第1頁（共1頁）2025年廣西北海市高考數(shù)學(xué)四模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B．， C．， D．2．若復(fù)數(shù)，則的虛部為A． B． C． D．3．桂林的象鼻山景區(qū)有4個主要景點：象鼻山、水月洞、普賢塔、愛情島．若游客可以選擇游覽其中的3個景點，且必須包含景點象鼻山，則不同的游覽順序有A．12種 B．14種 C．18種 D．20種4．是一款人工智能助手，其用戶滿意度評分隨時間（單位：月）的變化滿足對數(shù)型函數(shù)模型：，其中是常數(shù)．若在經(jīng)過3個月后評分增長到70，則滿意度評分（1）為A．60 B．61 C．62 D．635．已知拋物線的頂點在原點，開口向左，且其焦點到準(zhǔn)線的距離為6，拋物線上有一點，到焦點的距離為5，則點的縱坐標(biāo)為A． B． C． D．6．在△中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知，，△的面積為，則A． B． C． D．7．已知一個正四棱錐的底面邊長為，內(nèi)切球的體積為，則這個正四棱錐的體積為A． B． C． D．168．已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與的兩條漸近線分別交于、兩點，若以為直徑的圓過點，且為的中點，則的離心率為A． B．2 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）某班級有的學(xué)生報名參加了數(shù)學(xué)競賽，的學(xué)生報名參加了物理競賽．報名參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生中，有同時也報名參加了物理競賽．從該班級中隨機抽取一名學(xué)生，記事件為“該學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)競賽”，事件為“該學(xué)生報名參加物理競賽”．則以下說法正確的是A．事件和事件是獨立事件 B． C． D．（多選）10．（6分）已知圓，圓，直線，下列結(jié)論正確的是A．若直線與圓相切，則 B．若，則圓上到直線的距離等于的點恰有3個 C．若圓與圓恰有三條公切線，則 D．若為圓上的點，當(dāng)時，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則可能為（多選）11．（6分）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)，時，．則下列結(jié)論正確的是A． B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)有5個零點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知為單位向量，，，則．13．密位制是一種用于測量角度的單位系統(tǒng)，尤其在軍事領(lǐng)域中被廣泛使用．例如：狙擊手在調(diào)整射擊角度時，可以使用密位制來精確計算目標(biāo)的距離和角度．密位制的基本原理是將一個圓周分為6000等份，每一份稱為1密位．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則最小值的密位數(shù)為．14．若函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列滿足，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．16．（15分）在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，．動點在線段上滿足，動點在線段上滿足，其中，．（1）當(dāng)時，證明：平面；（2）是否存在，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．17．（15分）2025年春節(jié)期間，國產(chǎn)電影《哪吒之魔童鬧?！窇{借其震撼的特效、生動的情節(jié)與深刻的思想，票房一路攀升，成為全球動畫電影票房冠軍．截至2025年3月9日全球票房達(dá)到148.86億元，如圖為某平臺向200名觀眾征集該電影的評分結(jié)果的頻率分布直方圖．（1）求的值；（2）估計這200名觀眾評分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（3）從評分在，和，的觀眾中按照分層抽樣的方法隨機抽取7人進行問卷調(diào)查，再從這7人中隨機抽取3人進行訪談，求被抽到的3人中評分在，的人數(shù)的分布列及期望．18．（17分）已知函數(shù)，．（1）設(shè)，若的導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：當(dāng)時，函數(shù)圖象上任意一點處的切線總在的圖象的上方；（3）若不等式對任意恒成立，求可取的最大整數(shù)值．19．（17分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為．上一點到，的距離之和為4．（1）求的方程；（2）設(shè)的左、右頂點分別為，，若為上異于，的點，直線與直線相交于點，直線與交于另一點，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；求△面積的最大值．

2025年廣西北海市高考數(shù)學(xué)四模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDCABBCB二．多選題（共3小題）題號91011答案BCDABDACD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B．， C．， D．解：集合，或，則，．故選：．2．若復(fù)數(shù)，則的虛部為A． B． C． D．解：，，則的虛部為．故選：．3．桂林的象鼻山景區(qū)有4個主要景點：象鼻山、水月洞、普賢塔、愛情島．若游客可以選擇游覽其中的3個景點，且必須包含景點象鼻山，則不同的游覽順序有A．12種 B．14種 C．18種 D．20種解：桂林的象鼻山景區(qū)有4個主要景點：象鼻山、水月洞、普賢塔、愛情島．若游客可以選擇游覽其中的3個景點，且必須包含景點象鼻山，則不同的游覽順序有種．故選：．4．是一款人工智能助手，其用戶滿意度評分隨時間（單位：月）的變化滿足對數(shù)型函數(shù)模型：，其中是常數(shù)．若在經(jīng)過3個月后評分增長到70，則滿意度評分（1）為A．60 B．61 C．62 D．63解：因為，由（3），得，所以（1）．故選：．5．已知拋物線的頂點在原點，開口向左，且其焦點到準(zhǔn)線的距離為6，拋物線上有一點，到焦點的距離為5，則點的縱坐標(biāo)為A． B． C． D．解：拋物線的頂點在原點，開口向左，且其焦點到準(zhǔn)線的距離為6，可知拋物線方程為：，準(zhǔn)線方程，拋物線上有一點，到焦點的距離為5，縱坐標(biāo)為，則，解得．故選：．6．在△中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知，，△的面積為，則A． B． C． D．解：因為，，可得，因為△的面積為，所以，由余弦定理可得，則．故選：．7．已知一個正四棱錐的底面邊長為，內(nèi)切球的體積為，則這個正四棱錐的體積為A． B． C． D．16解：因為內(nèi)切球的體積為，所以可得內(nèi)切球的半徑為1，設(shè)這個正四棱錐的高為，則斜高為，所以根據(jù)等體積法可得：，解得，所以這個正四棱錐的體積為．故選：．8．已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與的兩條漸近線分別交于、兩點，若以為直徑的圓過點，且為的中點，則的離心率為A． B．2 C． D．解：如圖，因為為的中點，所以，又因為在圓上，所以，故，則，聯(lián)立，解得，，則，整理得：，，即，，．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）某班級有的學(xué)生報名參加了數(shù)學(xué)競賽，的學(xué)生報名參加了物理競賽．報名參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生中，有同時也報名參加了物理競賽．從該班級中隨機抽取一名學(xué)生，記事件為“該學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)競賽”，事件為“該學(xué)生報名參加物理競賽”．則以下說法正確的是A．事件和事件是獨立事件 B． C． D．解：由題意（A），（B），在報名參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生中，同時報名參加物理競賽的概率，所以正確；對于，因為（A），（A）（B），所以（A）（B），所以事件和事件不是獨立事件，故錯誤；對于，，故正確；對于，（A）（B），故正確．故選：．（多選）10．（6分）已知圓，圓，直線，下列結(jié)論正確的是A．若直線與圓相切，則 B．若，則圓上到直線的距離等于的點恰有3個 C．若圓與圓恰有三條公切線，則 D．若為圓上的點，當(dāng)時，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則可能為解：圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑．若直線與圓相切，則到點的距離，解得，可知項正確；若，則直線，可得直線到點的距離，在直線的兩旁各有一條平行線到的距離等于，結(jié)合圓的半徑為1，可知這兩條直線中，有一條直線經(jīng)過點，另一條與圓相切，它們與圓共有3個公共點，因此，圓上到直線的距離等于的點恰有3個，可知項正確；若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓的位置關(guān)系是外切，由，可得，解得，可知項不正確；當(dāng)時，圓，半徑，因為圓上的點到點距離的最小值為，所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，最大時滿足，所以，可得的最大值為鈍角，可知當(dāng)在圓上運動時，可能為，項正確．故選：．（多選）11．（6分）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)，時，．則下列結(jié)論正確的是A． B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)有5個零點解：因為為奇函數(shù)，故，即，令，則（2），又為偶函數(shù)，故，即，所以，所以的一個周期為4，所以，（1），所以，故正確；又，即函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)，時，，當(dāng)時，，所以，即．當(dāng)時，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，故錯誤；因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故正確；函數(shù)的零點個數(shù)，即為與圖象的交點個數(shù)，由題意得與的圖象，如下：當(dāng)時，，當(dāng)時，，又函數(shù)在上是連續(xù)的，所以函數(shù)在上存在1個零點，由此可得與的圖象有5個交點，所以有5個零點，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知為單位向量，，，則5．解：因為為單位向量，，，所以．故答案為：5．13．密位制是一種用于測量角度的單位系統(tǒng)，尤其在軍事領(lǐng)域中被廣泛使用．例如：狙擊手在調(diào)整射擊角度時，可以使用密位制來精確計算目標(biāo)的距離和角度．密位制的基本原理是將一個圓周分為6000等份，每一份稱為1密位．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則最小值的密位數(shù)為．解：函數(shù)，由的圖象向左平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則，；解得，；由，所以的最小值為．故答案為：．14．若函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是．解：的定義域為，，因為有兩個極值點，所以函數(shù)在上有兩個變號零點，令，則，即，所以，令，，所以將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為的圖象和直線的交點問題，求導(dǎo)得，令，，則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（2），則恒成立，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以（1），又因為，；；，則的圖象如圖所示，要使的圖象和直線有兩個交點，由圖象知，即，所以的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列滿足，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．解：（1）證明：數(shù)列滿足，且，可得，即有，可得數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列；（2）由等差數(shù)列的通項公式，可得，即；（3）證明：，數(shù)列的前項和．16．（15分）在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，．動點在線段上滿足，動點在線段上滿足，其中，．（1）當(dāng)時，證明：平面；（2）是否存在，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．解：（1）證明：當(dāng)時，，分別為，的中點，取的中點，連接，，從而為△的中位線，所以，，又底面為菱形，所以，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）存在．以為原點，直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，，則，0，，，0，，，2，，，，4，，所以，，，，因為，，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以，，化簡得，即，所以或（舍，所以存在，使得平面與平面夾角的余弦值為．17．（15分）2025年春節(jié)期間，國產(chǎn)電影《哪吒之魔童鬧?！窇{借其震撼的特效、生動的情節(jié)與深刻的思想，票房一路攀升，成為全球動畫電影票房冠軍．截至2025年3月9日全球票房達(dá)到148.86億元，如圖為某平臺向200名觀眾征集該電影的評分結(jié)果的頻率分布直方圖．（1）求的值；（2）估計這200名觀眾評分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（3）從評分在，和，的觀眾中按照分層抽樣的方法隨機抽取7人進行問卷調(diào)查，再從這7人中隨機抽取3人進行訪談，求被抽到的3人中評分在，的人數(shù)的分布列及期望．解：（1）由題意知，解得；（2）估計這200名觀眾評分的平均數(shù)；（3），中的人數(shù)為人，，中的人數(shù)為人，所以按照分層抽樣的方法隨機抽取的7人中，評分在，的抽?。ㄈ?，評分在，的抽取，被抽取到的3人中評分在，的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3．，，，，所以的分布列為：0123期望．18．（17分）已知函數(shù)，．（1）設(shè)，若的導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：當(dāng)時，函數(shù)圖象上任意一點處的切線總在的圖象的上方；（3）若不等式對任意恒成立，求可取的最大整數(shù)值．解：（1），所以，令，，因為在上單調(diào)遞減，所以對于恒成立，可得對于恒成立，令，則時，，易知在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為．（2）證明：當(dāng)時，，，設(shè)切點為，，則切線方程為，，令，依題意，只需證明即可．，令，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．即在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，則恒成立，即得證．（3）不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，因為，所以不符合題意；當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．設(shè)，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，故可取的最大整數(shù)值為．19．（17分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為．上一點到，的距離之和為4．（1）求的方程；（2）設(shè)的左、右頂點分別為，，若為上異于，的點，直線與直線相交于點，直線與交于另一點，證明直線