專(zhuān)題23.3中位線與位似圖形1.三角形中位線定義(兩邊中點(diǎn)連線)及性質(zhì):平行于第三邊且等于第三邊一半;（重點(diǎn)）2.區(qū)分三角形中位線(兩邊中點(diǎn)連線)與中線(頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)連線)（重點(diǎn)）3.區(qū)分三角形中位線(兩邊中點(diǎn)連線)與中線(頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)連線)（難點(diǎn)）4.動(dòng)態(tài)幾何中，需通過(guò)構(gòu)造中點(diǎn)(如連接對(duì)角線中點(diǎn))創(chuàng)造中位線模型，轉(zhuǎn)化分散條件。（難點(diǎn)）5.混淆“位似”與“相似”:位似是特殊相似(必須共位似中心)，相似不一定位似;（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)1三角形的中位線1.三角形的中位線的定義連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∴DE是的中位線．2.三角形的中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖3.三角形的中位線的應(yīng)用(1)三角形的中位線定理反映了三角形的中位線與第三邊的雙重關(guān)系:一是位置關(guān)系，可以用來(lái)證兩直線平行;二是數(shù)量關(guān)系，可以用來(lái)證線段的倍分關(guān)系(2)中位線具有平移角、倍分轉(zhuǎn)化線段的功能，因此當(dāng)遇到中點(diǎn)或中線時(shí)，應(yīng)考慮構(gòu)造中位線，即我們常說(shuō)的“遇到中點(diǎn)想中位線”;相應(yīng)地，若知道了三角形的中位線，則三角形兩邊的中點(diǎn)即可找到1.一個(gè)三角形有三條中位線；2.三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形；3.三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別:三角形的中線是連結(jié)一頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中位線則是連結(jié)兩邊中點(diǎn)的線段；4.三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.知識(shí)點(diǎn)2三角形的重心1，三角形的重心，三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心2.三角形重心的性質(zhì)三角形的重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的注意:經(jīng)過(guò)三角形頂點(diǎn)和重心的直線必然平分這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.三角形的重心是三角形中每條中線的一個(gè)三等分點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)3位似圖形的定義1.定義，兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在直線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心2.位似與相似的關(guān)系(1)相似僅要求兩個(gè)圖形形狀完全相同，而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在直線相交于一點(diǎn)(2)如果兩個(gè)圖形是位似圖形，那么這兩個(gè)圖形必是相似圖形，但是相似的兩個(gè)圖形不一定是位似圖形，因此位似是相似的特殊情況兩個(gè)位似圖形的位似中心有且只有一個(gè).位似中心可能位于兩個(gè)位似圖形的同側(cè)，也可能位于兩個(gè)位似圖形之間，還可能位于兩個(gè)位似圖形的內(nèi)部邊上或某一頂點(diǎn)處，常見(jiàn)位似圖形的構(gòu)成如圖知識(shí)點(diǎn)4位似圖形的性質(zhì)位似圖形具有的性質(zhì)(1)位似圖形每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在直線必過(guò)位似中心(2)位似圖形任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.(3)位似圖形的對(duì)應(yīng)線段平行(或在一條直線上)(4)兩個(gè)圖形位似，則這兩個(gè)圖形必相似，其周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方利用位似圖形的性質(zhì)，可以把一個(gè)圖形放大或縮小，同時(shí)也可以確定位似中心利用位似圖形的性質(zhì)可以求兩個(gè)位似圖形的相似比知識(shí)點(diǎn)5位似圖形的畫(huà)法畫(huà)位似圖形的步驟(1)確定位似中心(位似中心可以在圖形外部，也可以在圖形內(nèi)部，還可以在圖形的邊上或某一個(gè)頂點(diǎn)處);(2)分別連結(jié)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn);(3)根據(jù)相似比，確定所畫(huà)位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的位置；(4)順次連結(jié)所作各點(diǎn)，可以得到位似圖形位似中心的選取一般考慮使畫(huà)圖方便且符合要求以一點(diǎn)為位似中心畫(huà)位似圖形時(shí)，符合要求的圖形往往不唯一，一般情況下，同一個(gè)位似中心的兩側(cè)各有一個(gè)符合要求的圖形題型一、與三角形中位線有關(guān)的求解問(wèn)題例1（24-25九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，矩形中，，交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．16 B． C． D．1-1（24-25九年級(jí)上·廣西桂林·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)D，若是的中位線，的面積為3，則k的值為（

）A． B． C．6 D．121-2（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖，點(diǎn)是的重心，連接交于，則．1-3（24-25九年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）如圖，在矩形中，，，R和P分別是，上的點(diǎn)，E和F分別是，的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，時(shí)，線段的長(zhǎng)是．

1-4（24-25九年級(jí)上·北京通州·期中）如圖，點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且．連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．若，求線段的長(zhǎng)．題型二、與三角形中位線有關(guān)的證明例2（24-25九年級(jí)上·河南平頂山·期中）順次連接下面四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的新四邊形不是矩形的是（

）A．矩形 B．正方形C．菱形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊形2-1（24-25九年級(jí)上·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形邊的中點(diǎn)，要使四邊形為矩形，應(yīng)添加的條件是（

）A． B． C． D．2-2（24-25九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）若四邊形的兩條對(duì)角線和相等，則順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)得到四邊形為．2-3（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形的邊，，，的中點(diǎn)，連接四邊形各邊中點(diǎn)，當(dāng)四邊形滿足條件，四邊形是矩形．題型三、三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用例3（24-25九年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）如圖，D、E、F分別是三邊中點(diǎn)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若四邊形是矩形，，，求的長(zhǎng)．3-1（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖是人字梯及其側(cè)面示意圖，，為支撐架，為拉桿，D，E分別是，的中點(diǎn)，若，則B，C兩點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．3-2（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)，間的距離，在地面上確定點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，量得，則，之間的距離是（

）A． B． C． D．3-3（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）為了倡導(dǎo)全民健身，某小區(qū)在公共活動(dòng)區(qū)域安裝了健身器材，其中蹺蹺板很受歡迎．如圖，點(diǎn)O為蹺蹺板的中點(diǎn)，支柱垂直于地面，垂足為C，．當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時(shí)，另一端B離地面的高度為（

）A． B． C． D．3-4（24-25九年級(jí)上·河南周口·期中）如圖，為了測(cè)量池塘邊A、B兩地之間的距離，在的同側(cè)取一點(diǎn)C，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，．若測(cè)得，則A，B間的距離是．3-5（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期中）要測(cè)池塘，兩地的距離，小明想出一個(gè)方法：如圖，在池塘外取點(diǎn)，得到線段，，并取，的中點(diǎn)，，連接，測(cè)得米，則．題型四、位似圖形的識(shí)別例4（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在三角形外取一點(diǎn)O，連接并取它們的中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，得三角形，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①與位似；②與周長(zhǎng)比為；③與面積比為；④與是相似圖形．A．1 B．2 C．3 D．44-1（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）下列圖形中不是位似圖形的是（

）A． B．C． D．4-2（23-24九年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖為用杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物蓮蓮所作的圖形改變，這種圖形改變屬于（

）

A．平移 B．位似 C．旋轉(zhuǎn) D．軸對(duì)稱(chēng)題型五、判斷位似中心例5（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形是等腰三角形，，三角形與三角形是位似圖形，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)和坐標(biāo)分別是，則位似中心坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5-1（24-25九年級(jí)上·湖南郴州·期中）下列圖中的兩個(gè)菱形是位似圖形，它們的位似中心是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)5-2（24-25九年級(jí)上·河南開(kāi)封·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則位似中心的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5-3（24-25九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期末）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的與位似，則位似中心是（

）A．點(diǎn)R B．點(diǎn)P C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)O5-4（24-25九年級(jí)上·河北唐山·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，與（其頂點(diǎn)都在該網(wǎng)格的格點(diǎn)上）是位似三角形．若取格點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形的位似中心是（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)題型六、位似圖形相關(guān)概念辨析例6（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，且的面積是面積的9倍，則（

）A． B． C． D．6-1（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期中）下列命題為真命題的是（）A．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形B．每條線段只有一個(gè)黃金分割點(diǎn)C．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似D．位似圖形一定是相似圖形6-2（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，與位似，位似中心為點(diǎn)O，，的面積為18，則面積為．6-3（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，以點(diǎn)為位似中心，把放大為原來(lái)的2倍得到．以下說(shuō)法正確的是．（填序號(hào)）①；②；③點(diǎn)、、在同一條直線上；④．6-4（23-24九年級(jí)上·江西·期末）如圖，與是位似圖形，相似比為，，則的長(zhǎng)為．題型七、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合例7（24-25九年級(jí)上·重慶合川·期中）如圖，與是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，位似比為，若的周長(zhǎng)為4，則的周長(zhǎng)等于（

）A．6 B．8 C．9 D．127-1（24-25九年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，與是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，，的周長(zhǎng)為12，的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．18 C．27 D．487-2（24-25九年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期中）與是位似圖形，且與的位似比是，已知的周長(zhǎng)是9，則的周長(zhǎng)是．7-3（24-25九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）如圖與位似，位似中心為點(diǎn)，位似比為，則的比值為．7-4（24-25九年級(jí)上·湖南婁底·期中）如圖，與是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，．若，則的長(zhǎng)是．題型八、畫(huà)已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形例8（24-25九年級(jí)上·甘肅張掖·階段練習(xí)）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，作與的相似比為的位似圖形，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能為（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)8-1（24-25九年級(jí)上·甘肅張掖·期末）如圖1，以O(shè)為位似中心，作出的位似，使與的相似比為．圖2和圖3分別為珍珍和明明的作法，兩人的作法中均保證，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有珍珍的作法正確 B．只有明明的作法正確C．兩個(gè)人的作法都正確 D．兩個(gè)人的作法都不正確8-2（23-24九年級(jí)上·河北保定·期末）如圖1，以O(shè)為位似中心，作出的位似，使與的位似比為2：1．圖2和圖3分別為珍珍和明明的作法，兩人的作法均保證，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有珍珍正確 B．只有明明正確 C．兩個(gè)人都正確 D．兩個(gè)人都不正確8-3（23-24九年級(jí)上·河北承德·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，以A為位似中心，把放大到原來(lái)的2倍，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能為（

）

A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)G D．點(diǎn)F8-4（23-24九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，把縮小到原來(lái)的倍，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（

）A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G易錯(cuò)點(diǎn)1混淆三角形中位線與中線例1如圖，在中，，，，平面上有一點(diǎn)，連接，，若，取的中點(diǎn)．連接，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形的中位線定理，三角形三邊之間的關(guān)系．取的中點(diǎn)N，連接，則，根據(jù)勾股定理求出，由三角形的中位線定理得出，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得出，當(dāng)點(diǎn)B、M、N在同一直線上時(shí)，取最大值，即可求解．【詳解】解：取的中點(diǎn)N，連接，∵點(diǎn)N為中點(diǎn)，，∴，∵在中，，，∴，∵點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)N為中點(diǎn)，，∴，∴在中，，即，當(dāng)點(diǎn)B、M、N在同一直線上時(shí)，，此時(shí)取最大值，易錯(cuò)點(diǎn)2定義辨析題(混淆位似與相似)例2下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)（

）①位似圖形都相似:②兩個(gè)等邊三角形一定是位似圖形；③兩個(gè)相似多邊形的面積比為5:9．則周長(zhǎng)的比為5:9；④兩個(gè)大小不相等的圓一定是位似圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的定義（如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．）分別對(duì)①②④進(jìn)行判斷，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，周長(zhǎng)比等于相似比對(duì)③進(jìn)行判斷．【詳解】解：①位似圖形都相似，故該選項(xiàng)正確；②兩個(gè)等邊三角形不一定是位似圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；③兩個(gè)相似多邊形的面積比為5:9．則周長(zhǎng)的比為，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；④兩個(gè)大小不相等的圓一定是位似圖形，故該選項(xiàng)正確．正確的是①和④，有兩個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形、相似多邊形性質(zhì)，掌握位似圖形的定義、相似多邊形的性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．1．如圖，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，平分交邊于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，、分別為、邊上的中線，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．3．2023年7月28日第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都東安湖體育公園開(kāi)幕．如圖，貝貝想測(cè)量東安湖A，B兩點(diǎn)間的距離，他在東安湖的一側(cè)選取一點(diǎn)O，分別取的中點(diǎn)M，N，但M，N之間被障礙