3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系（課時1）第三章函數(shù)人教B版（2019）素養(yǎng)目錄02理解二次函數(shù)的零點；01了解函數(shù)的零點；03理解三個二次之間的關(guān)系.探究新知【嘗試與發(fā)現(xiàn)】已知函數(shù)

f

(x)

＝x－1，我們知道，這個函數(shù)的定義域為____，而且可以求出，方程

f

(x)

＝0的解集為______，不等式

f

(x)＞0的解集為_______，不等式

f

(x)＜0的解集為_______.R{1}(1,＋∞)(-∞,1)在右圖中作出函數(shù)

f

(x)＝x－1的圖象，總結(jié)上述方程、不等式的解集與函數(shù)定義域、函數(shù)圖象之間的關(guān)系．Oxy11探究新知由嘗試與發(fā)現(xiàn)中的例子可以看出，根據(jù)函數(shù)值的符號能夠把函數(shù)的定義域分為幾個不相交的集合.具體來說，假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若A={x

∈

D|

f(x)＜0}，B={x

∈

D|

f(x)=0}，C={x

∈

D|

f(x)>0}，顯然，A，B，C兩兩的交集都為空集，且

D=A∪B∪C.函數(shù)零點的概念一般地，如果函數(shù)

y＝f(x)在實數(shù)

α

處的函數(shù)值等于零，即

f(α)＝0，則稱α為函數(shù)

y＝f(x)的零點．上述集合

B就是函數(shù)所有零點組成的集合．探究新知【注意】(1)

函數(shù)的零點是一個實數(shù)，而不是一個點.例如，函數(shù)

f

(x)＝x＋1

的零點是－1，而不是(－1，0)(2)

并不是所有的函數(shù)都有零點.例如，

y＝1

，y＝x2＋1

就沒有零點(3)

若函數(shù)有零點，則零點一定在函數(shù)的定義域內(nèi).探究新知α是函數(shù)

f

(x)

零點的充分必要條件是，(α,0)是函數(shù)圖象與

x軸的公共點.因此，由函數(shù)的圖象可以方便地看出函數(shù)值等于0的方程的解集，以及函數(shù)值與0比較相對大小的不等式的解集.探究新知例1

如圖所示是函數(shù)

y=f(x)的圖象，分別寫出

f(x)=0，

f(x)>0，

f(x)≤0的解集.探究新知解：由圖可知，

f(x)＝0

的解集為{－5

,－3

,－1

,2

,4

,6}

f(x)＞0的解集為(－5

,－3)∪(2

,4)∪(4

,6)f(x)≤0

的解集為[－6,－5]∪[－3,2]∪{4,6}探究新知依照零點的定義可知，求函數(shù)

y=f(x)的零點，實質(zhì)上就是要解方程

f(x)=0

，而且只要得到了這個方程的解集，就可以知道函數(shù)圖象與

x

軸的交點

再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)等，就能得到類似

f(x)＞0等不等式的解集探究新知我們已經(jīng)知道怎樣求解一元二次方程，而且也知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，因此可以借助二次函數(shù)的圖象得到一元二次不等式的解集.探究新知例2利用函數(shù)求下列不等式的解集：（1）x2－x－6<0；

（2）

x2－x－6≥0.探究新知解：設(shè)

f(x)=x2－x－6，令

f(x)=0，得

x2－x－6=0，即(x－3)(x+2)=0，從而

x=3或

x=－2.因此，3和－2都是函數(shù)

f(x)的零點，從而

f(x)的圖象與

x軸相交于(3,0)和(－2,0)，又因為函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，所以可以作出函數(shù)圖象的示意圖，如圖所示.由圖可知：（1）所求解集為(－2,3)；（2）所求解集為(－∞,－2]∪[3,＋∞).探究新知例3利用函數(shù)求下列不等式的解集：（1）－x2－2x－3≥0；

（2）－x2－2x－3<0.探究新知解：設(shè)

f(x)=－x2－2x－3，令

f(x)=0，得

x2+2x+3=0，即(x+1)2=－2，該方程無解.因此函數(shù)

f(x)

無零點，從而f

(x)

的圖象與

x

軸沒有交點，又因為函數(shù)圖象是開口向下的拋物線，所以可以作出函數(shù)圖象的示意圖，如圖所示.由圖可知：（1）所求解集為?；（2）所求解集為R.探究新知例4利用函數(shù)求下列不等式的解集：(1)x2－4x＋4>0； (2)x2－4x＋4≤0．解：設(shè)

f(x)=x2－4x＋4，令

f(x)=0，得

x2－4x＋4=0，即(x－2)2=0，從而

x=2.因此，函數(shù)

f(x)的零點為2，從而

f(x)的圖象與

x

軸相交于(2，0)，又因為函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，所以可知：（1）所求解集為(－∞,2)∪(2,+∞)；（2）所求解集為{2}.一般地，由一元二次方程解集的情況可知，對于二次函數(shù)

f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)；（1）當(dāng)?=b2－4ac>0時，方程ax2＋bx＋c=0的解集中有兩個元素x1，x2，且x1，x2是f

(x)的兩個零點，f

(x)的圖象與

x

軸有兩個公共點

(x1,0)，(x2,0)；二次函數(shù)的零點及其與對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系二次函數(shù)的零點及其與對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系（2）當(dāng)?=b2－4ac=0時，方程ax2＋bx＋c=0的解集中只有一個元素

x0，且

x0是

f

(x)唯一的零點，f

(x)的圖象與x軸有一個公共點(x0,0)；（3）當(dāng)?=b2－4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c=0沒有實數(shù)根，此時

f

(x)無零點，f

(x)的圖象與

x

軸沒有公共點.探究新知例5求函數(shù)

f(x)=(x+2)(x+1)(x－1)的零點，并作出函數(shù)圖象的示意圖，寫出不等式f(x)>0和

f(x)≤0的解集.解：函數(shù)零點為－2，－1，1.函數(shù)的定義域被這三個點劃分了四個區(qū)間，每個區(qū)間函數(shù)值的符號如下表所示.x(－∞，－2)(－2，－1)(－1，1)(1，＋∞)

f(x)－＋－＋探究新知例5求函數(shù)

f(x)=(x+2)(x+1)(x－1)的零點，并作出函數(shù)圖象的示意圖，寫出不等式f(x)>0和

f(x)≤0的解集.由此可以畫出函數(shù)圖