2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽創(chuàng)新潛質(zhì)試卷一、選擇題（共5小題，每題7分，滿分35分）設(shè)(x=\sqrt{5}-2)，則代數(shù)式(x^3+4x^2+x-1)的值為（）A.0B.1C.-1D.2對(duì)于任意實(shí)數(shù)(a,b)，定義運(yùn)算“※”：(a※b=(a+b)(a-b)+2b(a+b))。若((x※2)※1=8x+1)，則(x)的值為（）A.1B.-1C.2D.-2如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(BC=8)，點(diǎn)(E)為(BC)中點(diǎn)，點(diǎn)(F)在邊(CD)上，且(CF=2)。連接(AE)與(BF)交于點(diǎn)(G)，則(\triangleAGB)的面積為（）A.12B.15C.18D.20已知關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的兩個(gè)實(shí)根(x_1,x_2)滿足(x_1^2+x_2^2=10)，則(m)的值為（）A.0B.3C.0或3D.-3或0設(shè)(S=\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}})，則(4S)的整數(shù)部分為（）A.4B.5C.6D.7二、填空題（共5小題，每題7分，滿分35分）已知正整數(shù)(a,b)滿足(a+b=2025)，且(\frac{a}=\frac{4}{5})，則(a^2-b^2=)________。如圖，在(\triangleABC)中，(\angleACB=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，點(diǎn)(D)為(AB)中點(diǎn)，點(diǎn)(E)在(AC)上，且(DE\perpAB)，則(CE=)________。若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}2x-a<1\x-2b>3\end{cases})的解集為(-1<x<2)，則(a+b=)________。一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字(1,2,3,4,5,6)。連續(xù)拋擲兩次骰子，記第一次朝上的數(shù)字為(m)，第二次朝上的數(shù)字為(n)，則(m^2+n^2\leq25)的概率為________。已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像經(jīng)過點(diǎn)((1,2))，((2,5))，((3,10))，則該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________。三、解答題（共4小題，第11-12題每題15分，第13-14題每題20分，滿分70分）（本題滿分15分）已知(a,b,c)為實(shí)數(shù)，且滿足(a+b+c=0)，(abc=1)。（1）求證：(a,b,c)中至少有一個(gè)大于(\frac{3}{2})；（2）求(a^3+b^3+c^3)的值。（本題滿分15分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)為直徑的(\odotO)交(BC)于點(diǎn)(D)，交(AC)于點(diǎn)(E)，連接(AD)，(BE)交于點(diǎn)(F)。（1）求證：(BD=CD)；（2）若(AB=5)，(\tan\angleABE=\frac{1}{2})，求(CF)的長(zhǎng)。（本題滿分20分）某科技公司研發(fā)了一款新型節(jié)能設(shè)備，投入市場(chǎng)后，第1個(gè)月的銷售額為100萬元，從第2個(gè)月起，每月銷售額比上月增長(zhǎng)(x%)，同時(shí)每月需支出固定成本50萬元（不含研發(fā)成本）。（1）設(shè)第(n)個(gè)月的利潤(rùn)為(y_n)萬元（利潤(rùn)=銷售額-成本），求(y_n)關(guān)于(n)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若(x=20)，問第幾個(gè)月的利潤(rùn)首次超過200萬元？（3）為實(shí)現(xiàn)第12個(gè)月的利潤(rùn)達(dá)到600萬元，求(x)的最小值（精確到0.1%）。（本題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(0,3))，(B(4,0))，點(diǎn)(P)為線段(AB)上一動(dòng)點(diǎn)（不與(A,B)重合），過點(diǎn)(P)分別作(PD\perpy)軸于點(diǎn)(D)，(PE\perpx)軸于點(diǎn)(E)，連接(DE)。（1）設(shè)(P)點(diǎn)坐標(biāo)為((m,n))，用含(m)的代數(shù)式表示(DE)的長(zhǎng)度；（2）在點(diǎn)(P)運(yùn)動(dòng)過程中，(\trianglePDE)的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)(P)點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）以(DE)為斜邊作等腰直角三角形(DEF)（點(diǎn)(F)在第一象限），直接寫出點(diǎn)(F)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)。四、創(chuàng)新探究題（共1小題，滿分20分）（本題滿分20分）定義：對(duì)于正整數(shù)(n)，若存在正整數(shù)(a,b)，使得(n=a^2+b^2)，則稱(n