知，BC=12+設(shè)△ABC中BC邊上的高的長度是?，∴S∴?=14故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，割補(bǔ)法求面積，一元一次方程的應(yīng)用你，分母有理化，利用屬數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2025·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【答案】C【分析】在兩個圖形中分別作BC、EF邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可．【詳解】解：如圖，過點A、D分別作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分別為G、H，在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，∠B=50°，∠DEH=180°-130°=50°，∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，∴△AGB≌△DHE(AAS)，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故選：C．【點睛】要題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等底等高兩三角形面積相等．證明△AGB≌△DHE是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2025上·陜西延安·二模）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點在方格線的交點上．

(1)請在圖中作出△ABC中AB邊上的高．(2)求△ABC的面積．(3)點B到AC邊所在直線的距離為165，求AC【答案】(1)見解析(2)8(3)AC=5【分析】（1）根據(jù)高線的定義結(jié)合網(wǎng)格特點作圖即可；（2）利用三角形的面積公式計算即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可．【詳解】（1）解：如圖，AB邊上的高CD即為所作；

（2）如圖，S△ABC（3）∵點B到AC邊所在直線的距離為165∴S△ABC∴AC=5．【點睛】本題考查了三角形的高線，三角形的面積計算，熟練掌握網(wǎng)格特點是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2025·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點A，B，C，D中選一個點；與點M，N為頂點構(gòu)成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，這個點為（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】C【分析】與點M，N為頂點構(gòu)成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，即尋找以MN為底邊，高為KN長的三角形．根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，只需要找到過點K且與MN平行的直線即可．【詳解】解：由于平行線間的距離處處相等，所有在過點K且與MN平行的直線上的點與M、N組成的三角形都滿足其面積與△KMN的面積相等，有網(wǎng)格的特點可知只有過點K、C的直線與MN平行，故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，熟知平行線間的距離處處相等是解題的關(guān)鍵．【題型3利用網(wǎng)格求三角形的面積】【例3】（2025·安徽安慶·校考一模）如圖，點A，B在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點上，在網(wǎng)格格點上除點A，B外任取一點C，則使△ABC的面積為1的概率是．

【答案】2【分析】根據(jù)△ABC的面積為1，在網(wǎng)格上找到滿足題意的點C，再根據(jù)概率公式，即可．【詳解】解：∵任意放置一點C（除點A，B）共有20?2=18種可能的結(jié)果，其中能使△ABC的面積為1的結(jié)果有4種，∴使△ABC的面積為1的概率為：418故答案為：29

【點睛】本題考查概率的知識，解題的關(guān)鍵是全面找到滿足題意的結(jié)果，熟練掌握概率的公式．【變式3-1】（2025·北京·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均在格點上，則SΔABCS

【答案】＜【分析】分別求出△ABC的面積和△ACD的面積，即可求解．【詳解】解：由題意，SΔSΔ∴SΔ故答案為：＜．【點睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2025·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？既＃┤鐖D，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB和線段DE，點A、B、D、E均在小正方形的頂點上．

(1)在方格紙中畫出以AB為斜邊的Rt△ABC，點C(2)在方格紙中畫出以DE為一邊的等腰△DEF，點F在小正方形的頂點上，且△DEF的面積為152【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，取格點C，連接AC，BC即可；（2）如圖，取格點F，連接DF，EF即可．【詳解】（1）解：如圖所示，Rt△ABC

（2）解：如圖所示，等腰△DEF即為所畫，

∵DE=32+∴DE=EF，S△DEF【點睛】本題考查利用網(wǎng)格作三角形，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2025·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在9×9的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B均在小正方形的頂點上(1)在圖中，按要求畫一個△ABC，使點C在格點上，使得AC=5，且△ABC的面積是8(2)在圖中，在格點上取一點D，畫一個△ABD，使得△ABD的面積是12，且tanB=2(3)連接CD，直接寫出△ACD的面積【答案】(1)見解析(2)見解析(3)7【分析】（1）由三角形面積可求出AB邊高為4，再根據(jù)勾股定理即可確定點C的位置；（2）由△ABD的面積是12，可求出D到AB邊距離為6，再根據(jù)tanB=2即可確定點D（3）根據(jù)割補(bǔ)法即可求出三角形面積．【詳解】（1）解：如圖，△ABC為所求；（2）如圖，△ABD為所求；（3）S△ACD【點睛】此題主要考查網(wǎng)格作圖、勾股定理、三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的面積的求法、正切的定義及網(wǎng)格的特點．【題型4根據(jù)三角形的中線求解】【例4】（2025·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點，具有性質(zhì)：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為．【答案】18【分析】根據(jù)線段比及三角形中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面積為3，∴△ACG的面積為6，∴△ACF的面積為3+6＝9，∵點F為AB的中點，∴△ACF的面積＝△BCF的面積，∴△ABC的面積為9+9＝18，故答案為：18．【點睛】題目主要考查線段比及線段中點的性質(zhì)，熟練掌握線段中點的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，BD是△ABC的中線，AB=6，BC=4，△ABD和△BCD的周長差為【答案】2【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，三角形周長計算，根據(jù)三角形中線的定義得到AD=CD，再分別求出兩個三角形的周長，然后作差即可得到答案．【詳解】解：∵BD是△ABC的中線，∴AD=CD，△ABD的周長=AB+BD+AD，△BCD的周長=BC+CD+BD，∵AB=6，∴AB+BD+AD?BC+CD+BD∴△ABD和△BCD的周長差為2，故答案為：2．【變式4-2】（2025·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）22+【分析】（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=22（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=13∴AB=∴BD=∴BC=（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE=12BC=2∴DE=CE﹣CD=2?∴tan∠【點睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2025·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=【答案】3【分析】連接ED，由BE是△ABC的中線，得到S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，由BF=3FE，得到【詳解】解：連接ED∵BE是△ABC的中線，∴S△ABE∵BF=3FE∴設(shè)S△AEF∴∴∴∵∴x+y=4x?4y∴x=∵△ABD與△ADC是等高三角形，∴S故答案為：32【點睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【題型5與垂心性質(zhì)有關(guān)的計算】【例5】（2025·山東威海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）交于一點，該點叫三角形的垂心．【問題解決】如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H為△ABC的垂心，則∠BHC的度數(shù)為（

）A．120° B．115° C．102° D．108°【答案】C【分析】如圖，延長BH,CH,分別交AC,AB于K,M,證明∠AMC=∠AKB=90°,再利用三角形的內(nèi)角和定理求解∠A,再利用四邊形的內(nèi)角和定理可得答案.【詳解】解：如圖，延長BH,CH,分別交AC,AB于K,M,∵H為△ABC的垂心，∴BK⊥AC,CM⊥AB,∴∠AMC=∠AKB=90°,∵∠ABC=40°,∠ACB=62°,∴∠BAC=180°?40°?62°=78°,∴∠MHK=360°?∠AMC?∠AKB?∠A=102°，∴∠BHC=102°．故選：C.【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，垂心的定義，正確理解垂心的定義構(gòu)建需要的四邊形是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】（2025·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）如圖，H、O分別為△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圓的半徑為2，則AH=（

）

A．23 B．22 C．4 【答案】B【分析】連接BO并延長交⊙O于點D，連接HC，CD，DA，由圓周角定理的推論，可得DC⊥BC，DA⊥AB，由三角形的垂心的定義得AH⊥BC，CH⊥AB，從而得四邊形AHCD是平行四邊形，結(jié)合∠BAC=45°，△ABC外接圓的半徑為2，即可求解．【詳解】連接BO并延長交⊙O于點D，連接HC，CD，DA．∵點O是△ABC的外心，∴BD是⊙O的直徑，∴DC⊥BC，DA⊥AB，又∵點H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∴AH∥DC，CH∥DA，∴四邊形AHCD是平行四邊形，∴AH=DC，∵∠BAC=45°，△ABC外接圓的半徑為2，∴∠BDC=∠BAC=45°，BD=4，∴AH=DC=BD÷2=4÷2=22故選B．

【點睛】本題主要考查三角形外心與垂心的定義，圓周角定理及其推論，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，掌握三角形外心與垂心的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形和等腰直角三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知銳角△ABC的頂點A到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，則∠A的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】設(shè)△ABC的外心為O，D為BC的中點，BO的延長線交⊙O于點E，連CE，AE．因為銳角△ABC的垂心在三角形內(nèi)部，得到平行四邊形AHCE，根據(jù)已知條件和三角形的中位線定理，得OB=AH=CE=2OD，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求得∠BOD=60°，進(jìn)一步根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：如圖，設(shè)△ABC的外心為O，D為BC的中點，BO的延長線交⊙O于點E，連CE，AE，∵BE為⊙O的直徑，∴∠BCE=∠BAE=90°，即AE⊥AB，EC⊥BC，∵銳角△ABC的垂心在三角形內(nèi)部，且H為三角形的垂心，則CE//AH，AE//CH，∴四邊形AHEC為平行四邊形，∴AH=EC，而A到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，∴OB=AH=CE=2OD，OD//EC，∴sin∠OBD=ODOB∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，連接OC，∴∠BOC=120°，∴∠A=12故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、圓周角定理以及垂心、外心的概念，三角形的垂心即為三角形的三條高的交點，三角形的外心即為三角形的垂直平分線的交點．【變式5-3】（2025·福建泉州·南安市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖1，設(shè)ΔABC是一個銳角三角形，且AB≠AC，Γ為其外接圓，O、H分別為其外心和垂心，CD為圓Γ直徑，M為線段BC上一動點且滿足AH=2OM．（1）證明：M為BC中點；（2）過O作BC的平行線交AB于點E，若F為AH的中點，證明：EF⊥FC；（3）直線AM與圓Γ的另一交點為N（如圖2），以AM為直徑的圓與圓Γ的另一交點為P．證明：若AP、BC、OH三線共點，則AH=HN；反之也成立．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）連接AD，BD，得∠ADB=∠DBC=900，結(jié)合H為垂心，AD//BH,BD//（2）過E作EG⊥BC，由EGHF，EGFA為平行四邊形，證明H為ΔFGC的垂心，從而得到EF⊥FC；（3）設(shè)AM與OF交點為I，得到MH⊥AP，證明H是ΔAMQ的垂心，證明AP、BC、OH三線共點得O,H,Q三點共線，得到AH=HN．【詳解】解：（1）連接AD,BD，則DA⊥AC，DB⊥BC又H為ΔABC垂心∴BH⊥AC，AH⊥BC∴AD∴四邊形ADBH為平行四邊形∴DB=AH=2OM，又O為CD中點∴M為BC中點（2）過E作EG⊥BC連接GH，由（1）可知四邊形EGHF為平行四邊形，四邊形EGFA為平行四邊形∵CH⊥AB,AB∥GF∴CH⊥GF∴H為ΔFGC垂心∴GH⊥CF,而∴EF⊥FC（3）設(shè)AM與OF交點為I由（1）可知四邊形OMFA為平行四邊形∴I為直徑AM中點而圓I與圓Γ相交弦為AP∴OF⊥AP,而MH∥OF∴MH⊥AP設(shè)MC,AP交于Q則H為ΔAMQ垂心∴QH⊥AMAP、BC、OH三線共點?O,H,Q三點共線?OH⊥AN?AH=HN【點睛】本題考查了圓內(nèi)的綜合問題，熟知圓的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂心的作用是解題的關(guān)鍵．【題型6利用三角形的三邊關(guān)系求解】【例6】（2025·四川·中考真題）若實數(shù)x、y滿足x?4+y?8=0，則以x【答案】20【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求解：【詳解】根據(jù)題意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8．①4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、8，∵4+4=8，∴不能組成三角形，②4是底邊時，三角形的三邊分別為4、8、8，能組成三角形，周長=4+8+8=20．所以，三角形的周長為20．【變式6-1】（2025·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析判斷．【詳解】A、5+7=12，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；B、7+7=14<15，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；C、6+9=15<16，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；D、6+8=14>12，能構(gòu)成三角形，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，看能否組成三角形的簡便方法：看較小的兩個數(shù)的和能否大于第三個數(shù)．【變式6-2】（2025·貴州·統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】C【分析】如圖（見解析），設(shè)這個凸五邊形為ABCDE，連接AC,CE，并設(shè)AC=a,CE=b，先在△ABC和△CDE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得4<a<6，0<b<2，從而可得4<a+b<8，2<a?b<6，再在△ACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得a?b<d<a+b，從而可得2<d<8，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)這個凸五邊形為ABCDE，連接AC,CE，并設(shè)AC=a,CE=b，在△ABC中，5?1<a<1+5，即4<a<6，在△CDE中，1?1<b<1+1，即0<b<2，所以4<a+b<8，2<a?b<6，在△ACE中，a?b<d<a+b，所以2<d<8，觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，通過作輔助線，構(gòu)造三個三角形是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2025·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P、Q分別是AB、A1C1的中點，PQ的最小值等于．【答案】7【分析】取AC的中點M，A1B1的中點N，連接PM，MQ，NQ【詳解】解：取AC的中點M，A1B1的中點N，連接PM，MQ，NQ∵將ΔABC平移5個單位長度得到△A1∴B1C∵點P、Q分別是AB、A1∴NQ=1∴5?3即72∴PQ的最小值等于72故答案為：72【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型7利用三角形內(nèi)角和定理求解】【例7】（2025·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接AAA．70° B．65° C．60° D．55°【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A′C，∠ACA′=90°，從而得到△ACA【詳解】解：∵將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′∴AC=A′C∴△ACA∴∠CAA∵∠AA∴∠B∵∠CB∴∠CB故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2025·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是．【答案】50°或90°【分析】由題意可求出∠B=∠C=40°，故可分類討論①當(dāng)∠BAD=90°時和②當(dāng)∠ADB=90°時，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=180°?∠A∵△ABD為直角三角形，∴可分類討論：①當(dāng)∠BAD=90°時，如圖1，

∴∠ADB=180°?∠BAD?∠B=50°；②當(dāng)∠ADB=90°時，如圖2，

綜上可知∠ADB的度數(shù)是50°或90°．故答案為：50°或90°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．【變式7-2】（2025·湖北·中考模擬）如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點，并連接BD、DE．若∠A=30°，AB=AC，則A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°【答案】A【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識點，熟練運用“等邊對等角”求角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及“等邊對等角”可得∠ABC=∠ACB=75°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠DBE=45°，最后再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠BDE的度數(shù)即可．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=1∵以B為圓心，BC長為半徑畫弧，∴BE=BD=BC，∴∠BDC=∠ACB=75°，∴∠CBD=180°?75°?75°=30°，∴∠DBE=75°?30°=45°，∴∠BED=∠BDE=1故選：A．【變式7-3】（2025·江蘇·無錫市第一女子中學(xué)?？贾锌寄M）如圖，在△ACB和△DCE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE、BD交于點O，AE與DC交于點M，BD與AC交于點N．試判斷AE、BD之間的關(guān)系，并說明理由．

【答案】AE=BD且AE⊥BD，理由見解析【分析】根據(jù)∠ACB=∠DCE=90°，可得∠DCB=∠ACE，已知AC=BC，CD=CE，可得△ACE≌△BCD，則AE=BD，∠CEA=∠BDC，由∠CME=∠DMO，理由三角形內(nèi)角賀可知∠CEA+∠CME=∠BDC+∠DMO，進(jìn)而可得∠DOM=∠ECM=90°，AE⊥BD，即AE=BD且AE⊥BD．【詳解】解：AE=BD且AE⊥BD．理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠DCA=∠DCE+∠DCA，即∠DCB=∠ACE，∵AC=BC，CD=CE，∴△ACE≌△BCDSAS∴AE=BD，∠CEA=∠BDC，∵∠CME=∠DMO，∠DCE=90°，則∠CEA+∠CME=∠BDC+∠DMO=90°∴∠DOM=∠ECM=90°，∴AE⊥BD，∴AE=BD且AE⊥BD．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，三角形的內(nèi)角和定理，證明△ACE≌△BCD是解決問題的關(guān)鍵．【題型8三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】【例8】（2025·四川·中考真題）如圖，在△ABC中，∠CAB=70°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得

A．35° B．40° C．50° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，由等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案．【詳解】解：∵CC∴∠C∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB∴∠C∴∠AC∴∠C∵∠BAB′=∠CAB?CA∴∠BAB′=∠故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求角度，涉及平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，是解決問題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2025·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點D，DE∥AC，交BC于點E．若∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)是（A．25° B．40° C．45° D．50°【答案】B【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BDE=∠A=50°，再根據(jù)垂直的定義得∠CDB=90°，進(jìn)而根據(jù)∠CDE=∠CDB?∠BDE即可得出答案．【詳解】解：∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A=50°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠CDE=∠CDB?∠BDE=90°?50°=40°，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2025·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，AD//BC，∠ADC=120°，∠BAD=3∠CAD，E為AC上一點，且∠ABE=2∠CBE，在直線AC上取一點P，使∠ABP=∠DCA，則∠CBP：∠ABP的值為．【答案】2或4【分析】分點P在線段AC上、在CA的延長線上兩種情況，分別畫出圖形，結(jié)合圖形，利用三角形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)，等量代換，得出各個角之間的倍數(shù)關(guān)系．【詳解】如圖，①當(dāng)∠ABP1=∠∵∠D∴∠1+∠3=180°?120°=60°，∵∠BAD=3∠CAD，∠∴3∠3+3∠EBC∴∠3+∠EBC∴∠EBC∴∠CBP1：②當(dāng)∠ABP2=∠DCA時，由①則有故答案為：2或4．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，以及分類討論思想的應(yīng)用等知識，畫出相應(yīng)圖形，利用等量代換得出各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2025·浙江金華·一模）如圖，已知AB∥CD，小妍同學(xué)進(jìn)行以下尺規(guī)作圖：①以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線AB于點E；②以點E為圓心，小于線段CE的長為半徑作弧，與射線CE交于點M，N；③分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，交于點F，直線EF交CD于點G．若∠CGE=α，則∠A的度數(shù)可以用α表示為（A．90°?α B．90°?12α C．180°?4α【答案】D【分析】由作圖可知：AC=AE，CE⊥CE，所以∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，則∠CGE+∠ECG=90°，所以∠ECG=90°-α，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AEC=∠ECG=90°-α，即可由三角形內(nèi)角和定理求解．【詳解】解：由作圖可知：AC=AE，CE⊥CE，∴∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，∴∠CGE+∠ECG=90°，∴∠ECG=90°-α，∵AB∥CD，∴∠ACE=∠AEC=∠ECG=90°-α，∴∠A=180°-∠ACE-∠AEC=180°-2∠AEC=180°-2(90°-α)=2α，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查作線段等于已知線段，經(jīng)過上點作直線的垂線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握尺規(guī)基本作圖和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【題型9三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】【例9】（2025·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，∠DEA的度數(shù)是（

）．A．35° B．60° C．70° D．85°【答案】D【分析】由題可得，直線DF是線段AB的垂直平分線，AE為∠DAC【詳解】解∶由題可得，直線DF是線段AB的垂直平分線，AE為∠DAC∴AD=BD，∠DAE=∴∠B=∴∠ADC=∵∠C=50°∴∠DAC=180°?60°?50°=70°∴∠DAE=∠CAE=1∴∠DEA=故選D．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2025·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，點P是△ABC的內(nèi)心，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=度．【答案】90【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義知內(nèi)心是三角形三角平分線的交點，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以得到題目中的三個角的和．【詳解】解：∵點P是△ABC的內(nèi)心，∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°，故答案是：90．【點睛】考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的理解三角形的內(nèi)心的定義，是三角形三內(nèi)角的平分線的交點．【變式9-2】（2025·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，已知△ABC的三個內(nèi)角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且AD=AO，CB=CD，連接BD．(1)求證：∠OBD=∠ODB；(2)若∠BAC=80°，求∠ACB的長度．【答案】(1)見解析(2)∠BCA=60°【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；（1）由“SAS”可證△COD≌△COB，可得OD=OB，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分線可得∠BAO=40°，從而得出∠DAO=140°，根據(jù)AD=AO，可得出∠ODA=20°，即可得出∠CBO=20°，則∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°．【詳解】（1）解：證明：∵△ABC三個內(nèi)角的平分線交于點O，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中，CD=CB∠OCD=∠OCB∴△COD≌△COB(SAS∴OD=OB，∠OBC=∠ODC，∴∠OBD=∠ODB；（2）解：∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠ODA=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°．【變式9-3】（2025·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD為△ABC的角平分線．以點A圓心，AD長為半徑畫弧，與AB,AC分別交于點E,F，連接DE,DF．

(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BDE=20°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠BAD=∠CAD，由作圖可得AE=AF，即可證明△ADE≌△ADF；（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠EAD=40°，由作圖得出AE=AD，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADE=70°，AD⊥BC，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，由作圖可得AE=AF，在△ADE和△ADF中，AE=AF∠BAD=∠CAD∴△ADE≌△ADFSAS；（2）∵∠BAC=80°，AD為△ABC的角平分線，∴∠EAD=40°由作圖可得AE=AD，∴∠ADE=70°，∵AB=AC，AD為△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠BDE=20°【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【題型10利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】【例10】（2025·青?！そy(tǒng)考中考真題）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角板的斜邊上，AC與DM、DN分別交于點E、F，把△MDN繞點D旋轉(zhuǎn)到一定位置，使得DE=DF，則∠BDN的度數(shù)是(

)A．105° B．115° C．120° D．135°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和特殊直角三角形的角度求得∠DEC,進(jìn)一步利用三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】解：∵DE=DF，∠EDF=30°，∴∠DEF=12（180°-∠EDF∴∠DEC=105°，∵∠C=45°，∴∠CDE=180°-45°-105°=30°，∴∠BDN=120°，故選C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式10-1】（2025·甘肅·中考真題）（1）如圖，BD與CD分別平分∠ABC和∠ACB，已知∠BDC=130°，求∠A的度數(shù)．（2）將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，求∠1的度數(shù)【答案】（1）80°；（2）75°【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角板中角度的特點等等：（1）先由三角形內(nèi)角和定理得到∠DBC+∠DCB=50°，再由角平分線的定義得到∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，進(jìn)而得到∠ABC+∠ACB=100°，則由三角形內(nèi)角和定理得到（2）先由三角形內(nèi)角和定理得到∠AEB=180°?∠B?∠BAE=30°，則由對頂角相等可得∠DEC=∠AEB=30°，進(jìn)而由三角形外角的性質(zhì)可得∠1=∠C+∠DEC=75°．【詳解】解：（1）∵∠BDC=130°，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°?∠BDC=50°，∵BD與CD分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABC=2∠DBC，∴∠ABC+∠ACB=2∠DBC+2∠DCB=100°，∴∠A=180°?∠ABC?∠ACB=80°；（2）如圖所示，由三角板中角度的特點可知∠B=60°，∴∠AEB=180°?∠B?∠BAE=30°，∴∠DEC=∠AEB=30°，∴∠1=∠C+∠DEC=75°．【變式10-2】（2025·浙江紹興·統(tǒng)考三模）如圖，將一個含30°角的直角三角板的斜邊和量角器的直徑所在的邊重合放置，其中點D所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為110°，∠ACB=90°，連結(jié)DC交AB于點E，則∠BEC的度數(shù)是（

A．55° B．65° C．75° D．85°【答案】D【分析】取量角器的圓心O，連接OD、OC，則OD=OC，則可得∠COD、∠ODE的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：取量角器的圓心O，連接OD、OC，如圖，由題意知，∠AOD=110°，則∠BOD=180°?∠AOB=70°；∵O是AB的中點，∠ACB=90°，∴OA=OC=OD，∴∠OAC=∠OCA=30°，∠OCD=∠ODE，∵∠BOC=2∠OAC=60°，∴∠COD=∠BOD+∠BOC=70°+60°=130°，∴∠ODE=1∴∠BEC=∠DEO=180°?∠ODE?∠BOD=85°；故選：D．

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2025·山西·統(tǒng)考三模）綜合與實踐??探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°，如圖2，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，(1)初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=時，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；(3)再探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時，求△ABC與△AFE重疊的面積；(4)拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說明理由．【答案】(1)60°或15°(2)見解析(3)3(4)能，∠α=30°或60°【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAM=∠FAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=AN，PE=PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)已知條件得到△ABM是直角三角形，求得EM=3，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（4）當(dāng)∠CNP=90°時，依據(jù)對頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據(jù)∠F=60°可求得∠FAN的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得∠α的度數(shù)；當(dāng)∠CPN=90°時．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度數(shù)，然后依據(jù)對頂角相等可得到∠ANF的度數(shù)，然后由∠F=60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN的度數(shù)，于是可得到∠α的度數(shù)．【詳解】（1）當(dāng)AM=CM，即∠CAM=∠C=30°時，△AMC是等腰三角形；∵∠BAC=90°，∴α=90°?30°=60°，當(dāng)AM=CM，即∠CAM=∠CMA時，△AMC是等腰三角形，∵∠C=30°，∴∠CAM=∠AMC=75°，∵∠BAC=90°，∴α=15°，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=60°或15°時，△AMC是等腰三角形，故答案為：60°或15°；（2）由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，∵現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），∴∠BAM=∠FAN，在△ABM與△AFN中，∠B∴△ABM∴AM=AN，∵AE=AC，∴EM=CN，在△MPE和△∠E∴△MPE∴PE=PC，∴點P在CE的垂直平分線上，∵AE=AC，∴點A在CE的垂直平分線上，∴AP所在的直線是線段CE的垂直平分線；（3）∵α=30°，∠B=60°，∴∠AMB=90°，∴△ABM是直角三角形，∵AB=2，∴BM=AB?sin30°=1，AM=AB?cos30°=3，∴S△ABM=12AM?MB=12×∵AE=AC=AB?tan60°=23，AM=3，∴EM=3，在△AMB和△∠∴△AMB由（2）可知△ABM∴S△AFN=∵S△AEF=12AF?AE=12∴△ABC與△AFE