高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市五區(qū)縣重點校2024-2025學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1.空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)對稱點坐標規(guī)律，空間直角坐標系中點關于平面的對稱點是.故選：A.2.若直線l的一個方向向量為，則它的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】由于直線l的一個方向向量為，故直線的斜率為，故傾斜角為150°，故選：D.3.已知數(shù)列的前項和，則等于（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】B【解析】因為數(shù)列的前項和，所以.故選：B.4.以直線：恒過的定點為圓心，半徑為的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將直線的方程變形為令，解得，.所以直線恒過定點，即圓心坐標為.已知半徑，所以圓的標準方程.展開可得，即.故選：D.5.已知雙曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為雙曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，所以或，即或，又，所以，故選：D.6.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A.3 B.±3 C.9 D.±9【答案】C【解析】根據(jù)行列式的定義，對于，可得，即.因為數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質：所以.由，可得，則.又因為，等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同，所以.故選：C.7.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，故，故，當且僅當共線，在線段上時取等號，所以，當且僅當共線，在線段上時取等號，而，故的最小值為，故選：B.8.已知雙曲線的一條漸近線與拋物線交于點，點是拋物線的準線上一點，拋物線的焦點為雙曲線的一個焦點，且為等邊三角形，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，點，拋物線的準線方程為，作，由拋物線的定義可知，，又為等邊三角形，所以，所以，即點重合，所以，設，不妨設，則，得，所以，所以，又因為，所以得，所以雙曲線的方程為.故選：A.9.如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”，若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，則正整數(shù)的最大值為（）A.27 B.28 C.29 D.30【答案】C【解析】當時，，由數(shù)列為“速增數(shù)列”，則，又，則、、、，則，即，當時，，當時，，故正整數(shù)的最大值為.故選：C.二、填空題（本題共6個小題，每小題5分，共30分）10.兩條直線：與：之間的距離為_______.【答案】【解析】直線：即，又直線：，所兩直線間的距離.11.已知圓：與圓：外切，此時直線：被圓所截的弦長為_______.【答案】【解析】：的圓心和半徑分別為，，：圓心和半徑分別為，，由于兩圓外切，故，解得，故直線的距離為，故弦長為.12.如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點，則直線和BN的夾角的余弦值為______【答案】【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.13.已知數(shù)列滿足，，，則_______.【答案】【解析】由知數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差，則，于是，則.14.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過點的直線與的右支相交于、兩點，若，點位于第一象限，則雙曲線的離心率為_______.【答案】【解析】如下圖所示：不妨設，則，，則，所以，，設，則，由雙曲線的定義可得，即，解得，所以，，可得，所以，，，由勾股定理可得，即，可得，所以，，故該雙曲線的離心率為.15.如圖，已知拋物線：的焦點為F，過點F且斜率為1的直線交于A，B兩點，線段的中點為M，其垂直平分線交x軸于點，軸于點N.若四邊形的面積等于，則p的值為______.【答案】3【解析】易知，直線的方程為，四邊形為梯形，且．設，，，則，所以，所以．作軸于點，則．因為直線的斜率為1，所以為等腰直角三角形，故，所以，，所以四邊形的面積為，解得，故答案為：3.三、解答題16.設數(shù)列是首項為，公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.已知，，成等差數(shù)列.（1）求和的通項公式；（2）求的前項和，的前項和.解：是首項為的等比數(shù)列，設其公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，即，即，解得或（舍），故，所以.（2）由（1）可得，，①則，②①-②得：，，所以.17.如圖，在直三棱柱中，，，是中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角余弦值；（3）求點到平面的距離.（1）證明：在直三棱柱中，連接交于F點，連接，由側面是平行四邊形，得是的中點，又是中點，則，而平面，平面，所以平面.（2）解：依題意，底面，，則直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為，則，令，得，而是平面的一個法向量，設平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.（3）解：由（2）知，，所以點到平面的距離.18.已知橢圓：的離心率，點在上.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的左頂點為A，過點A作斜率為的直線交橢圓于點P，交y軸于點D，若過原點作直線的平行線交橢圓于點E，求的最小值.解：（1）因為橢圓的離心率，且在上所以，解得，，所以橢圓的標準方程為.（2）設直線的方程為，，聯(lián)立，消去，得，所以，因為，所以直線的方程可設為，聯(lián)立，消去，得，所以點的橫坐標為，由，得.當且僅當，即時，等號成立，由此，當時，有最小值，且最小值.19.已知橢圓C：的長軸長為4，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形周長為.（1）求橢圓方程；（2）直線與橢圓C交于A、B兩點，與y軸交于點M，線段的垂直平分線與交于點P，與y軸交于點Q，O為坐標原點，如果，求k的值.解：（1）由題設得，解得，，，所以橢圓C的方程為.（2）聯(lián)立，得，由，得，設，，則，，所以點的橫坐標，縱坐標為，所以直線的方程為，令，則點的縱坐標，則，因，所以點、點在原點兩側，因為，所以，法一：由上可得，因為，，所以，解得，所以.法二：因,故有，即，因為，，所以，解得，所以.20.已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，滿足，；數(shù)列各項都是正數(shù)，且滿足，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為；（3）在和，中插入個相同的數(shù)，構成一個新數(shù)列：，求的前20