3.3一元一次不等式及其解法講解目錄講解目錄TOC\o"13"\h\u【知識點1】由實際問題抽象出一元一次不等式 1【知識點2】一元一次不等式的整數(shù)解 2【知識點3】一元一次不等式的定義 2【知識點4】一元一次不等式的應(yīng)用 2【知識點5】解一元一次不等式 3【題型1】在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集 4【題型2】根據(jù)一元一次不等式概念求字母的值 5【題型3】一元一次不等式的整數(shù)解 5【題型4】根據(jù)在數(shù)軸上表示的解寫出不等式的解集 5【題型5】一元一次不等式與新定義型問題 6【題型6】根據(jù)一元一次不等式的解求字母的取值范圍或值 7【題型7】根據(jù)“五步法”解一元一次不等式 7【題型8】根據(jù)實際問題抽象出一元一次不等式 8【題型9】判斷是否為一元一次不等式 9【題型10】一元一次不等式的解 10【題型11】一元一次不等式與方案問題 10【題型12】用一元一次不等式解決實際問題 12知識講解知識講解【知識點1】由實際問題抽象出一元一次不等式用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關(guān)系．1.（2025春?橋西區(qū)期末）語句“a的14與b的3倍的差的平方是一個非負數(shù)”A．（B．1C．3（D．12.（2025春?泗陽縣期末）某動車組列車速度v（km/h）最高可達400km/h,用不等式表示其數(shù)量關(guān)系是（）A．v＞400B．v≥400C．v≤400D．v＜400【知識點2】一元一次不等式的整數(shù)解解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．1.（2022春?米東區(qū)校級期末）不等式3x+6≥4x的正整數(shù)解有（）A．1個B．2個C．3個D．4個2.（2023春?天峨縣期末）已知不等式2xa≤0的正整數(shù)解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞10B．10≤a≤12C．10＜a≤12D．10≤a＜123.（2024?金鳳區(qū)校級三模）不等式2x3a≤2a的正整數(shù)解為1和2，則a的取值范圍是（）A．4≤a≤6B．4＜a＜6C．4＜a≤6D．4≤a＜6【知識點3】一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．1.（2024春?南崗區(qū)校級月考）下列各式中，是一元一次不等式的是（）A．5+4x＞8B．2x1C．2≤5D．12.（2025春?肥西縣期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（）A．x3B．x1=2C．x+y＞1D．x3＞5【知識點4】一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．1.（2024春?長汀縣期末）某種商品的進價為200元，出售標價為300元，后來由于該商品積壓，商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于20%，則最多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折2.（2023春?橫縣期末）某工人計劃在15天內(nèi)加工408個零件，最初三天中每天加工24個零件，要想在規(guī)定時間內(nèi)超額完成任務(wù)，若設(shè)從第4天開始每天至少加工x個零件，依題意可列出式子為（）A．24×3+（153）x=408B．24×3+（153）x＞408C．24×3+（153）x≥408D．24×3+（153）x＜4083.（2023春?城關(guān)區(qū)校級期中）靜怡準備用70元在文具店買A，B兩種筆記本共7本，A種筆記本每本10元，B種筆記本每本8元，如果至少要買4本A種筆記本，請問靜怡購買的方案有（）A．2種B．3種C．4種D．5種【知識點5】解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．1.（2025春?肇慶期末）不等式4x7≥5的解集是（）A．x≤3B．x≥3C．x≥3D．x≤32.（2025春?商河縣期末）不等式3x+1≥2x+2的解集在數(shù)軸上表示為（）A．B．C．D．3.（2025春?閔行區(qū)校級月考）以下關(guān)于不等式x1＜0的判斷錯誤的是（）A．0是這個不等式的解B．x＞1是這個不等式的解集C．大于1的數(shù)都是這個不等式的解D．小于1的數(shù)都不是這個不等式的解．題型專練題型專練【題型1】在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集【典型例題】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A.B.C.D.【舉一反三1】不等式2x﹣1＜﹣3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A.B.C.D.【舉一反三2】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A.B.C.D.【舉一反三3】不等式x﹣1≤2的解集表示在數(shù)軸上正確的是（）A.B.C.D.【舉一反三4】解不等式，并把解在數(shù)軸上表示出來．【舉一反三5】解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【題型2】根據(jù)一元一次不等式概念求字母的值【典型例題】已知（a﹣1）x|a|+m＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則a的值為．【舉一反三1】已知（a﹣4）x|3﹣a|+1＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則a＝

．【舉一反三2】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是關(guān)于x的一元一次不等式，求k的值以及不等式的解集．【舉一反三3】已知（b+2）xb+1＜﹣3是關(guān)于x的一元一次不等式，試求b的值，并解這個一元一次不等式．【題型3】一元一次不等式的整數(shù)解【典型例題】若代數(shù)式2x+1的值不大于3x﹣4的值，則x的最小整數(shù)值是（）A.5B.6C.7D.8【舉一反三1】已知不等式2x+a＜x+4的正整數(shù)解有2個，則a的取值范圍是（）A.1＜a＜2B.1＜a≤2C.1≤a≤2D.1≤a＜2【舉一反三2】不等式5﹣x＞2（x﹣1）的正整數(shù)解為

．【舉一反三3】求不等式的非負整數(shù)解．【舉一反三4】解不等式10﹣4（x﹣3）≥2（x﹣1），在數(shù)軸上表示它的解集，并寫出它的非負整數(shù)解．【題型4】根據(jù)在數(shù)軸上表示的解寫出不等式的解集【典型例題】一個不等式的解在數(shù)軸上如圖所示，則這個不等式為（）A.3﹣5x＜3x﹣5B.6x+4＞﹣2C.﹣7x+6≥7+3xD.﹣3x+4≥3﹣4x【舉一反三1】一個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是（）A.x+2≥0B.x﹣2≤0C.2x≥4D.2﹣x≤0【舉一反三2】已知一個不等式的解集在數(shù)軸上如圖所示，則這個不等式是（）A.2x+3≥﹣5B.3﹣4x＞10C.0D.1﹣3x＜2x+8【舉一反三3】若一個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式應(yīng)是下列中的（）A.x﹣1＜0B.x﹣1≤0C.x﹣1＞0D.x﹣1≥0【題型5】一元一次不等式與新定義型問題【典型例題】我們定義一個關(guān)于實數(shù)a，b的新運算，規(guī)定：a*b＝﹣4a﹣3b．例如：5*6＝﹣4×5﹣3×6，若m滿足m*（﹣2）＜0，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.【舉一反三1】在R上定義運算：a⊕b＝（a+1）b，當1≤x≤2時，存在x使不等式2⊕mx＜4成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A.B.C.m≤0D.【舉一反三2】定義新運算“⊕”如下：當a＞b時，a⊕b＝ab+b；當a＜b時，a⊕b＝ab﹣b，若3⊕（x+2）＞0，則x的取值范圍是（）A.﹣1＜x＜1或x＜﹣2B.x＜﹣2或1＜x＜2C.﹣2＜x＜1或x＞1D.x＜﹣2或x＞2【舉一反三3】定義新運算：對于任意實數(shù)a，b均有a※b＝a（a﹣b）+1，則不等式4※x≥1的解集為

．【舉一反三4】定義新運算“?”，規(guī)定：a?b＝a﹣2b．若關(guān)于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，則m＝

．【舉一反三5】定義：對于任意實數(shù)a，b，關(guān)于☆的一種運算如下a☆b＝b﹣2a，例如5☆3﹣10＝﹣7，（﹣3）☆5＝5﹣（﹣6）＝11．（1）若2☆x＜5，求x的取值范圍；（2）已知關(guān)于x的方程2（2x﹣1）＝x+7的解滿足m☆x＜5，求m的取值范圍．【舉一反三6】定義一種新運算“a※b”：當a≥b時，a※b＝2a+b；當a＜b時，a※b＝2b﹣a．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※2＝2×2﹣（﹣6）＝10．（1）填空：2※（﹣3）＝

；（2）若x是一個負數(shù)，且滿足（2x﹣3）※（1﹣3x）＜7，求x的取值范圍．【題型6】根據(jù)一元一次不等式的解求字母的取值范圍或值【典型例題】已知關(guān)于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集為，則a的取值范圍是（）A.a＜1B.a＞1C.a＜0D.a＞0【舉一反三1】已知關(guān)于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在數(shù)軸上表示如圖，則a的值為（）A.2B.﹣1C.0D.1【舉一反三2】已知關(guān)于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集為x＞1，則a的取值范圍是（）A.a＜0B.a＜5C.a＜﹣5D.a＞5【舉一反三3】已知關(guān)于x的不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解是x＜1．則a的取值范圍是

．【舉一反三4】已知關(guān)于x的不等式2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）．（1）當a＝﹣5時，求這個不等式的解集．（2）如果該不等式的解集為x，求a的取值范圍．（3）如果x＝﹣2是該不等式的一個解，求a的取值范圍．【舉一反三5】已知關(guān)于x的不等式a（x﹣1）＞x+1﹣2a的解集是x＜﹣1，求a的取值范圍．【題型7】根據(jù)“五步法”解一元一次不等式【典型例題】不等式x+2＞﹣1的解集為（）A.x＞﹣3B.x＞1C.x＜﹣3D.x＜1【舉一反三1】不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1的解集是（）A.x＞﹣1B.x≥﹣1C.x＜﹣1D.x≤﹣1【舉一反三2】若，則（）A.x＞﹣3B.x＜﹣3C.x＞1D.【舉一反三3】解不等式1+2（x﹣1）≤3，則x的解集是

．【舉一反三4】不等式的解集是

．【舉一反三5】解不等式：（1）7x﹣1≤9x+5（2）【舉一反三6】解不等式：．【題型8】根據(jù)實際問題抽象出一元一次不等式【典型例題】北京2022冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜愛，某網(wǎng)店出售這兩種吉祥物禮品，售價如圖所示．小明媽媽一共買10件禮品，總共花費不超過900元，如果設(shè)購買冰墩墩禮品x件，則能夠得到的不等式是（）A.100x+80（10﹣x）＞900B.100x+80（10﹣x）＜900C.100x+80（10﹣x）≥900D.100x+80（10﹣x）≤900【舉一反三1】小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設(shè)經(jīng)過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（）A.52+15n＞70+12nB.52+15n＜70+12nC.52+12n＞70+15nD.52+12n＜70+15n【舉一反三2】學校準備購進兩種型號的節(jié)能燈共50只，且A型節(jié)能燈的數(shù)量不多于B型節(jié)能燈數(shù)量的3倍，設(shè)A型節(jié)能燈共購進x只，請你列出相應(yīng)不等式

．【舉一反三3】一次知識競賽共有10道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分，娜娜得分要不少于60分，設(shè)她答對了n道題．則根據(jù)題意可列不等式：

．【題型9】判斷是否為一元一次不等式【典型例題】下列是一元一次不等式的是（）A.2x＞1B.x﹣2＜y﹣2C.2＜3D.x2＜9【舉一反三1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A.x＞5﹣yB.2x﹣3＜0C.4＞2D.x＜x2【舉一反三2】下列是一元一次不等式的有（）x＞0，1，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3，．A.1個B.2個C.3個D.4個【舉一反三3】下列各式是一元一次不等式的有

（填序號）．①﹣2x＞5；②3x﹣4y≥0；③；④．【舉一反三4】下列各式中，哪些是一元一次不等式？（1）﹣3＞﹣5；（2）x＞1；（3）2x+y≥6；（4）2﹣x＜3x+5；（5）3x+1＝0；（6）；（7）2x2+5＞7；（8）2a﹣7≤15；（9）1．【舉一反三5】判斷下列不等式是否為一元一次不等式：（1）2x+y?0；（2）3≤1；（3）（2x+1）＞n（x﹣2）；（4）1﹣3x＜4+7x．【題型10】一元一次不等式的解【典型例題】如果x＝1.6是某不等式的解，那么該不等式可以是（）A.x＞3B.x＞2C.x＜1D.x＜2【舉一反三1】下列各數(shù)中，是不等式x＞2的解的是（）A.﹣2B.2C.1D.3.5【舉一反三2】構(gòu)造一個一元一次不等式，使它的解集是，如

．【舉一反三3】不等式|x|＜1的解集是

．【舉一反三4】下列各數(shù)中，是不等式x+1＜4解的數(shù)有哪些？哪些不是不等式的解？8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、﹣6．【舉一反三5】判斷下列說法是否正確，為什么？（1）x＝﹣1是不等式2x＜6的解；（2）x＝1不是不等式x﹣2＞0的解；（3）因為x＝1是不等式x﹣5＜0的一個解，所以該不等式的解為x＝1．【題型11】一元一次不等式與方案問題【典型例題】聯(lián)通公司推出兩種手機收費方案．方案一：月租費36元，本地通話話費0.1元/分；方案二：不收月租費，本地通話費為0.6元/分．設(shè)小明的爸爸一個月通話時間為x分鐘．小明爸爸一個月通話時間為多少時，選擇方案一比方案二優(yōu)惠？（）A.60分鐘B.70分鐘C.72分鐘D.80分鐘【舉一反三1】小明欲購買A，B兩種型號的筆記本共10本（不可購買一種），要求其總價錢不超過60元，已知A型號的單價是5元，B種型號的單價是7元，則購買方案有（）A.3種B.4種C.5種D.6種【舉一反三2】某種毛巾的原零售價為每條6元，凡一次性購買兩條以上（含兩條），商家推出兩種優(yōu)惠方案：（1）兩條按原價，其余按七折優(yōu)惠；（2）全部按八折優(yōu)惠．若在購買相同數(shù)量的毛巾的情況下，要使方案（1）比方案（2）合算，則最少要購買毛巾

條．【舉一反三3】某電信公司提供的移動通信服務(wù)的收費標準有兩種方案，如下表：（1）當通話時間為100分鐘時，方案A的費用為

元；（2）當通話時間滿足條件

分鐘時，方案B比方案A更優(yōu)惠．【舉一反三4】某公司有甲、乙兩種型號的客車共20輛，它們的載客量、每天的租金如表所示．已知在這20輛客車都坐滿的情況下，共載客720人．（1）求甲、乙兩種型號的客車各有多少輛？（2）某中學計劃租用甲、乙兩種型號的客車共10輛，接送七年級的師生到基地參加暑期社會實踐活動，已知該中學租車的總費用不超過5600元．①至少要租用多少輛甲型客車？②若七年級的師生共有370人，請寫出所有可能的租車方案，并確定最省錢的租車方案．【舉一反三5】為了提高學生學習英語的興趣，檢測學生詞匯掌握情況，萬州區(qū)某中學舉辦了“英語詞匯競賽活動”，學校英語組準備給每個獲獎學生頒發(fā)一種售價為30元/個的獎品．由于需要的獎品數(shù)量較多，商家給出兩種優(yōu)惠方案，方案一：所有獎品按售價打8折；方案二：免費贈送10個獎品，其余獎品按售價打9折．（1）負責購買獎品的老師發(fā)現(xiàn)，按方案一購買獎品比按方案二購買獎品可以節(jié)約30元錢，求需要購買多少個獎品？（2）購買的獎品數(shù)量在什么范圍時，按方案一購買比按方案二購買要劃算？【題型12】用一元一次不等式解決實際問題【典型例題】某商店為了促銷一種定價為4元的商品，采取下列方式優(yōu)惠銷售：若一次性購買不超過5件，按原價付款；若一次性購買5件以上，超過部分按原價八折付款．如果小穎有44元錢，那么她最多可以購買該商品（）A.10件B.11件C.12件D.13件【舉一反三1】某批電子產(chǎn)品的進價為200元/件，