2025年下學期初中數(shù)學競賽染色問題試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）1.圓周染色問題圓周上等間距地分布著27個點，它們被分別染為黑色或白色。已知其中任何2個黑點之間至少間隔2個點，則以下結論正確的是（）A.最多有8個黑點B.必然存在3個白點構成等邊三角形C.黑點數(shù)量與白點數(shù)量必相等D.所有黑點必構成等差數(shù)列分布解析：將27個點依次編號為1-27，構成9個正三角形：(1,10,19)、(2,11,20)、…、(9,18,27)。由染色規(guī)則知，每個正三角形中最多有1個黑點（否則兩黑點間隔小于2），故黑點總數(shù)≤9。若黑點=9，則需在每個正三角形中各取1點，此時剩余白點必能構成完整正三角形；若黑點<9，由抽屜原理知必有正三角形全為白色。答案：B2.棋盤覆蓋問題能否用1×4的長方形瓷磚完全覆蓋10×10的棋盤？（）A.能，需25塊瓷磚B.能，但需特殊排列C.不能，因面積不匹配D.不能，因染色后數(shù)量矛盾解析：將棋盤按1-4循環(huán)染色（如圖1），每個1×4瓷磚必覆蓋1、2、3、4各一個。統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)10×10棋盤中數(shù)字1有25個，數(shù)字2有26個，數(shù)量不等。答案：D3.座位排列問題50位學生男女各半圍坐一圈，下列結論正確的是（）A.必有2名男生相鄰B.必有1名學生兩旁都是女生C.男女相間排列不可能D.最多有24對相鄰女生解析：將座位黑白相間染色（25黑25白）。假設不存在兩旁都是女生的學生，則每個女生座位的相鄰座位必為男生。因此每個女生占據(jù)1個染色座位時，其相鄰座位需2個男生，導致25個女生至少需要25×2=50個男生座位，矛盾。答案：B4.線段染色問題線段AB兩端點分別染紅藍兩色，中間插入n個分點任意染色，構成n+1個小線段。則標準線段（兩端異色）的數(shù)量必為（）A.偶數(shù)B.奇數(shù)C.與n同奇偶D.不確定解析：用數(shù)學歸納法證明。當n=0時，1條標準線段（奇數(shù)）；假設n=k時成立，插入第k+1個分點時，若新分點與兩端同色，標準線段數(shù)量不變；若異色則增減2條（仍為奇數(shù)）。答案：B5.正方體染色問題將27個小正方體組成的大正方體黑白相間染色（中心白色），甲蟲從中心出發(fā)，能否無重復走遍所有小正方體？（）A.能，需13步B.能，按螺旋路線C.不能，因黑白格數(shù)量不等D.不能，因中心只有3個相鄰房間解析：27個小正方體中14黑13白，甲蟲從白格出發(fā)，每步必變色，走遍所有需13白14黑，但實際只有13白，矛盾。答案：C二、填空題（共5小題，每小題8分，滿分40分）6.方格染色計數(shù)3×9的方格表用紅藍兩色染色，至少有______列染色方式相同。解析：每列3個方格有23=8種染色方式，9列中由抽屜原理得9÷8=1…1，故至少2列相同。答案：27.球排列問題12個紅球和12個藍球排成一行，至少有______個相鄰球滿足三紅三藍。解析：設紅球為+1，藍球為-1，計算連續(xù)6球的代數(shù)和S?~S??。S?+S?+S??+S??=0（因總球數(shù)相等），若四數(shù)中有0則存在三紅三藍；否則必有兩數(shù)異號，中間必存在S=0。答案：18.矩形存在性問題4×4方格表中最多可涂黑______個格子，使不存在4個黑格構成矩形頂點。解析：按圖2方式涂黑9格（每行3格，列分布為1,2,3,3），可避免矩形。若涂10格，由抽屜原理知必有兩行各3格，此時列組合C(3,2)=3，4列中必有重復列對。答案：99.覆蓋剪拼問題8×8棋盤剪去______色方格后，可被21個1×3矩形覆蓋（按圖3三色染色）。解析：三色格數(shù)量為21,22,21，剪去第二種顏色（22個）的1格后，三種顏色均為21個，每個1×3矩形覆蓋三色各1個。答案：第二種10.點染色問題平面上任意6個點用紅藍兩色連線，必存在______個同色三角形。解析：由拉姆塞定理R(3,3)=6，即6點兩色連線必存在同色三角形。答案：1三、解答題（共3小題，滿分50分）11.正三角形染色（15分）在邊長為1的正三角形三邊上取3n個等分點，連接成n2個小正三角形。用紅藍兩色染這些小三角形，求證：必存在一個單色菱形（四邊同色且對邊平行）。證明：（1）將水平方向小三角形分類，設第k層有2k-1個三角形（k=1,2,…,n）。（2）定義“斜向線”：每一條斜率為±60°的直線，其上有n個小三角形邊。（3）對每個方向的斜向線用抽屜原理：n條線段兩色染色，至少有?n/2?條同色。（4）當n≥2時，兩方向同色線段交點構成菱形。對于n=1，直接驗證成立。12.染色與路徑問題（15分）27個小正方體組成的大正方體，中心正方體有甲蟲。小正方體黑白相間染色，甲蟲能否走到與中心顏色相同的所有正方體？解答：（1）染色后有14黑13白（中心白色），甲蟲從白格出發(fā)，每步變色。（2）與中心同色的白色正方體共13個（含中心），需走12步到達所有白色正方體。（3）構造路徑：按層螺旋（中心→上層→下層→中層），可遍歷所有13個白色正方體。（4）結論：能，路徑長度12步。13.綜合染色問題（20分）將正整數(shù)1~N染成黑白兩色，滿足：①1為黑色；②n與n+1不同色；③n為完全平方數(shù)時與√n同色。求N的最小值，使存在兩個黑色的完全平方數(shù)。解答：（1）由條件②知染色周期為2：奇數(shù)黑、偶數(shù)白，但條件③改變平方數(shù)顏色。（2）平方數(shù)顏色：1（黑）→4（與1同色→黑）→16（與4同色→黑），此時1、4、16均為黑色。（3）驗證中間平方數(shù)：9應與3同色（3為黑色→9為黑色），但9是奇數(shù)本應為黑色，不矛盾。（4）N=16時出現(xiàn)1、4、16三個黑色平方數(shù)，故最小值為16。四、附加題（共2小題，滿分20分）14.無限染色問題（10分）證明：對平面上所有點兩色染色，必存在兩個距離為1的同色點。證明：取邊長為1的正三角形ABC，三個頂點中必有兩點同色（抽屜原理），其距離為1。15.染色構造問題（10分）構造一個7×7的方格表染色方案（紅藍兩色），使每行每列恰有3個紅格，且無4個紅格構成矩形。解答：按列構造紅格位置：列1：1,2,3列2：1,4,5列3：1,6,7列4：2,5,7列5：2,4,6列6：3,4,7列7：3,5,6（驗證：每行(1-7)紅格數(shù)均為3，任意兩列無重復行對）（注：本試卷所