2025年統(tǒng)計學期末考試：統(tǒng)計與決策實踐操作試題解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內）1.一家工廠生產某種零件，為了解零件的長度是否符合標準，應該采用哪種抽樣方法更合適？A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣2.已知一個樣本的樣本容量為n=36，樣本均值為$\bar{x}=50$，樣本標準差s=8。若要構造總體均值$\mu$的95%置信區(qū)間，應使用的分布是？A.t分布B.標準正態(tài)分布ZC.卡方分布D.F分布3.在假設檢驗中，犯第一類錯誤（TypeIError）指的是？A.處理了實際上是正確的零假設B.沒有處理實際上是錯誤的零假設C.處理了實際上是錯誤的零假設D.沒有處理實際上是正確的零假設4.對于兩個相互獨立的正態(tài)分布總體X和Y，其均值分別為$\mu_X$和$\mu_Y$，方差分別為$\sigma_X^2$和$\sigma_Y^2$（$\sigma_X^2$和$\sigma_Y^2$已知）。要檢驗$\mu_X$是否顯著大于$\mu_Y$，應選擇哪種假設檢驗？A.單樣本t檢驗B.雙樣本t檢驗（未知方差相等）C.雙樣本Z檢驗（已知方差）D.單樣本Z檢驗5.如果兩個變量X和Y的散點圖呈現(xiàn)出從左下角到右上角向上傾斜的明顯趨勢，這表明它們之間存在？A.負相關關系B.正相關關系C.無相關關系D.不確定相關關系6.在簡單線性回歸分析中，回歸系數(shù)$\beta_1$表示？A.當自變量X增加一個單位時，因變量Y的均值增加的數(shù)量B.當因變量Y增加一個單位時，自變量X的均值增加的數(shù)量C.因變量Y的總體方差D.自變量X的總體均值7.已知某公司員工的月工資數(shù)據(jù)呈右偏（positivelyskewed）分布，那么該分布的均值、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關系通常是？A.均值>中位數(shù)>眾數(shù)B.均值<中位數(shù)<眾數(shù)C.均值=中位數(shù)=眾數(shù)D.眾數(shù)>中位數(shù)>均值8.在方差分析（ANOVA）中，檢驗因素A對結果是否有顯著影響，實際上是在比較？A.因素A不同水平下樣本均值之間的差異B.因素A不同水平下樣本方差之間的差異C.總體均值是否相等D.總體方差是否相等9.一項調查問卷發(fā)放給1000名潛在消費者，回收有效問卷750份。樣本回收率為？A.75%B.85%C.125%D.8.5%10.已知一組樣本數(shù)據(jù)：3,7,7,9,10。該樣本的極差（Range）和方差（Variance）分別是？A.7,9.7B.7,9.17C.8,9.7D.8,9.17二、計算題（共60分）11.（10分）某班級50名學生參加一次統(tǒng)計學考試，已知考試成績的樣本均值$\bar{x}=82$分，樣本標準差s=12分。請計算：a.該班級考試成績的樣本方差。b.根據(jù)樣本信息，估計該班級學生考試成績的標準差（總體標準差$\sigma$）的90%置信區(qū)間。（假設數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布）12.（10分）一位零售商想檢驗新的促銷策略是否顯著提高了產品的銷量。他隨機選取了10周作為樣本，在這10周內采用了新策略。每周的銷量數(shù)據(jù)（單位：件）如下：45,52,49,57,60,48,53,59,61,56。假設銷量數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布。a.檢驗新促銷策略是否顯著提高了銷量（即檢驗銷量均值是否大于采用新策略前的均值50件）。請完成假設檢驗的步驟，包括提出假設、計算檢驗統(tǒng)計量、查找P值（或臨界值）、做出決策，并解釋你的結論。（顯著性水平$\alpha=0.05$）b.計算該10周銷量的樣本均值和樣本標準差。13.（10分）一家保險公司想比較兩種不同的營銷渠道（渠道A和渠道B）對新客戶簽約數(shù)量的影響。他們隨機選取了20名銷售員，其中10名被分配到渠道A，另外10名被分配到渠道B。在一個月內，這兩個渠道帶來的新客戶簽約數(shù)量（單位：個）如下：渠道A：15,18,20,22,16,19,21,17,14,23渠道B：12,10,8,14,11,13,15,9,16,10假設兩個渠道的新客戶簽約數(shù)量均服從正態(tài)分布，且方差相等。a.檢驗兩種營銷渠道帶來的新客戶簽約數(shù)量的均值是否存在顯著差異。請完成假設檢驗的步驟。（顯著性水平$\alpha=0.10$）b.計算兩個渠道簽約數(shù)量的樣本均值和樣本方差。14.（15分）某研究想探究廣告觀看時長（X，單位：分鐘）與產品購買意愿（Y，用0-100的評分表示）之間的關系。隨機抽取了15位消費者，收集到的數(shù)據(jù)如下表所示（此處不展示表格，假設數(shù)據(jù)已給出）。a.計算X和Y之間的樣本相關系數(shù)r。b.建立Y對X的簡單線性回歸方程$\hat{Y}=b_0+b_1X$。c.解釋回歸系數(shù)$b_1$的實際意義。d.當某消費者觀看廣告時長為8分鐘時，預測其購買意愿評分（請給出預測值和相應的置信區(qū)間，置信水平例如95%）。假設Y服從正態(tài)分布。15.（15分）一家快餐連鎖店想要了解其三種不同套餐（套餐A、套餐B、套餐C）的受歡迎程度是否存在差異。他們對50名顧客進行調查，詢問他們最喜歡哪種套餐。調查結果如下表所示（此處不展示表格，假設數(shù)據(jù)已給出，例如使用頻數(shù)或比例形式）。a.請說明使用哪種統(tǒng)計方法檢驗三種套餐的受歡迎程度是否存在顯著差異，并說明理由。b.假設你選擇了合適的統(tǒng)計方法，并且得到了檢驗的結果（例如，P值或F統(tǒng)計量）。請解釋如何根據(jù)這個結果來判斷三種套餐的受歡迎程度是否存在顯著差異。（例如，說明在顯著性水平$\alpha=0.05$下應如何決策）三、實踐操作題（共20分）16.某制造企業(yè)生產一種零件，關心溫度（以X表示，單位：℃）是否會影響零件的重量（以Y表示，單位：克）。他們收集了20組零件的生產數(shù)據(jù)（此處不展示數(shù)據(jù)表格）。數(shù)據(jù)初步整理顯示，Y大致服從正態(tài)分布。a.請問為了檢驗溫度X對零件重量Y是否有顯著影響，你建議使用哪種統(tǒng)計方法？簡述該方法的基本思想。b.假設你使用統(tǒng)計軟件（如Excel,SPSS等）對這些數(shù)據(jù)進行了分析，得到了如下部分輸出結果（僅示意性描述，非實際輸出）：“回歸分析顯示，模型整體顯著（F統(tǒng)計量對應的P值=0.03），溫度X對零件重量Y的解釋程度為65%(R2=0.65)，溫度系數(shù)估計為2.5，其P值為0.01?！闭埥忉屵@些輸出結果意味著什么？c.基于以上分析結果，對該企業(yè)提出關于溫度控制與管理、以影響零件重量的建議。---試卷答案一、選擇題1.C解析：分層抽樣能確保不同層次個體的代表性，更適用于生產過程中可能存在不同班組或不同時間段產品質量差異的情況。2.B解析：樣本量n=36大于30，且總體標準差未知，但可認為近似正態(tài)分布，應使用Z分布。3.A解析：第一類錯誤是指拒絕了實際上為真的零假設。4.C解析：已知兩個獨立正態(tài)總體的方差，應使用Z檢驗比較均值差異。5.B解析：散點圖從左下角到右上角向上傾斜，表示兩個變量之間存在正相關關系。6.A解析：簡單線性回歸中，$\beta_1$表示自變量X每增加一個單位，因變量Y的均值變化量。7.A解析：右偏分布意味著大部分數(shù)據(jù)集中在低值區(qū)域，少數(shù)高值拉高均值，故均值>中位數(shù)>眾數(shù)。8.A解析：ANOVA通過比較不同水平下樣本均值的差異，來判斷因素對結果的影響是否顯著。9.A解析：樣本回收率=(有效問卷數(shù)/總發(fā)放數(shù))*100%=(750/1000)*100%=75%。10.D解析：極差=最大值-最小值=10-3=7。方差=[(3-8.2)2+(7-8.2)2+(7-8.2)2+(9-8.2)2+(10-8.2)2]/(5-1)=[28.24+1.44+1.44+0.64+3.24]/4=34.8/4=8.7。注意題目選項可能有誤，通常8.7更接近8.7，但最接近選項為D。二、計算題11.a.樣本方差$s^2=12^2=144$。b.90%置信區(qū)間需要t分布。自由度df=n-1=49。查t表得$t_{0.05,49}\approx1.676$。置信區(qū)間=$\bar{x}\pmt_{\alpha/2,df}\cdot(s/\sqrt{n})=82\pm1.676\cdot(12/\sqrt{50})=82\pm1.676\cdot1.697=82\pm2.87$。區(qū)間約為(79.13,84.87)。12.a.H?:$\mu\leq50$,H?:$\mu>50$(單尾檢驗)。$\alpha=0.05$。樣本均值$\bar{x}=(45+52+...+56)/10=53.2$。樣本標準差$s\approx\sqrt{[...]/9}\approx4.98$。檢驗統(tǒng)計量$t=(\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n})=(53.2-50)/(4.98/3.162)\approx3.2/1.58\approx2.02$。查t表得$t_{0.05,9}\approx1.833$。由于$t=2.02>1.833$，或P值小于0.05（通過軟件計算得到P值約為0.035），拒絕H?。結論：有顯著證據(jù)表明新策略提高了銷量。b.樣本均值$\bar{x}\approx53.2$。樣本標準差$s\approx4.98$。13.a.H?:$\mu_A\leq\mu_B$,H?:$\mu_A>\mu_B$(單尾檢驗，或H?:$\mu_A=\mu_B$,H?:$\mu_A\neq\mu_B$，但題目問“是否存在顯著差異”，通常用雙尾)。$\alpha=0.10$。合并方差$s_p^2=[(9*19.33+9*16.22)/(10+10-2)]\approx17.775$。合并標準差$s_p\approx4.22$。檢驗統(tǒng)計量$t=(\bar{x}_A-\bar{x}_B)/(s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2})=(18.1-11.7)/(4.22\sqrt{1/10+1/10})=6.4/(4.22*0.4472)\approx6.4/1.88\approx3.41$。自由度df=18。查t表得$t_{0.05,18}\approx1.734$（單尾）或$t_{0.10,18}\approx1.734$（雙尾的臨界值）。由于$t=3.41>1.734$，拒絕H?（若為雙尾，則看是否>|t|）。結論：兩種渠道的均值存在顯著差異（若為單尾，則渠道A顯著高于渠道B）。b.渠道A：$\bar{x}_A=18.1$,$s_A^2\approx19.33$。渠道B：$\bar{x}_B=11.7$,$s_B^2\approx16.22$。14.a.r=[Σ(xi-$\bar{x}$)(yi-$\bar{y}$)]/[√(Σ(xi-$\bar{x}$)2)√(Σ(yi-$\bar{y}$)2)]。假設計算結果為r=0.75。b.假設計算得到的線性回歸方程為$\hat{Y}=10+5X$。即$b_0=10$,$b_1=5$。c.$b_1=5$表示，廣告觀看時長X每增加1分鐘，預計產品購買意愿評分Y將平均增加5分。d.預測值$\hat{Y}=10+5\times8=50$。假設計算得到的預測標準誤差為SE_pred，以及X=8時的t值$t_{8}$，則95%置信區(qū)間為$\hat{Y}\pmt_{8}\cdotSE_{pred}$。例如，若SE_pred=3，df=13，查t表得$t_{0.025,13}\approx2.160$。區(qū)間為$50\pm2.160\times3=50\pm6.48$，即(43.52,56.48)。15.a.應使用單因素方差分析（One-wayANOVA）。理由是檢驗一個分類自變量（套餐類型）對一個連續(xù)因變量（受歡迎程度評分）的影響是否顯著。b.假設檢驗結果為P值=0.03<$\alpha=0.05$。決策：拒絕H?。結論：至少有兩種套餐的受歡迎程度存在顯著差異。三、實踐操作題16.a.建議使用簡單線性回歸分析?；舅枷胧峭ㄟ^擬合Y對X