專題10立體幾何中的角度、距離、體積問題【考點預測】考點一：求點線、點面、線面距離的方法（1）若P是平面外一點，a是平面內(nèi)的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點到直線a的距離（如圖所示）．（2）一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離．（3）求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來求解．②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解．③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解．考點二：異面直線所成角的常用方法求異面直線所成角的一般步驟：（1）找（或作出）異面直線所成的角——用平移法，若題設中有中點，?？紤]中位線．（2）求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．考點三：直線與平面所成角的常用方法求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟（1）確定斜線與平面的交點（斜足）；（2）通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；（3）求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形．考點四：作二面角的三種常用方法（1）定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則∠AOB為二面角αlβ的平面角．（2）垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角αlβ的平面角．考點五：求體積的常用方法選擇合適的底面，再利用體積公式求解．【典型例題】【答案】C故選：CA．直線與所成的角為60°B．直線與所成的角為60°【答案】AD由∥，所以直線與所成的角為直線與所成的角，故選：AD例3．（2023春·全國·高一專題練習）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長為米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長為6米 B．側(cè)棱與底面所成角的余弦值為【答案】AD故選：AD.例4．（2023春·全國·高一專題練習）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD所成角的大小為60°，則A1C1到底面ABCD的距離為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】由題意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1與底面ABCD所成的角，則∠B1AB＝60°，因為正四棱柱ABCDA1B1C1D1底面邊長為1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)棱長為.又因為A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距離為A1A＝.故選：D.【解析】（1）連接交于，連接，（2）∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAB，∴平面PAB⊥底面ABCD，且它們的交線是AB，在底面ABCD內(nèi)，過點C作CF⊥AB，垂足為點F，則：CF⊥平面PAB，故是線段上靠近點的三等分點．（2）取的中點，連接，如圖所示：【過關測試】一、單選題A． B． C． D．【答案】C故選:C.【答案】B故選：B．【答案】C設正方體棱長為，故選：C.【答案】A故選：A【答案】C【解析】連接BD交于，四邊形ABCD為正方形，則為中點，故選：CA． B． C． D．【答案】A故選：A【答案】A【解析】過C向AB做垂線交AB于F，連接DF，如圖，故選：A二、多選題C．若PA=1，則異面直線PE與BC所成角的余弦值為【答案】BC【解析】連接，如圖，故選：BC【答案】BC故選：BC.三、填空題【答案】∴上下底面為正方形，∴與所形成的角為，即，故答案為：.【答案】故答案為：.四、解答題(1)若直線與直線相交于點，證明，，三點共線；由于直線與直線相交于點，所以，，三點共線.（2）連接，作的中點，并連接，，如圖所示：故異面直線與所成的角的余弦值.(2)若M是BC的中點，求異面直線PM與AB所成角的大?。?）取棱的中點，連接，，，分別是棱，的中點，(2)求異面直線與所成角的正切值；【解析】（1）分別取AB，BC的中點M，N，連接MN，NE，則平面MNE//平面PAC所以ME//AP，同理，NE//PC，所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC（2）連接，，設四棱錐的底面邊長為，（3）存在點F符合題意，且AF=AD，所以QE⊥平面ABCD，因為BC平面ABCD，所以QE⊥BC,所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF18．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角.【解析】（1）∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是.（2）連接A1C1交B1D1于點O，連接BO.