2026屆高三微專題12.2事件的相互獨立性與條件概率1.條件概率=1\*GB2⑴定義：一般地，設(shè)A,B為兩個隨機事件，且PA>0，我們稱PBA=P(AB)=2\*GB2⑵乘法公式：對任意兩個事件A與B，若PA>0，則PAB=P(A)PB(3)條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)PA=1\*GB3①PΩA=1；=2\*GB3②如果B和C是兩個互斥事件，則PB?CA=P=3\*GB3③設(shè)B和B互為對立事件，則PBA=1-P=4\*GB3④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：0≤PBA≤1注意：=1\*GB2⑴如果知道事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么PB≠PB=2\*GB2⑵已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當(dāng)于AB發(fā)生，要求PBA，相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間計算AB發(fā)生的概率，即PBA2.相互獨立與條件概率的關(guān)系事件A與事件B相互獨立對任意的兩個事件A與B，如果PAB=PAP(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.即事件與相互獨立的充要條件是性質(zhì)=1\*GB2⑴若事件A與事件B相互獨立，則A與B，A與B，A與B也都相互獨立；=2\*GB2⑵若事件A與事件B相互獨立，PA>0，P概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若PA>03.全概率公式=1\*GB2⑴定義：一般地,設(shè)A1,A2,A3,???,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪A=2\*GB2⑵全概率公式的直觀意義：=1\*GB3①某事件B的發(fā)生有各種可能的原因Ai（i=1,2,3,???,n）,并且這些原因兩兩互斥不能同時發(fā)生，如果事件B是由原因Ai所引起的，且事件Ai發(fā)生時，BAi必同時發(fā)生，則P(B)i=1n=2\*GB3②“全概率”的“全”就是總和的含義，若要求這個總和，需已知概率P(BAi),或已知各原因Ai發(fā)生的概率P(Ai)及在Ai發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率PBAi.通俗地說，事件B*4.貝葉斯公式：設(shè)A且P【重要結(jié)論】1.在利用乘法公式解決實際問題時，要注意區(qū)分P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|2.概率PAB與=1\*GB2⑴聯(lián)系：事件A,B都發(fā)生了；=2\*GB2⑵區(qū)別：①在PAB中，事件A,B發(fā)生有時間上的差異，事件B先發(fā)生，事件A后發(fā)生；在P(AB②基本事件空間不同在PAB中，事件B成為樣本空間，即PAB=n(AB)1.【人教A版必修二P251習(xí)題10.2T1】先后拋擲兩枚骰子，甲表示事件“第一次擲出正面向上的點數(shù)是1”，乙表示事件“第二次擲出正面向上的點數(shù)是2”，丙表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是7”，丁表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是8”，則(

)A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丁相互獨立 D.丙與丁相互獨立2.【人教A版選擇性必修三P48練習(xí)T3】（多選）一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，2個白球，每次從中隨機摸出1個球，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為310

B.若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為12

C.若有放回的摸球3次，則僅有前2次摸到紅球的概率為18125

D.若有放回的摸球3次，則恰有考點考點一相互獨立事件的概率【典例精講】例1.(2025·江蘇省·模擬)盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機摸出2個小球，記下顏色后放回.設(shè)事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則

A.A與B相互獨立 B.A與C相互獨立 C.B與C相互獨立 D.C與D相互獨立例2.(2025·遼寧省·模擬題)甲、乙、丙、丁4人報名參加周末公益活動，有，3個單位需要招志愿者，每個單位各招1人，設(shè)事件“M單位招到甲或乙”，事件“N單位招到甲或丙”，事件“Q單位招到丙或丁”，事件“Q單位招到甲或乙”，則下列說法錯誤的是

A.事件相互獨立 B.事件相互獨立

C.事件相互獨立 D.事件相互獨立【方法儲備】1.相互獨立事件的判斷=1\*GB2⑴定義：從定義的角度看一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率是否有影響,若一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響,則兩事件是相互獨立的；=2\*GB2⑵公式：對于兩個事件A,B,若有PAB=PAPB成立,則得事件2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計算較復(fù)雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算．【拓展提升】練1-1(2025·河南省·模擬題)有6個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用x表示第一次取到的小球的標(biāo)號，用y表示第二次取到的小球的標(biāo)號，記事件為偶數(shù)，為偶數(shù)，，則下列不正確的是(

)A. B.A與B相互獨立 C.A與C相互獨立 D.B與C相互獨立練1-2(2025·江西省九江市·模擬)某不透明的袋子中裝有5個質(zhì)地、大小均相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則

A.A與C相互獨立 B.B與D相互獨立 C.A與D相互獨立 D.B與C相互獨立練1-3.(2025·湖北省黃岡市·模擬題)如圖，一個正八面體八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為記事件“得到的點數(shù)為偶數(shù)”，記事件“得到的點數(shù)不大于4”，記事件“得到的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”．請寫出具體的樣本空間；請證明：但不滿足A，B，C兩兩獨立；連續(xù)拋擲3次這個正八面體，求事件AB只發(fā)生1次的概率．考點二考點二條件概率【典例精講】

例3.(2025·河北省滄州市模擬)袋子中有大小相同的5個白球和5個紅球，從中任取3個球，已知3個球中有白球，則恰好拿到2個紅球的概率為(

)A.511 B.411 C.512例4.(2025·江蘇省泰州市月考)設(shè)集合A?B，且P(A)=0.2，PA.P(B|A)=27 B.例5.(2025·浙江省·模擬題)有6張卡片，正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6，且背面均寫有數(shù)字先把這些卡片正面朝上排成一排，且第k個位置上的卡片恰好寫有數(shù)字然后擲一顆均勻的骰子，若點數(shù)為n，則將第n個位置上的卡片翻面并置于原處.進行上述實驗3次，發(fā)現(xiàn)卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，在這一條件下，計算骰子恰有一次點數(shù)為2的概率為

.【方法儲備】條件概率的兩種常用方法：1.定義法：先求P(A)和P(AB)2.樣本點法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的樣本點數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的樣本點數(shù)n(AB)，得PB【拓展提升】練2-1(2025·江蘇省淮安市·月考試卷)一個袋中有大小、形狀完全相同的3個球，顏色分別為紅、黃、藍(lán).從袋中無放回地依次取出2個球，記“第一次取到紅球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，則(

)A.P(B)=13 B.P(B|A練2-2(2025·河南省鄭州市月考)現(xiàn)有一款闖關(guān)游戲，共有4關(guān)，規(guī)則如下：在第n關(guān)要拋擲骰子n次，每次觀察向上面的點數(shù)并做記錄，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2n+n，則算闖過第n關(guān)，n=1，2，3，(1)直接挑戰(zhàn)第2關(guān)并過關(guān)的概率為712(2)連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為524(3)若直接挑戰(zhàn)第3關(guān)，設(shè)A=“三個點數(shù)之和等于15”，B=“至少出現(xiàn)一個5點”，則(4)若直接挑戰(zhàn)第4關(guān)，則過關(guān)的概率是351296練2-3(2025·上海市市轄區(qū)月考)在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3，4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得．現(xiàn)有抽獎人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機打開甲的選擇之外的一個空箱子．(1)計算主持人打開4號箱的概率;(2)當(dāng)主持人打開4號箱后，現(xiàn)在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選1號或3號箱??(以獲得獎品的概率最大為決策依據(jù))考點三考點三全概率公式【典例精講】例6.(2025·浙江省紹興市·模擬)現(xiàn)有甲、乙兩個口袋，其中甲口袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球;乙口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球，一個3號球.第一次從甲口袋中任取1個球，將取出的球放入乙口袋中，第二次從乙口袋中任取一個球，則第二次取到2號球的概率為

.例7.(2025·江蘇省南京市·模擬題)某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)每天中午會在兩家餐廳中選擇一家用餐，如果前一天選擇了A餐廳則后一天繼續(xù)選擇A餐廳的概率為，前一天選擇B餐廳則后一天選擇A餐廳的概率為p，如此往復(fù)．已知他第1天選擇A餐廳的概率為，第2天選擇A餐廳的概率為求王同學(xué)第天恰好有兩天在A餐廳用餐的概率；求王同學(xué)第天選擇A餐廳用餐的概率【方法儲備】運用全概率公式的一般步驟如下：(1)求出樣本空間Ω的一個劃分A1(2)求P(A(3)求P(B|A(4)求目標(biāo)事件的概率P(B)．【拓展提升】練3-1(2025·浙江省臺州市模擬)一位飛鏢運動員向一個目標(biāo)投擲三次，記事件Ai=“第i次命中目標(biāo)”(i=1,2,3)，P(A1)=18練3-2(2025·河北省石家莊市模擬)（多選）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，已知出現(xiàn)正面向上的概率為p，記An表示事件“在n次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是(

)A.A2與A2是互斥事件 B.P(A2)=p21.(2025·江蘇省蘇州市聯(lián)考)（多選）甲罐中有3個紅球，4個黑球，乙罐中有2個紅球，3個黑球，先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則

A. B.

C.事件A與事件B相互獨立 D.2.(2025·廣東省·單元測試)（多選）現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的三個箱子，其中紅色箱子內(nèi)裝有2個紅色球，1個黃色球和1個藍(lán)色球；黃色箱子內(nèi)裝有2個紅色球，1個藍(lán)色球；藍(lán)色箱子內(nèi)裝有3個紅色球，2個黃色球．若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同色的箱子中，第二次再從剛才放入與球同色的這個箱子中任取一個球，則下列說法正確的是(

)A.若第一次抽到黃色球，那么第二次抽到藍(lán)色球的概率為

B.第二次抽到藍(lán)色球的概率為

C.如果第二次抽到的是藍(lán)色球，則它最有可能來自紅色箱子

D.如果還需將5個不同的小球放入這三個箱子內(nèi)，每個箱子至少放1個，則不同的放法共有150種3.(2025·江蘇省無錫市·期中考試)

人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計如下試驗?zāi)Ｐ停河型耆嗤募住⒁覂蓚€袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球;乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結(jié)束.假設(shè)首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為先驗概率

求首次試驗結(jié)束的概率；

在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率先驗概率進行調(diào)整.

①求選到的袋子為甲袋的概率;

②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進行第二次試驗時有如下兩種方案：方案一，從原來袋子中摸球;方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結(jié)束的概率更大.

【答案解析】1.【人教A版必修二P251習(xí)題10.2T1】由題意可知，兩次擲出的點數(shù)之和是8的所有可能結(jié)果為：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5種

兩次擲出的點數(shù)之和是7的所有可能結(jié)果為：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6種

則P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=66×6=16，P(丁)=56×6=536．C:P(乙丁)=136≠P(乙)P(丁)；2.【人教A版選擇性必修三P48練習(xí)T3】（多選）解：對于A，第一次摸到紅球的概率為35，故A錯誤，

對于B，不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率P=24=12，故B正確，

對于C，有放回的摸球3次，則僅有前2次摸到紅球的概率35×35×25=18125，故C例1.解：依題意得，，

，故A項錯誤；，，故B項錯誤；，故C項錯誤；，，故D項正確.故選：例2.解：M，N兩個單位招志愿者的不同選法種數(shù)為，

，因為事件ST所包含的基本事件為招甲、N招丙，招乙、N招甲，招乙、N招丙，共3個，所以，因為，所以為獨立事件，故A項正確；，同理得，故B項錯誤；，同理得，故C項錯誤；因為為對立事件，所以，故D項錯誤.故選：練1-1解：有放回地隨機取兩次，基本事件為：

，

，

，

，

，

，共有36個，

事件B的基本事件為：

，，

，，

，，共有27個，

所以，故A正確；

事件A的基本事件為：

，，

，，，共有18個；

事件C的基本事件為：

，

，

，

，共有24個，

所以，

，

因為，故

A

與

B

不相互獨立，故B錯誤；

因為，故

A

與

C

相互獨立，故C正確；

，故

B

與

C

相互獨立，故D正確.練1-2.解：若先回答問題A，則答題順序可能為A，B，C和A，C，B，

當(dāng)答題順序為A，B，C且連對兩題時，p=0.6×0.8×(1-0.5)+(1-0.6)×0.8×0.5=0.4

當(dāng)答題順序為A，C，B且連對兩題時，p=0.6×0.5×(1-0.8)+(1-0.6)×0.5×0.8=0.22

所以先回答問題A，連對兩題的概率為0.62

同理先回答問題B，連對兩題的概率為0.52;先回答問題C，連對兩題的概率為0.7

所以要使得p最大，他應(yīng)該先回答問題練1-3.解：因為正八面體八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，

任意拋擲一次，與地面接觸的面上的數(shù)字可能是1，2，3，4，5，6，7，8，

所以樣本空間

證明：事件A所含的樣本點為：，事件B所含的樣本點為：，

事件C所含的樣本點為：，

故事件ABC所含的樣本點為：，所以，

又，所以，

又事件AC所含的樣本點為：，所以，

又，所以，

所以事件A，C不獨立，即不滿足A，B，C兩兩獨立.

依題意知每次拋擲這個正八面體的結(jié)果都互不影響，即互相獨立，

記為第i次拋擲這個正八面體發(fā)生事件AB，則，

所以事件AB只發(fā)生1次的概率為

例3.解：由題意，任取3個球中有白球的情況有C51C52+C52C51例4.解：因為A?B，所以P(AB)=P(A)=0.2，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1，故A錯誤；

P(A|例5.解：設(shè)事件A為“3次試驗后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，

事件B為“骰子恰有一次點數(shù)為2”，

因為，為奇數(shù)，而每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)號位的卡片會改變總和的奇偶性，每次翻轉(zhuǎn)奇數(shù)號位的卡片不會改變總和的奇偶性，

所以要3次試驗后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則3次翻轉(zhuǎn)中，翻轉(zhuǎn)偶數(shù)號位卡片的次數(shù)必須奇次，

因此當(dāng)翻轉(zhuǎn)偶數(shù)號位卡片的次數(shù)為1時，3次中那一次從2、4、6號位之一上翻，有種翻法，

剩下2次從1、3、5號位上每次翻一個，有種翻法，所以此時共有翻法，

當(dāng)翻轉(zhuǎn)偶數(shù)號位卡片的次數(shù)為3時，3次從2、4、6號位上每次翻一個，有種翻法，

所以三次試驗后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)的翻法總數(shù)為種，即

因為當(dāng)翻轉(zhuǎn)偶數(shù)號位卡片的次數(shù)為1，且恰有一次點數(shù)為2時，3次中那一次從2號位上翻，有種翻法，

剩下2次從1、3、5號位上每次翻一個，有種翻法，所以此時共有翻法，

當(dāng)翻轉(zhuǎn)偶數(shù)號位卡片的次數(shù)為3，且恰有一次點數(shù)為2時，3次中那一次從2號位上翻，有種翻法，

剩下2次從4、6號位上每次翻一個，有種翻法，所以此時共有翻法，

所以三次試驗后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，且恰有一次點數(shù)為2的翻法總數(shù)種，即，

因此

故答案為：練2-1.解：對于A，由題意得P(B)=對于B，因為PAB=13×12=對于C，因為P(A)=13，P(B)=1對于D，因為P(AB)=13×1故選：ABD．練2-2.解：對于(1)，

22+2=6

，所以兩次點數(shù)之和應(yīng)大于即直接挑戰(zhàn)第2關(guān)并過關(guān)的概率為

P1=2136對于(2)，

21+1=3

，所以挑戰(zhàn)第1關(guān)通過的概率

P則連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為

P=P1P對于(3)，由題意可知，拋擲3次的基本事件有

63=216拋擲3次至少出現(xiàn)一個5點的事件共有

63-故

P(B)=91216

，而事件

A∩B

包括：含5，5，5的1種，含4，5故

P(A∩B)=7216

對于(4)，當(dāng)

n=4

時，

2n而“4次點數(shù)之和大于20”包含以下35種情況：含5，5，5，6的有4種，含5，5，6，6的有6種，含6，6，6，6的有1種，含4，6，6，6的有4種，含5，6，6，6的有4種，含4，5，6，6的有12種，含3，6，6，6的有4種，所以

P4=356故答案為：(2)練2-3.解：設(shè)A1，A2，A3，A4分別表示1，2，3，4號箱子里有獎品，

設(shè)B1，B2，B3，B4分別表示主持人打開1，2，3，4號箱子，

則Ω=A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4兩兩互斥．

由題意可知，事件A1，A2，A3，A4的概率都是14，

P(B4|A1)=12，P(B例6.解：記事件，分別表示第一次、第二次取到i號球，，2，3，依題意，

，兩兩互斥，其和為，并且，，，所以

，，，應(yīng)用全概率公式，有

故答案為例7.解：設(shè)“王同學(xué)第i天選擇A餐廳”

則，，

，

由全概率公式，得

，解得

設(shè)“王同學(xué)第天恰好有兩天在A餐廳用餐”，

則，

因此

設(shè)“王同學(xué)第n天選擇A餐廳”，則，，

由題與可得，，

由全概率公式，得

則，又因為，

所以是以首項為，公比為的等比數(shù)列.

因此，即

練3-1.解：P(A2|A1)=2P(A1)=14，P(A3|A