專題06圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。內(nèi)切圓、外接圓模型常以選填題的形式考查，而內(nèi)切圓與外接圓模型結(jié)合多以綜合題的形式呈現(xiàn)，出題靈活多變，是中考的?？碱}型。本專題就圓的內(nèi)切圓和外接圓模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型趣事 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運用 6模型1.內(nèi)切圓模型 6模型2.外接圓模型 12 18古希臘數(shù)學(xué)家（如歐幾里得）在《幾何原本》中系統(tǒng)研究過三角形與圓的位置關(guān)系，垂直平分線、角平分線的交點性質(zhì)奠定了外心與內(nèi)心的理論基礎(chǔ)?。三角形的內(nèi)切圓和外接圓模型均基于三角形的基本性質(zhì)命名：外接圓與三邊相關(guān)，內(nèi)切圓與三角形的角相關(guān)。內(nèi)切圓?是與多邊形各邊均相切的圓，在三角形中具有唯一性，其圓心稱為內(nèi)心，是角平分線的交點。內(nèi)心到三角形各個邊的垂線段相等。外接圓?是與多邊形各頂點都相交的圓，其中三角形必然有外接圓，其圓心稱為外心，位于任意兩邊垂直平分線的交點。外心到三角形各頂點的距離相等。A．4 B．3 C．2 D．11）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為內(nèi)心），切點為D、E、F，⊙O的半徑為r。證明：∵O為三角形ABC的內(nèi)心，∴OA、OB、OC分別為∠A、∠B、∠C的平分線，∵O為內(nèi)心，切點為D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，∴點O到三角形ABC的三邊距離相等；∵OA、OB、OC分別為∠A、∠B、∠C的平分線，圖1圖2圖32）直角三角形的內(nèi)切圓模型∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四邊形OECF為正方形，3）四邊形的內(nèi)切圓模型證明：∵⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，4）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。證明：∵O為三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC圖1圖2圖35）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點。證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點，∴四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD∠DCM=∠ACB∠DCM，即∠ACD=∠BCP，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已證），∠BMP=∠AMC（對頂角）。6）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。證明：連結(jié)OA、OC，設(shè)∠AOC=，∵圓周角等于所對的圓心角的一半，∴∠ADC=，模型1.內(nèi)切圓模型A． B． C． D．

例6（2024·四川·校考一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一直線l經(jīng)過點M（，1）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且MA＝MB，可求得△ABO的內(nèi)切圓⊙O1的半徑r1＝﹣1；若⊙O2與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2、l、y軸分別相切，…，按此規(guī)律，則⊙O2014的半徑r2014＝．

A．8 B．9 C．10 D．11模型2.外接圓模型例1（2425·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，則它的外接圓半徑R＝，內(nèi)切圓半徑r＝．2．（2425·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三邊所得的弦長相等，則∠BOC＝（

）A．100° B．110° C．115° D．120°4．（2425·浙江九年級課時練習(xí)）已知三角形的周長為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（

）A．4 B．3 C．2 D．1A．36° B．48° C．60° D．72°7．（2425·江蘇南京·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，已知AD＝2，BC＝5，則AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7A．B．C．D．以上答案均不正確A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

11．（2425·四川宜賓·九年級專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一直線l經(jīng)過點M（，1）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且MA＝MB，可求得△ABO的內(nèi)切圓⊙O1的半徑r1＝﹣1；若⊙O2與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2、l、y軸分別相切，…，按此規(guī)律，則⊙O2014的半徑r2014＝．12．（2425·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點I和O分別是△ABC的內(nèi)心和外心，若∠AIB＝125°，則∠AOB的度數(shù)為．

15．（2425九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于．(2)在（1）的條件下，試探究線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；19．（2025·江西撫州·一模）綜合與實踐基本圖形法：在復(fù)雜圖形中，找到或構(gòu)造基本圖形，再利用基本圖形的概念和性質(zhì)，尋求解題的突