2025年下學期初中數(shù)學競賽夏令營試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）以下每道小題均給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中只有一個選項正確。請將正確選項的代號填入題后的括號內(nèi)。設(shè)(x=\sqrt{3}-\sqrt{2})，則代數(shù)式(x^3+3x^2-5x+1)的值為（）A.0B.1C.-1D.2對于任意實數(shù)(a,b,c,d)，定義有序?qū)崝?shù)對((a,b))與((c,d))之間的運算“△”為：((a,b)△(c,d)=(ac-bd,ad+bc))。如果對于任意實數(shù)(x,y)，都有((x,y)△(m,n)=(x,y))，那么((m,n))為（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)已知(A,B)是兩個銳角，且滿足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，則實數(shù)(t)所有可能值的和為（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{3}{2})C.1D.(\frac{5}{2})如圖，點(D,E)分別在△(ABC)的邊(AB,AC)上，(BE,CD)相交于點(F)，設(shè)(S_{四邊形EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，則(S_1S_3)與(S_2S_4)的大小關(guān)系為（）A.(S_1S_3<S_2S_4)B.(S_1S_3=S_2S_4)C.(S_1S_3>S_2S_4)D.不能確定設(shè)(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，則(4S)的整數(shù)部分等于（）A.4B.5C.6D.7二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）兩條直角邊長分別是整數(shù)(a,b)（其中(a<b<2025)），斜邊是(c)的直角三角形的個數(shù)為________。一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4；另一枚骰子的六個面數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8。同時擲這兩枚骰子，朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是________。如圖，雙曲線(y=\frac{k}{x})（(x>0)）與矩形(OABC)的邊(CB,BA)分別交于點(E,F)，且(AF=BF)，連接(EF)，則△(OEF)的面積為________?！?O)的三個不同的內(nèi)接正三角形將⊙(O)分成的區(qū)域個數(shù)為________。設(shè)四位數(shù)(\overline{abcd})滿足(\overline{abcd}=10a+b+10c+d)，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)為________。三、解答題（共4題，第11-13題每題20分，第14題20分，滿分80分）已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2+bx+c=0)的兩個整數(shù)根恰好比方程(x^2+ax+b=0)的兩個根都大1，求(a+b+c)的值。解答要求：（1）寫出方程的根與系數(shù)關(guān)系；（2）通過設(shè)元建立方程組求解；（3）驗證解的合理性并得出結(jié)論。如圖，點(H)為△(ABC)的垂心，以(AB)為直徑的⊙(O_1)和△(BCH)的外接圓⊙(O_2)相交于點(D)，延長(AD)交(CH)于點(P)，求證：點(P)為(CH)的中點。解答要求：（1）連接輔助線(BD)、(BH)；（2）證明(\angleBDH=90^\circ)；（3）利用垂心性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形定理完成證明。若從1,2,3,…,2025中任取5個兩兩互素的不同的數(shù)，其中總有一個數(shù)是素數(shù)，求正整數(shù)(n)的最大值。解答要求：（1）舉例說明(n=20)時不滿足題意；（2）構(gòu)造抽屜原理模型證明(n=16)時滿足題意；（3）推導(n)的最大值。已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)（(a>0)）的圖像與(x)軸交于(A,B)兩點，與(y)軸交于點(C)，且(OA=OC)（(O)為坐標原點）。（1）若點(A)的坐標為((-1,0))，求二次函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，點(P)是拋物線上一動點，過點(P)作(PQ\perpx)軸于點(Q)，是否存在點(P)使得△(PBQ)與△(ABC)相似？若存在，求出點(P)的坐標；若不存在，說明理由。四、附加題（共2題，每題15分，不計入總分，供學有余力的學生選做）設(shè)(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})，求證：對任意正整數(shù)(n\geq2)，都有(S^2>2\left(\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+\cdots+\frac{S_n}{n}\right))，其中(S_k=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{k})。在平面直角坐標系中，點(A(0,3))，(B(4,0))，點(P)是線段(AB)上的動點，點(Q)是(x)軸上的動點，若△(APQ)為等腰直角三角形