高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)研究：導(dǎo)數(shù)（13）第二節(jié)零點(diǎn)問題一、基本方法對于零點(diǎn)問題,我們主要的處理方法是①分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)個數(shù)問題;②分類討論,利用零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行求解;其中,分類討論往往需要用到取點(diǎn)的技巧,對于如何取點(diǎn),我們將在本書的解題方法當(dāng)中講的淋漓盡致。①零點(diǎn)存在性定理:若fx在a,b上單調(diào),faf②變號零點(diǎn):該零點(diǎn)左鄰域與右鄰域的函數(shù)值正負(fù)異號,即fx【經(jīng)典例題】fx=e解法一(分離參數(shù)):顯然當(dāng)a=0【我們將這種方法叫做倒數(shù)分參或分母跨0的解決辦法,如果寫作a=解:令g由題意可得gx在0,2上單調(diào)遞增,在2,+∞上單調(diào)遞減,所以gxmax=綜上,解法二(分類討論):fx=當(dāng)a≤0時,顯然沒有零點(diǎn),當(dāng)a?x在0,2上單調(diào)遞減,在當(dāng)?2>0即a<e當(dāng)?2<0【按理說這道題但這里也就結(jié)束了,但是我們需要驗(yàn)證其是否真的兩個零點(diǎn),接下來是取點(diǎn)】由?0=1由ex≥x+1?ex則27a327e27a=因此,該函數(shù)要想有兩個零點(diǎn),則a二、一二三零點(diǎn)（1）函數(shù)有一個零點(diǎn)的必要條件為函數(shù)單調(diào)或零點(diǎn)即極值點(diǎn)（曲線與x軸相切）.（2）函數(shù)有兩個零點(diǎn)的必要條件為極大值為正或極小值為負(fù)（3）函數(shù)有三個零點(diǎn)的必要條件為極大值與極小值異號(一)一個零點(diǎn)1.函數(shù)單調(diào)①已知fx=x解法一:f當(dāng)a≤0時,x≥0,f′當(dāng)a>0時,f′′x故x≥0,f′x≥綜上,解法二:由f′x易判斷該函數(shù)為偶函數(shù),因此使用洛必達(dá)法則可得其在x=0時取得通過取值判斷可以獲得其在0,+∞上為單調(diào)遞減函數(shù),故a綜上,2.零點(diǎn)即極值點(diǎn)幾何意義:函數(shù)圖像與x軸相切,僅一個交點(diǎn).代數(shù)意義:fx①(2016年江蘇)fx=ax+解:因?yàn)楹瘮?shù)gx=f所以0是函數(shù)gx的唯一零點(diǎn).因?yàn)間′xlna<0,lnb令?x=g從而對任意x∈R,?′于是當(dāng)x∈?∞,x0,因而函數(shù)gx在?∞,x0下證x0=0.若x0<又gloga2=aloga2+bloga2?2>aloga2<0,又x0若x0>0,同理可得,在x02因此,x0=0.于是?lna②fx=?2x+alnx+x2法一:f′x=2?lnx?由f′x=0得a=xx+1x?1?lnx=?x,?x單調(diào)遞增,?x>所以存在a∈0,1使得fx≥0在法二:由于fx≥0且fx0=0將?lnx0進(jìn)一步可分解為x由x0∈③fx=ex解:Fx又F′a+1>0又Fe?a=>所以Fx0=0設(shè)??x在0,1單調(diào)遞減,在所以存在x2∈1從而兩函數(shù)有且僅有一個公共點(diǎn)Px0(二)兩個零點(diǎn)1.已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若fx有兩個零點(diǎn),求a(I)fx的定義域?yàn)?∞,+∞(I)若a≤0,則f′x<(II)若a>0,則由f′當(dāng)x∈?∞,?lna時,f′x所以fx在?∞,?lna單調(diào)遞減,在(2)(I)若a≤0,由(1)知,(II)若a>0,由(1)知,當(dāng)x=?lnf①當(dāng)a=1時,由于f?ln②當(dāng)a∈1,+∞時,由于1?1③當(dāng)a∈0,1時,又f?2=ae設(shè)正整數(shù)n0滿足n0>ln由于ln3a?1>?ln綜上,a的取值范圍為0,(三)三個零點(diǎn)1.fx=x3?證:求導(dǎo)得其單調(diào)性,由f?12>0【同源練習(xí)】fx=x2.f（1）討論函數(shù)fx（2）若b=c?a(實(shí)數(shù)c、a無關(guān)),當(dāng)函數(shù)fx解:(1)f′x=當(dāng)a<0時,fx在?∞,0和當(dāng)a>0時,fx在?∞,?2a3（2）函數(shù)有三個不同零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)換為極大值與極小值異號即fc?a該不等式的解集為?∞,?3a3.fx=x解:當(dāng)a=0,當(dāng)a<0,f要想其有三個零點(diǎn),則f?afa設(shè)零點(diǎn)為x1、x由fx=所以f?a又f3>(四)討論零點(diǎn)個數(shù)1.已知函數(shù)fx=x3+ax+14解:當(dāng)x∈1,+∞時,g∴?x在當(dāng)x=1時,若a≥?54?x的零點(diǎn);若a<?54,則f1當(dāng)x∈0,1時,gx(I)若a≤?3或a≥0,則f′x=3x2+a在0,1無零點(diǎn),故fx在0(II)若?3<a<0,則fx在(0,?a3)單調(diào)遞減,在(?①若f?a3>0②若f?a3=0,即a③若f?a3<0,即?fx在0,1有兩個零點(diǎn);當(dāng)?3<綜上,當(dāng)a>?34或a<?54時,?x點(diǎn);當(dāng)?54<三、如何取點(diǎn)零點(diǎn)存在性定理:若fx在a,b上單調(diào),faf1.已知a>0,函數(shù)fx=lnx?(II)當(dāng)a=18時,fx=ln令gx=fx?f32.由于取x′=32e>2即存在x0∈2,+∞,使fx0=2.已知函數(shù)fx=4x3+3t解:當(dāng)t>0時,fx在0（1）當(dāng)t2≥1,即t≥2f所以對任意t∈[2,+∞),（2）當(dāng)0<t2<1,即0<ttf1=?6t2若所以fx在0,t2內(nèi)存在零點(diǎn).所以,對任意綜上,對任意t∈0,+∞3.已知函數(shù)fx=2sinx?x解:設(shè)gx=f當(dāng)x∈0,π2時,g′x>0;當(dāng)x∈π2,π時,所以f′x在4.已知函數(shù)fx=x?lnx,若a≤3解:令m=e?f所以,存在x0∈m所以,對于任意的a∈R及k∈0,+∞由fx=kx設(shè)?x=x其中g(shù)x=x2?ln故?gx?1+a≤?g16?1k>0,直線y=fx=至于λx取多少,我們只需要在?在此值得注意的是,?x【經(jīng)典例題】已知fx=lnx?推導(dǎo)證明:證fx=lnx?即lnx>λ>可取lnx>?1>x+答案解析:取x0=x0+1x【實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用】證明:f