中考數(shù)學(xué)數(shù)列規(guī)律專項(xiàng)訓(xùn)練試題一、數(shù)列規(guī)律題的中考定位與能力要求數(shù)列規(guī)律題是中考數(shù)學(xué)的核心考點(diǎn)之一，常以選擇題、填空題或解答題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生的觀察能力、歸納推理能力與數(shù)學(xué)建模能力。這類題目要求從一組數(shù)或圖形的變化中提煉通用規(guī)律，既考查對(duì)數(shù)字、圖形的敏感度，也滲透“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想。二、核心題型與專項(xiàng)訓(xùn)練（一）數(shù)字型數(shù)列規(guī)律數(shù)字型數(shù)列需重點(diǎn)關(guān)注“差、比、方、組”四類規(guī)律：1.等差型（相鄰項(xiàng)差值恒定）例題：觀察數(shù)列\(zhòng)(3,7,11,15,19,\dots\)，求第\(n\)項(xiàng)表達(dá)式。解析：相鄰項(xiàng)差值為\(7-3=4\)，\(11-7=4\)，…，即公差\(d=4\)的等差數(shù)列。首項(xiàng)\(a_1=3\)，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，得\(a_n=3+4(n-1)=4n-1\)。訓(xùn)練題1：數(shù)列\(zhòng)(5,9,13,17,\dots\)的第\(n\)項(xiàng)為\(\boldsymbol{4n+1}\)；第20項(xiàng)為\(\boldsymbol{81}\)（提示：首項(xiàng)\(5\)，公差\(4\)，通項(xiàng)\(5+4(n-1)=4n+1\)，\(n=20\)時(shí)\(4\times20+1=81\)）。2.等比型（相鄰項(xiàng)比值恒定）例題：數(shù)列\(zhòng)(2,6,18,54,\dots\)，求第\(n\)項(xiàng)表達(dá)式。解析：相鄰項(xiàng)比值為\(6\div2=3\)，\(18\div6=3\)，…，即公比\(q=3\)的等比數(shù)列。首項(xiàng)\(a_1=2\)，通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1\cdotq^{n-1}=2\cdot3^{n-1}\)。訓(xùn)練題2：數(shù)列\(zhòng)(4,12,36,108,\dots\)的第\(n\)項(xiàng)為\(\boldsymbol{4\cdot3^{n-1}}\)；第5項(xiàng)為\(\boldsymbol{324}\)（提示：首項(xiàng)\(4\)，公比\(3\)，通項(xiàng)\(4\cdot3^{n-1}\)，\(n=5\)時(shí)\(4\cdot3^4=4\times81=324\)）。3.平方/立方型（與\(n^2\)、\(n^3\)相關(guān)）例題：數(shù)列\(zhòng)(2,5,10,17,26,\dots\)，求第\(n\)項(xiàng)表達(dá)式。解析：觀察項(xiàng)與\(n\)的關(guān)系：\(n=1\)時(shí)\(2=1^2+1\)，\(n=2\)時(shí)\(5=2^2+1\)，\(n=3\)時(shí)\(10=3^2+1\)，…，故第\(n\)項(xiàng)為\(a_n=n^2+1\)。訓(xùn)練題3：數(shù)列\(zhòng)(0,3,8,15,24,\dots\)的第\(n\)項(xiàng)為\(\boldsymbol{n^2-1}\)（提示：\(n=1\)時(shí)\(1^2-1=0\)，\(n=2\)時(shí)\(2^2-1=3\)，…，通項(xiàng)為\(n^2-1\)）。4.組合型（多規(guī)律交叉或分子分母拆分）例題：數(shù)列\(zhòng)(\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{8},\frac{7}{16},\dots\)，求第\(n\)項(xiàng)表達(dá)式。解析：分子為\(1,3,5,7,\dots\)（等差，公差\(2\)），通項(xiàng)為\(2n-1\)；分母為\(2,4,8,16,\dots\)（等比，公比\(2\)），通項(xiàng)為\(2^n\)。故第\(n\)項(xiàng)為\(a_n=\frac{2n-1}{2^n}\)。訓(xùn)練題4：數(shù)列\(zhòng)(1,\frac{4}{3},\frac{9}{5},\frac{16}{7},\dots\)的第\(n\)項(xiàng)為\(\boldsymbol{\frac{n^2}{2n-1}}\)（提示：分子為\(n^2\)，分母為\(2n-1\)）。（二）圖形型數(shù)列規(guī)律圖形型數(shù)列需先將“圖形個(gè)數(shù)”轉(zhuǎn)化為“數(shù)字?jǐn)?shù)列”，再分析規(guī)律：例題：用小棒擺正方形，第1個(gè)圖用4根，第2個(gè)圖用7根，第3個(gè)圖用10根，…，求第\(n\)個(gè)圖的小棒數(shù)。解析：數(shù)出前3個(gè)圖的小棒數(shù)：\(4,7,10\)，相鄰差為\(3\)（等差）。首項(xiàng)\(a_1=4\)，公差\(d=3\)，故第\(n\)項(xiàng)為\(a_n=4+3(n-1)=3n+1\)。訓(xùn)練題5：用棋子擺三角形，第1層1個(gè)，第2層3個(gè)，第3層6個(gè)，第4層10個(gè)，…，第\(n\)層的棋子數(shù)為\(\boldsymbol{\frac{n(n+1)}{2}}\)（提示：第\(n\)層棋子數(shù)為\(1+2+3+\dots+n\)，即三角形數(shù)\(\frac{n(n+1)}{2}\)）。（三）周期型數(shù)列規(guī)律周期型數(shù)列的關(guān)鍵是找循環(huán)節(jié)，再用“\(n\div\)周期”求余數(shù)：例題：數(shù)列\(zhòng)(2,5,8,2,5,8,\dots\)，求第2023項(xiàng)的值。解析：循環(huán)節(jié)為\([2,5,8]\)，長度為\(3\)。\(2023\div3=674\)余\(1\)，故第2023項(xiàng)與第1項(xiàng)相同，為\(2\)。訓(xùn)練題6：數(shù)列\(zhòng)(1,-1,1,-1,\dots\)的第\(n\)項(xiàng)為\(\boldsymbol{(-1)^{n+1}}\)；第2024項(xiàng)為\(\boldsymbol{-1}\)（提示：周期為\(2\)，偶數(shù)項(xiàng)為\(-1\)，\(n=2024\)時(shí)\((-1)^{2024+1}=-1\)）。（四）遞推型數(shù)列規(guī)律遞推型需通過“累加、累乘、構(gòu)造法”轉(zhuǎn)化為等差/等比數(shù)列：例題：已知\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求\(a_n\)。解析：構(gòu)造等比數(shù)列，兩邊加\(1\)得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，故\(\{a_n+1\}\)是首項(xiàng)為\(3\)、公比為\(2\)的等比數(shù)列，得\(a_n+1=3\cdot2^{n-1}\)，即\(a_n=3\cdot2^{n-1}-1\)。訓(xùn)練題7：數(shù)列\(zhòng)(a_1=1\)，\(a_n=a_{n-1}+2n-1\)（\(n\geq2\)），求\(a_n\)。解析：累加法。\(a_n-a_{n-1}=2n-1\)，\(a_{n-1}-a_{n-2}=2(n-1)-1\)，…，\(a_2-a_1=3\)。累加得\(a_n-a_1=3+5+\dots+(2n-1)\)，右邊為等差數(shù)列（首項(xiàng)\(3\)，末項(xiàng)\(2n-1\)，項(xiàng)數(shù)\(n-1\)），和為\(\frac{(n-1)(3+2n-1)}{2}=n^2-1\)，故\(a_n=1+n^2-1=\boldsymbol{n^2}\)。三、解題策略總結(jié)1.觀察趨勢(shì)：判斷數(shù)列是“等差、等比、平方型”還是“周期、遞推型”；圖形題先轉(zhuǎn)化為數(shù)字?jǐn)?shù)列。2.分析關(guān)系：相鄰項(xiàng)的差、比、和、積，或與\(n^2\)、\(2^n\)等特殊式的關(guān)聯(lián)。3.驗(yàn)證規(guī)律：用前3~5項(xiàng)驗(yàn)證猜想，確保規(guī)律的一致性。4.周期處理：找到循環(huán)節(jié)長度\(T\)，用\(n\modT\)確定位置；遞推題優(yōu)先嘗試“構(gòu)造法”或“累加法”。四、專項(xiàng)訓(xùn)練建議1.分層訓(xùn)練：先掌握單一