章末總結(jié)一、簡諧運動的圖像及作用簡諧運動的圖像描述了振動質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律．從圖像中可以確定位移、速度、加速度、動能和勢能等物理量以及它們的變化規(guī)律．例1(多選)如圖1所示，下列說法正確的是()圖1A．振動圖像上的A、B兩點振動物體的速度相同B．在t＝0.1s和t＝0.3s時，質(zhì)點的加速度大小相等，方向相反C．振動圖像上A、B兩點的速度大小相等，方向相反D．質(zhì)點在t＝0.2s和t＝0.3s時的動能相等答案BC解析A、B兩點位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此A錯，C對．在t＝0.1s和t＝0.3s時，質(zhì)點離開平衡位置的位移最大，方向相反，由F＝－kx，a＝－eq\f(kx,m)可知B對．t＝0.2s時，物體通過平衡位置，速度最大，動能最大，而t＝0.3s時，物體在最大位移處，速度為零，動能最小，故D錯．二、簡諧運動的周期性和對稱性1．周期性做簡諧運動的物體在完成一次全振動后，再次振動時則是重復(fù)上一個全振動的形式，所以做簡諧運動的物體具有周期性．做簡諧運動的物體經(jīng)過同一位置可以對應(yīng)不同的時刻，物體的位移相同而速度可能等大反向，這樣就形成簡諧運動的多解問題．2．對稱性(1)速率的對稱性：系統(tǒng)在關(guān)于平衡位置對稱的兩位置具有相等的速率．(2)加速度和回復(fù)力的對稱性：系統(tǒng)在關(guān)于平衡位置對稱的兩位置具有等大反向的加速度和回復(fù)力．(3)時間的對稱性：系統(tǒng)通過關(guān)于平衡位置對稱的兩段位移的時間相等．振動過程中通過任意兩點A、B的時間與逆向通過的時間相等．例2物體做簡諧運動，通過A點時的速度為v，經(jīng)過1s后物體第一次以相同速度v通過B點，再經(jīng)過1s物體緊接著又通過B點，已知物體在2s內(nèi)所走過的總路程為12cm，則該簡諧運動的周期和振幅分別是多大？答案T＝4s，A＝6cm或T＝eq\f(4,3)s，A＝2cm解析物體通過A點和B點時的速度大小相等，A、B兩點一定關(guān)于平衡位置O對稱．依題意作出物體的振動路徑草圖如圖甲、乙所示，在圖甲中物體從A向右運動到B，即圖中從1運動到2，時間為1s，從2運動到3，又經(jīng)過1s，從1到3共經(jīng)歷了0.5T，即0.5T＝2s，T＝4s,2A＝12cm，A＝6cm.在圖乙中，物體從A先向左運動，當(dāng)物體第一次以相同的速度通過B點時，即圖中從1運動到2時，時間為1s，從2運動到3，又經(jīng)過1s，同樣A、B兩點關(guān)于O點對稱，從圖中可以看出從1運動到3共經(jīng)歷了1.5T，即1.5T＝2s，T＝eq\f(4,3)s，1.5×4A＝12cm，A＝2cm.針對訓(xùn)練(多選)一個彈簧振子的振幅是A，若在Δt時間內(nèi)物體運動的路程是s，則下列關(guān)系中可能正確的是(包括一定正確的)()A．Δt＝2T，s＝8A B．Δt＝eq\f(T,2)，s＝2AC．Δt＝eq\f(T,4)，s＝2A D．Δt＝eq\f(T,4)，s＞A答案ABD三、單擺周期公式的應(yīng)用單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))是在當(dāng)單擺的最大偏角小于5°，單擺的振動是簡諧運動的條件下才適用的，單擺的周期與振幅無關(guān)，與質(zhì)量也無關(guān)，只與擺長和重力加速度有關(guān)．另外由公式的變形式g＝eq\f(4π2l,T2)還可以測重力加速度．例3一個擺長為l1的單擺，在地面上做簡諧運動，周期為T1，已知地球質(zhì)量為M1，半徑為R1.另一擺長為l2的單擺，在質(zhì)量為M2，半徑為R2的星球表面做簡諧運動，周期為T2.若T1＝2T2，l1＝4l2，M1＝4M2，則地球半徑與星球半徑之比R1∶R2為()A．2∶1 B．2∶3C．1∶2 D．3∶2答案A解析在地球表面單擺的周期T1＝2πeq\r(\f(l1,g)). ①在星球表面單擺的周期T2＝2πeq\r(\f(l2,g′)). ②又因為eq\f(GM1,R\o\al(2,1))＝g， ③Geq\f(M2,R\o\al(2,2))＝g′ ④由①②③④聯(lián)立得eq\f(R1,R2)＝eq\r(\f(M1,M2))·eq\r(\f(l2,l1))·eq\f(T1,T2)＝eq\f(2,1)1．一質(zhì)點做簡諧運動的圖像如圖2所示，下列說法正確的是()圖2A．質(zhì)點振動頻率是4HzB．在10s內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的路程是20cmC．第4s末質(zhì)點的速度為零D．在t＝1s和t＝3s兩時刻，質(zhì)點位移大小相等，方向相同答案B解析振動圖像表示質(zhì)點在不同時刻相對平衡位置的位移，由題圖可看出，質(zhì)點運動的周期T＝4s，其頻率f＝eq\f(1,T)＝0.25Hz，A錯誤；10s內(nèi)質(zhì)點運動了eq\f(5,2)T，其運動路程為s＝eq\f(5,2)T×4A＝eq\f(5,2)×4×2cm＝20cm，B正確；第4s末質(zhì)點在平衡位置，其速度最大，C錯；t＝1s和t＝3s兩時刻，由題圖可看出，位移大小相等，方向相反，D錯．2．(多選)關(guān)于簡諧運動的周期，下列說法正確的是()A．間隔一個周期的兩個時刻，物體的振動情況完全相同B．間隔半個周期奇數(shù)倍的兩個時刻，物體的速度和加速度可能同時相同C．半個周期內(nèi)物體動能的變化一定為零D．一個周期內(nèi)物體勢能的變化一定為零答案ACD解析根據(jù)周期的意義知，物體完成一次全振動，所有的物理量都恢復(fù)到初始狀態(tài)，所以A、D正確；當(dāng)間隔半個周期的奇數(shù)倍時，所有的矢量都變得大小相等、方向相反，故B選項錯誤；由于間隔半個周期各矢量大小相等，所以物體的動能必定相等，沒有變化，所以C也正確．3．站在升降機里的人發(fā)現(xiàn)，升降機中擺動的單擺周期變大，以下說法正確的是()A．升降機可能加速上升B．升降機一定加速上升C．升降機可能加速下降D．升降機一定加速下降答案C解析由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))知，周期變大，則等效重力加速度g′變小，故升降機的加速度方向向下，故可能加速下降，也可能減速上升，故選項C正確．4．光滑水平面上的彈簧振子，質(zhì)量為50g，在彈簧振子被拉到最大位移處釋放并開始計時，在t＝0.2s時，振子第一次通過平衡位置，此時速度為4m/s.則在t＝1.2s末，彈簧的彈性勢能為________J，該彈簧振子做簡諧運動時其動能的變化頻率為________Hz,1min內(nèi)，彈簧彈力對彈簧振子做正功的次數(shù)為________次．答案0.42.5150解析根據(jù)其周期性及對稱性，則有周期T＝0.8s，振子的最大速度為4m/s，則最大動能Ekmax＝eq\f(1,2)mv2＝0.4J；根據(jù)振子振動的周期性判定在t＝1.2s末，振子在最大位移處，據(jù)機械能守恒有Ep＝Ekmax＝0.4J，物體的振動周期為0.8s，則其動能的變化周期為eq\f(T,2)＝0.4s，所以動能的變化頻率為2.5Hz；在物體振動的1個周期內(nèi)(向平衡位置運動時彈力做正功)，彈力兩次做正功，根據(jù)其周期性可求得1min內(nèi)彈力做正功的次數(shù)為n＝eq\f(60,0.8)×2次＝150次．5．一個擺長為2m的單擺，在地球上某處振動時，測得完成100次全振動所用的時間為284s.(1)求當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭；(2)把該單擺拿到月球上去，已知月球上的重力加速度是1.60m/s2，則該單擺的振動周期是多少？答案(1)9.78m/s2(2)7.02s解析(1)周期T＝eq\f(t,