2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：抽樣調(diào)查方法與整群抽樣設(shè)計(jì)全真模擬試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)）1.在抽樣調(diào)查中，由于抽樣導(dǎo)致樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異稱為（）。A.抽樣框誤差B.無回答誤差C.抽樣誤差D.登記誤差2.從一個(gè)包含N個(gè)單位的總體中，不考慮單位間的差異，按完全隨機(jī)的方式抽取n個(gè)單位構(gòu)成樣本，這種抽樣方法稱為（）。A.系統(tǒng)抽樣B.分層抽樣C.簡單隨機(jī)抽樣D.整群抽樣3.在抽樣設(shè)計(jì)中，從總體中抽取初級(jí)單元（群）后再從抽中的初級(jí)單元中抽取次級(jí)單元（或個(gè)體）的抽樣方法稱為（）。A.單階段抽樣B.多階段抽樣C.整群抽樣D.分層抽樣4.分層抽樣的主要目的是（）。A.減少抽樣誤差B.方便樣本抽取C.提高無回答率D.增加抽樣成本5.當(dāng)群內(nèi)單位之間差異較小，群間差異較大時(shí)，整群抽樣的抽樣誤差通常（）簡單隨機(jī)抽樣（在樣本量相同的情況下）。A.大于B.小于C.等于D.無法比較6.衡量整群抽樣中群內(nèi)同質(zhì)性程度的指標(biāo)是（）。A.群平均數(shù)B.群內(nèi)方差C.群內(nèi)相關(guān)系數(shù)D.群間方差7.在整群抽樣中，為了使樣本更具代表性，通常要求各群之間盡可能（）。A.差異大B.差異小C.同質(zhì)性高D.包含不同類型的單位8.計(jì)算整群抽樣的抽樣平均誤差時(shí)，如果不知道總體群數(shù)N，通常使用樣本群數(shù)n代替。（）A.正確B.錯(cuò)誤9.與整群抽樣相比，分層抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)是（）。A.抽樣組織方便B.抽樣誤差通常更小C.適用于總體單位分散的情況D.可以充分利用已有信息10.在確定整群抽樣中的樣本量時(shí)，如果希望提高估計(jì)的精度（即減小抽樣誤差），在其他條件不變的情況下，應(yīng)（）。A.增加群數(shù)B.減少群數(shù)C.增大群內(nèi)方差D.減小群內(nèi)方差二、判斷題（每小題2分，共20分。請將“正確”填在括號(hào)內(nèi)，將“錯(cuò)誤”填在括號(hào)內(nèi)）1.抽樣誤差是可以通過改進(jìn)抽樣方法來完全消除的。（）2.系統(tǒng)抽樣是先將總體單位按某種順序排列，然后隨機(jī)確定起始點(diǎn)，再按固定間隔抽取單位。（）3.分層抽樣要求各層內(nèi)單位同質(zhì)性高，層間單位差異性大。（）4.整群抽樣中，每個(gè)群包含的單位數(shù)必須相等。（）5.整群抽樣的抽樣方差通常大于同等樣本量的簡單隨機(jī)抽樣的抽樣方差。（）6.當(dāng)群內(nèi)相關(guān)系數(shù)ρ=0時(shí)，整群抽樣的抽樣方差等于簡單隨機(jī)抽樣的抽樣方差。（）7.抽樣框就是總體本身。（）8.整群抽樣適用于那些單位分布廣泛、難以直接抽選個(gè)體的總體。（）9.無論采用何種抽樣方法，抽樣平均誤差都隨著樣本量的增大而增大。（）10.在分層抽樣中，若層內(nèi)方差較小，層間方差較大，則分層抽樣的效率通常更高。（）三、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述簡單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣的主要區(qū)別。2.請說明分層抽樣的基本步驟。3.整群抽樣相比簡單隨機(jī)抽樣有哪些主要的優(yōu)缺點(diǎn)？4.在什么情況下，使用整群抽樣可能比簡單隨機(jī)抽樣更有效？四、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.某地區(qū)有20個(gè)社區(qū)（群），計(jì)劃采用整群抽樣方法抽取一個(gè)樣本，欲調(diào)查該地區(qū)居民的某項(xiàng)特征。若以社區(qū)為單位進(jìn)行整群抽樣，隨機(jī)抽取了5個(gè)社區(qū)，并在每個(gè)被抽中的社區(qū)中隨機(jī)抽取了30名居民進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，這250名居民該項(xiàng)特征的樣本均值為80，樣本群內(nèi)相關(guān)系數(shù)ρ=0.1。試計(jì)算該地區(qū)居民此項(xiàng)特征的整群抽樣（二階抽樣，社區(qū)為初級(jí)單元，居民為次級(jí)單元）樣本均值估計(jì)值及其抽樣方差估計(jì)值（假設(shè)每個(gè)社區(qū)單位數(shù)相等）。2.假設(shè)某總體被劃分為K個(gè)層，計(jì)劃采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本，總體單位總數(shù)N=10000，樣本量n=1000。若第一層包含3000個(gè)單位，第二層包含4000個(gè)單位，第三層包含3000個(gè)單位。已知該三層各自的方差分別為σ?2=25，σ?2=36，σ?2=49。試計(jì)算樣本在各層中的分配比例，并估計(jì)該分層抽樣方法的抽樣方差（假設(shè)層間協(xié)方差為零）。3.設(shè)有一個(gè)由10個(gè)群組成的總體，每個(gè)群有5個(gè)單位?，F(xiàn)在用整群抽樣方法抽取一個(gè)包含4個(gè)群的樣本。計(jì)算此整群抽樣的無偏估計(jì)量方差公式中的“平均群內(nèi)方差”θ?2，如果已知每個(gè)群的方差（σ?2）分別為：4,6,4,8,5,7,4,6,5,7。五、論述題（10分）結(jié)合實(shí)際例子，論述在什么樣的情況下選擇整群抽樣比簡單隨機(jī)抽樣更合適，并說明選擇整群抽樣可能帶來的優(yōu)勢和需要注意的問題。試卷答案一、選擇題1.C2.C3.B4.A5.B6.C7.A8.A9.B10.D二、判斷題1.錯(cuò)誤2.正確3.正確4.錯(cuò)誤5.正確6.正確7.錯(cuò)誤8.正確9.錯(cuò)誤10.正確三、簡答題1.解析思路：對(duì)比兩者的定義、抽樣方式、實(shí)施復(fù)雜度、誤差特性。*簡單隨機(jī)抽樣：從總體N個(gè)單位中直接隨機(jī)抽取n個(gè)，每個(gè)單位被抽中概率相等，無需排序或分層。*系統(tǒng)抽樣：需先將總體排序，確定抽樣間隔k=N/n，隨機(jī)起點(diǎn)i?，抽取i?,i?+k,...,i?+(n-1)k。*主要區(qū)別在于抽樣過程：簡單隨機(jī)抽樣直接抽單位，系統(tǒng)抽樣需先排序再按間隔抽。2.解析思路：按照標(biāo)準(zhǔn)分層抽樣流程回答。*確定分層變量和分層標(biāo)準(zhǔn)。*將總體按標(biāo)準(zhǔn)劃分成互不重疊的層。*計(jì)算每層單位數(shù)（理想情況等比例，也可按其他比例）。*在每層內(nèi)獨(dú)立、隨機(jī)抽取樣本（常用簡單隨機(jī)或系統(tǒng)抽樣）。*將各層樣本合并構(gòu)成最終樣本。3.解析思路：分別闡述整群抽樣的優(yōu)點(diǎn)（組織方便、成本效益高）和缺點(diǎn)（抽樣誤差通常較大，尤其當(dāng)群內(nèi)同質(zhì)、群間異質(zhì)時(shí)）。*優(yōu)點(diǎn)：抽樣框容易獲取、組織實(shí)施方便、運(yùn)輸和調(diào)查成本較低、提高可行性。*缺點(diǎn)：抽樣誤差通常比簡單隨機(jī)抽樣大（當(dāng)群內(nèi)差異小、群間差異大時(shí)），樣本分布可能不均勻。4.解析思路：結(jié)合整群抽樣的適用條件和優(yōu)點(diǎn)回答。*當(dāng)總體單位分布廣泛、地理上分散，難以進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣時(shí)。*當(dāng)抽樣調(diào)查主要是通過現(xiàn)成的、自然的群組（如社區(qū)、班級(jí)、家庭）來實(shí)施時(shí)。*當(dāng)群內(nèi)單位同質(zhì)性較高，群間差異性較大時(shí)，可以提高抽樣效率（相對(duì)簡單隨機(jī)）。*當(dāng)調(diào)查目的是對(duì)群組進(jìn)行推斷而非個(gè)體推斷，且群組代表性尚可時(shí)。四、計(jì)算題1.解析思路：先計(jì)算樣本均值估計(jì)值（直接用樣本均值），再計(jì)算抽樣方差估計(jì)值（使用整群抽樣方差公式）。*樣本均值估計(jì)值：\(\bar{X}_h=\bar{x}=80\)*抽樣方差估計(jì)值：\(\sigma_h^2=\frac{\sum_{h=1}^k\sigma_h^2}{k}=\frac{\rho\sigma^2}{m}+(1-\rho)\frac{\sigma^2}{m}\)（其中\(zhòng)(\sigma^2\)為總體方差，\(\sigma_h^2\)為群內(nèi)方差，m為群內(nèi)單位數(shù)，k為群數(shù)）*由于是整群抽樣，且題目未給總體方差或群間方差，通常假設(shè)群內(nèi)方差相同，即\(\sigma_h^2=\sigma^2\)。此時(shí)公式簡化為：\(\sigma_h^2=\rho\frac{\sigma^2}{m}+(1-\rho)\frac{\sigma^2}{m}=\frac{\sigma^2}{m}\)（若ρ=0）*但題目給ρ=0.1，且未說明σ2，標(biāo)準(zhǔn)公式為：\(\sigma_h^2=\frac{\rho\sigma^2}{m}+(1-\rho)\frac{\sigma^2}{m}=\sigma^2(\frac{\rho}{m}+\frac{1-\rho}{m})=\sigma^2(\frac{1}{m})\)（當(dāng)所有群內(nèi)方差相等時(shí)）*但更常用的是考慮群間差異的公式：\(\sigma_h^2=\frac{\bar{\sigma}_h^2}{m}+\frac{\sigma_{gh}^2}{k}\)，其中\(zhòng)(\bar{\sigma}_h^2\)是平均群內(nèi)方差，\(\sigma_{gh}^2\)是群間方差。題目未給\(\sigma_{gh}^2\)。*若簡化處理，假設(shè)群內(nèi)方差相同，且題目給的是群內(nèi)相關(guān)系數(shù)ρ，常用公式為：\(\frac{S^2}{km}+(1-\frac{1}{k})\frac{\rhoS^2}{m}\)或\(\frac{\sigma^2}{m}+(1-\frac{1}{k})\frac{\rho\sigma^2}{m}\)。但σ2未知。*修正思路：題目給ρ=0.1,m=30,k=5。若假設(shè)群內(nèi)方差σ2相等且未知，通常使用簡化公式估算群內(nèi)方差成分：\(\sigma_h^2\approx\rho\frac{\sigma^2}{m}\)。但缺少σ2。通常此類題會(huì)隱含或給出σ2。若無σ2，無法計(jì)算確切方差。此題條件不完整，按標(biāo)準(zhǔn)公式需σ2。若按ρ=0.1,m=30,k=5，則方差與σ2成正比。*標(biāo)準(zhǔn)答案格式（需假設(shè)σ2）：抽樣方差估計(jì)值\(\hat{\sigma}_h^2=\frac{\rho}{km}\sum_{h=1}^k\sigma_h^2+(1-\frac{1}{k})\frac{\rho}{m}\frac{\sum_{h=1}^k\sigma_h^2}{k}=\frac{\rho}{km}\sum_{h=1}^k\sigma_h^2+(1-\frac{1}{k})\frac{\rho\bar{\sigma}_h^2}{m}\)。若假設(shè)所有群內(nèi)方差σ2相同：\(\hat{\sigma}_h^2=\frac{\rho\sigma^2}{km}+(1-\frac{1}{k})\frac{\rho\sigma^2}{m}=\frac{\rho\sigma^2}{m}(1-\frac{1}{k})\)。本題缺少σ2，無法給出數(shù)值。*可能出題意圖：可能意在考察公式結(jié)構(gòu)和對(duì)ρ的理解，而非具體計(jì)算。若必須給答案，需補(bǔ)充σ2或改為計(jì)算平均群內(nèi)方差。此處無法給出具體數(shù)值答案。2.解析思路：先計(jì)算比例，再根據(jù)比例計(jì)算各層樣本量，最后代入方差公式。*比例分配：\(n_h=\frac{N_h}{N}\timesn=\frac{3000}{10000}\times1000=300\),\(n_2=\frac{4000}{10000}\times1000=400\),\(n_3=\frac{3000}{10000}\times1000=300\)。檢查：300+400+300=1000。*抽樣方差估計(jì)值（比例分配）：\(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{h=1}^kn_h\sigma_h^2+\frac{1-n_h}{nN_h}\sum_{h=1}^kN_h\sigma_h^2\)*第一項(xiàng)（層內(nèi)方差）：\(\frac{1}{1000}[300\times25+400\times36+300\times49]=\frac{1}{1000}[7500+14400+14700]=\frac{36600}{1000}=36.6\)*第二項(xiàng)（層間方差，假設(shè)為零）：\(\frac{1-1000/10000}{1000}[3000\times25+4000\times36+3000\times49]=0\)（因?yàn)閷娱g協(xié)方差為零）*總抽樣方差估計(jì)值：\(\hat{\sigma}^2=36.6+0=36.6\)3.解析思路：區(qū)分整群抽樣方差公式中的“平均群內(nèi)方差”θ?2與“平均群內(nèi)方差的無偏估計(jì)量”\(\bar{S}_h^2\)。題目給的是每個(gè)群的方差，計(jì)算的是平均群內(nèi)方差的無偏估計(jì)量。*平均群內(nèi)方差的無偏估計(jì)量\(\bar{S}_h^2=\frac{1}{k}\sum_{h=1}^kS_h^2\)*計(jì)算：\(\bar{S}_h^2=\frac{1}{10}(4+6+4+8+5+7+4+6+5+7)=\frac{50}{10}=5\)五、論述題解析思路：*闡述何時(shí)選擇整群抽樣：*組織便利性與成本效益：當(dāng)總體單位地理上分散，如全國范圍的社區(qū)調(diào)查、跨區(qū)域的學(xué)校調(diào)查，通過整群抽樣（如抽社區(qū)、抽學(xué)校）可以大大減少travelcost和administrativecost。*利用現(xiàn)有群組結(jié)構(gòu)：當(dāng)存在自然的、現(xiàn)成的群組劃分（如行政區(qū)域、班級(jí)、住戶），且這些群組能較好地