/金益高中高三9月份起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合A，解對數(shù)不等式求得集合B，再利用交集的定義求解.【詳解】由可得，故，由可得，解得，故，所以.故選：C.2.已知，，則（）A.0 B.2 C.-1 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對數(shù)轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用指數(shù)運(yùn)算律計算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，則.故選：B.3.已知定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用偶函數(shù)性質(zhì)可得，再由偶函數(shù)單調(diào)性以及定義域列出不等式組計算求解即可.【詳解】由題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，關(guān)于的不等式，即，所以，解得，所以原不等式解集為.故選：B4.已知函數(shù)，若存在最小值，則正數(shù)的最大值為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，再結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，由題意列出不等式，求解即可.【詳解】當(dāng)時，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，.令，解得，則的最大值為4.故選：D.5.已知，則的值為（）A.70 B.126 C.56 D.84【答案】B【解析】【分析】求出展開式中系數(shù)為，其中，從而求解出答案．【詳解】兩項(xiàng)中不存在，對于其余部分，展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，……，展開式中的系數(shù)為，所以，故選：B．6.已知橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)為，，若橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可求得，利用向量的數(shù)量積為，又由基本不等式可得，可得為等邊三角形，進(jìn)而可求離心率.【詳解】連接，，因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，又所以為等邊三角形，所以，所以橢圓的離以率為.故選：C.7.已知，，，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意將表達(dá)式中的“2”進(jìn)行替換，將分式化為齊次式，再利用基本不等式計算即可.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最大值為．故選：D．8.已知定義在上函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)，都有，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱 D.【答案】C【解析】【分析】令，可得，令，計算可判斷B；進(jìn)而利用平移法可判斷C；分析可得是的三次多項(xiàng)式，設(shè)，進(jìn)而計算可得，利用導(dǎo)數(shù)可判斷A，利用賦值法可判斷D.【詳解】令，則有，所以，令，則有，所以，所以，所以為奇函數(shù)，故B錯誤，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，將函數(shù)圖象向右平移2個單位可得的圖象，再將向上平移1個單位可得的圖象，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確；因?yàn)?，可得是的三次多?xiàng)式，設(shè)而右邊，令兩邊相等：，進(jìn)而求得，所以，所以，當(dāng)時，不恒成立，故A錯誤；令，所以，，可得，故D錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知一組數(shù)據(jù)為，1，2，4，3，5，10，9，若為這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)，則的展開式中的系數(shù)為B.數(shù)據(jù)組成一個樣本，其回歸直線方程為，其中，去除一個異常點(diǎn)后，得到新的回歸直線必過點(diǎn)C.若隨機(jī)變量，則函數(shù)為偶函數(shù)D.在列聯(lián)表中，若每一個數(shù)據(jù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，則變?yōu)樵瓉淼?倍其中【答案】ABC【解析】【分析】先求出值，再寫出的展開式中通項(xiàng)，求出的系數(shù)，即可判斷A；根據(jù)回歸直線方程必過樣本的中心點(diǎn)，求出，再求出去除異常點(diǎn)后的及，即可判斷B；由隨機(jī)變量，分析出其圖象關(guān)于對稱，找到關(guān)于的對稱區(qū)間，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性得到，即可判斷C；根據(jù)的計算公式計算即可判斷D.【詳解】對于A，將原數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排序?yàn)椋驗(yàn)樯纤姆治粩?shù)就是第75百分位數(shù)，所以，所以，因?yàn)榈亩?xiàng)展開式的通項(xiàng)為令，解得，所以的展開式中的系數(shù)為，故A正確；對于B，因?yàn)榛貧w直線方程為過樣本的中心點(diǎn)，所以所以去除一個異常點(diǎn)后，，所以新的回歸直線必過點(diǎn)，故B正確；對于C，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以其圖象關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為，即，關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為，即，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)為偶函數(shù)，故C正確；對于D，在列聯(lián)表中，若每一個數(shù)據(jù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，則，所以變?yōu)樵瓉淼?倍，故D錯誤.故選：ABC10.已知拋物線，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作的垂線，垂足分別為，則（）A.B.若，則直線的斜率為C.三點(diǎn)共線（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）D【答案】ACD【解析】【分析】由拋物線的定義可得，，再利用角的關(guān)系即可得出；根據(jù)定義可得，即可得出角，進(jìn)而得出直線的斜率為；設(shè)，則，證明即可；由題可得，結(jié)合焦半徑公式即可證明.【詳解】連接，根據(jù)拋物線定義可知，所以，又由于軸，所以，所以，同理可證，所以，即，故正確；過作于，設(shè)，則，，所以，所以，由對稱性可知直線的斜率為，故B錯誤；設(shè)，則，由于，由于三點(diǎn)共線，則，又由于，則，由于，則，所以，，所以，即，所以三點(diǎn)共線，故C正確；由于，則，即，所以，所以，故D正確．故選：ACD．11.已知，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時，是的極小值點(diǎn) B.可能單調(diào)遞增C.有最小值，無最大值 D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】【分析】ABC選項(xiàng)，通過分析和，得到的單調(diào)性以及極小值點(diǎn)，并可進(jìn)一步分析該極小值也是函數(shù)最小值，從而逐一判斷各選項(xiàng)；D選項(xiàng)，對最小值變形后采用基本不等式判斷即可．【詳解】對于A：當(dāng)時，，定義域，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，所以時，，遞減，時，，遞增，即是的極小值點(diǎn)，故A正確；對于B：若單調(diào)遞增，需在上恒成立，又，令，則，故在上單調(diào)遞增，又，，也即對任意所給的a，一定存在的情況，即不可能恒成立，故B錯誤；對于C：由B選項(xiàng)可知，單調(diào)遞增，，，又，，故一定存在，使得，所以，，遞減，時，，遞增，即是的極小值，也是的最小值，且無最大值，故C正確；對于D：當(dāng)時，最小值滿足，即，即，所以，其中，由均值不等式，得，等號成立條件為且，也即，又因?yàn)樾铦M足，但顯然，等號不成立，所以恒成立，故D正確．故選：ACD．第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，若，則的值為______.【答案】或【解析】【分析】由可得，展開代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以，所以，解得?故答案為：或13.已知函數(shù)，若，則___________.【答案】2【解析】【分析】由題可得，即，代入求解即可.【詳解】，，所以，則.故答案為：2.14.在中，角A，B，C的對邊分別為的平分線AD交BC于點(diǎn).若，則周長的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正弦定理邊角化可得，即可利用正弦和差角公式求解，利用等面積法可得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】，，即，，，.，得，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.又的周長，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)該寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某超市為促銷舉辦抽獎活動，設(shè)有兩種獎券：甲獎券和乙獎券.顧客每次抽取甲獎券中獎的概率為0.4，每次抽取乙獎券中獎的概率為0.5，每次抽獎結(jié)果相互獨(dú)立、某顧客計劃先抽取2張甲獎券，再抽取1張乙獎券.（1）求該顧客至少中獎1次的概率；（2）設(shè)該顧客中獎的總次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1.3【解析】【分析】（1）“至少中獎1次”的對立事件為“沒有一次中獎”，根據(jù)對立事件的概率關(guān)系求解；（2）確定的可能取值，求得相應(yīng)概率即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件為“至少中獎1次”，則事件為“沒有一次中獎”.則.【小問2詳解】由題可得的取值為，，，，，則的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.16.已知函數(shù)為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用，可求出的通項(xiàng)公式，注意檢驗(yàn)是否滿足即可得解；（2）由導(dǎo)數(shù)得，利用不等式放縮原理得到，得到答案【小問1詳解】由題意知，的前項(xiàng)和，當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】證：，，又，故.17.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為為底面圓直徑，為中點(diǎn)，為母線的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面圓周上，且.（1）證明：是等邊三角形；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到底面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）若為的中點(diǎn)，連接，根據(jù)已知、線面垂直的判定、性質(zhì)定理得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)有，結(jié)合即可證；（2）設(shè)，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并求出直線與平面的方向向量和法向量，根據(jù)已知及向量法列方程求參數(shù)值，即可得.【小問1詳解】取為的中點(diǎn)，連接，又為母線的中點(diǎn)，則，由題意，知，故，又，，又平面，則平面，平面，所以，即，為的中點(diǎn)，易知，且，所以是等邊三角形；【小問2詳解】由題意，點(diǎn)到底面的距離，即為的長度，設(shè)，則，如圖構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，，則，所以，若是平面的一個法向量，則，取，，，則，令直線與平面所成角為，則，所以，可得，故，所以點(diǎn)到底面的距離.18.記雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，其上一點(diǎn)滿足.（1）求的漸近線方程；（2）記的右頂點(diǎn)為，射線上兩點(diǎn)，滿足.（i）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；（ii）已知點(diǎn)在圓上，若的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）由雙曲線的定義及題中條件可求出的值，從而求得的漸近線方程；（2）（i）由題意可得，由點(diǎn)斜式確定的方程，設(shè)的橫坐標(biāo)為，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式和題中條件，求得，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（ii）首先根據(jù)雙曲線的方程求出，再根據(jù)（i）中結(jié)論及，確定，又圓的圓心為，半徑為，將的取值范圍轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到圓上一動點(diǎn)的距離問題即可求解.【小問1詳解】由雙曲線的定義知，，可得，將點(diǎn)代入雙曲線，則，故，因此可得的方程為：，則的漸近線方程為.【小問2詳解】（i）顯然，而，故的斜率，因此可得的方程為，故，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，于是，故，于是點(diǎn)的坐標(biāo)為.（ii）沿用（i）的結(jié)論，記的半焦距為，則，故，，則，由已知，故，解得，故，由（1），所以圓的方程為，圓心為，半徑為，于是，且，故的取值范圍為.19.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)區(qū)間；（2）已知.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】（1）減區(qū)間，增區(qū)間（2）（i），（ii）證明見詳解【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得解；（2）（i）根據(jù)題意，只需讓的所有極值均在內(nèi)即可，求出極值運(yùn)算得解；（ii）當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，由可證；當(dāng)時，等價于證明，