流體動力學(xué)基礎(chǔ)1Chapter3BasisofFluidDynamics§3-1

PrefaceBasisofFluidDynamics

Thebackgrounds,fundamentalsandfundamentalequationsoffluiddynamics

allhavecertainrelationswitheachpartofengineeringfluidmechanics,sothischapteristheemphasesinthewholelessons.2第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)§3-1

引言流體動力學(xué)基礎(chǔ)

流體動力學(xué)的基礎(chǔ)知識，基本原理和基本方程與工程流體力學(xué)的各部分均有一定的關(guān)聯(lián)，因而本章是整個課程的重點(diǎn)。3§3-2

MethodstoDescribetheFluidMotionMethodstodescribethefluidmotion

：

1.Lagrange’smethodDefinition：

Lagrange’smethodistoconsiderthefluidparticlesasresearchobjectsandtoresearchthemotioncourseofeachparticle,andthengainthekineticregulationofthewholefluidthroughsynthesizingmotioninstancesofallbeingresearchedobjects.Theessentialoflagrangianmethodisamethodofparticlecoordinates.BasisofFluidDynamics4§3-2

描述流體運(yùn)動的方法描述流體運(yùn)動的方法：

一、拉格朗日法

定義：

把流體質(zhì)點(diǎn)作為研究對象，研究各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動歷程，然后通過綜合所有被研究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況來獲得整個流體運(yùn)動的規(guī)律，這種方法叫做拉格朗日法。實(shí)質(zhì)是一種質(zhì)點(diǎn)系法。流體動力學(xué)基礎(chǔ)5

whenweuselagrange’smethodtodescribethefluidmotionthepositioncoordinatesofmotionparticlesarenotindependentvariablesbutfunctionsoforiginalcoordinatea,b,candtimevariablet,thatis（3—1）

Inthisformula,a,b,candtareallcalledlagrangianvariables.Differentparticleshavedifferentoriginalcoordinates.Difficultieswillbemetwhenusinglagrange’smethodtoanalyzefluidmotiononmathexceptforfewerinstances(suchasresearchingwavemotion).Euler’smethodisusedmostlyinfluidmotion.BasisofFluidDynamics6

用拉格朗日法描述流體的運(yùn)動時(shí)，運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)不是獨(dú)立變量，而是起始坐標(biāo)a、b、c和時(shí)間變量t的函數(shù)，即（3—1）

式中a，b，c，t統(tǒng)稱為拉格朗日變量，不同的運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)，起始坐標(biāo)不同。

用拉格朗日法分析流體運(yùn)動，在數(shù)學(xué)上將會遇到困難。除少數(shù)情況外（如研究波浪運(yùn)動），在流體運(yùn)動中多采用歐拉法。流體動力學(xué)基礎(chǔ)72.Euler’smethod

Definition：

WhenweuseEuler’smethodtodescribefluidmotionthemotionfactorsarecontinuousdifferentialfunctionsofspacecoordinatesx,y,zandtimevariablet.x,y,zandtarecalledEuler’svariables.Sothevelocityfieldcanbeexpressedbythefollowingformulas:（3—2）

Withaviewtothespacepointsinthefluidfield(thespacefullofmotionfluid)withoutresearchingthemovingcourseofeachparticle.ItistosynthesizeenoughspacepointstogaintheregulationofthewholefluidbyobservingtheregulationsofmotionfactorsofparticleflowingviaeachspacepointchangingwithtimewhichiscalledEuler’smethod(fluidfieldmethod).BasisofFluidDynamics8二、歐拉法

定義：

用歐拉法描述流體的運(yùn)動時(shí)，運(yùn)動要素是空間坐標(biāo)x，y，z和時(shí)間變量t的連續(xù)可微函數(shù)。x，y，z，t稱為歐拉變量，因此

速度場可表示為：（3—2）

不研究各個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動過程，而著眼于流場（充滿運(yùn)動流體的空間）中的空間點(diǎn)，即通過觀察質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)每個空間點(diǎn)上的運(yùn)動要素隨時(shí)間變化的規(guī)律，把足夠多的空間點(diǎn)綜合起來而得出整個流體運(yùn)動的規(guī)律，這種方法叫做歐拉法（流場法）。流體動力學(xué)基礎(chǔ)9Pressurefieldanddensityfieldcanbeexpressedas:

（3—3）

（3—4）

Intheformula（3—2）x，yandzaremotioncoordinatesoffluidparticlesattimetandnamelyarefunctionsoftimevariablet.Soaccordingtotheprincipleofcompoundfunctiondifferentiateandalsothinkoverthefollowingformulas:Theaccelerationcomponentsindirectionofspacecoordinatesofx,y,zare:（3—5）BasisofFluidDynamics10壓強(qiáng)和密度場表示為：

（3—3）

（3—4）

式（3—2）中x，y，z是流體質(zhì)點(diǎn)在

t

時(shí)刻的運(yùn)動坐標(biāo)，即是時(shí)間變量

t

的函數(shù)。因此，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，并考慮到可得加速度在空間坐標(biāo)x，y，z方向的分量為（3—5）流體動力學(xué)基礎(chǔ)11Thevectorexpressionis（3—5a）InitAccelerateisconsistedbyLocalaccelerate:whichshowsthevarietyofvelocityoffluidparticlesthroughfixedspacepointschangingwithtime.Migratoryaccelerate

whichshowsvarianceratioofvelocitybroughtbythechangeofspacesituationoffluidparticles.

WhenusingEuler’smethodtoqueryvarianceratioofothermotionfactorsoffluidparticlechangingwithtimethenormalformulais（3—6）iscalledtotalderivative

，iscalledlocalderivative，iscalledmigratoryderivative.BasisofFluidDynamics12矢量式為（3—5a）其中加速度的組成當(dāng)?shù)丶铀俣取１硎就ㄟ^固定空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化。遷移加速度。表示流體質(zhì)點(diǎn)所在空間位置的變化所引起的速度變化率。

用歐拉法求流體質(zhì)點(diǎn)其它運(yùn)動要素對時(shí)間變化率的一般式子為（3—6）稱為全導(dǎo)數(shù)，為當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，為遷移導(dǎo)數(shù)。流體動力學(xué)基礎(chǔ)13§3-3

BasicConceptsofFluidMotion

1.Stationaryflowandnonstationaryflow

Definition：Infactualengineeringproblems,motionfactorsofquiteafewunsteadyflowchangingwithtimeveryslowlywhichcanbetreatedassteadyflowproblems

approximatively.Orelseitiscallednonstationaryflow.

Ifallmotionfactorsofeachspacepointonfluidfielddon’tchangewithtime,thiskindofflowiscalledsteadyflow.thatis:BasisofFluidDynamics14§3-

3流體運(yùn)動的基本概念一、定常流動與非定常流動

定義：

在實(shí)際工程問題中，不少非定常流動問題的運(yùn)動要素隨時(shí)間變化非常緩慢，可近似地作為定常流動來處理。否則，稱為非定常流動。

若流場中各空間點(diǎn)上的一切運(yùn)動要素都不隨時(shí)間變化，這種流動稱為定常流動。即流體動力學(xué)基礎(chǔ)152.TraceandStreamlineDefinition：

Figure3—1TraceAccordingtothedifferentialequationoftracelineis（3—7）WhenusingLagrangemethodtodescribefluidmotiontheconceptoftracelineisintroduced(1).Trace

Onspecialsituation(x,y,z)thetrackofacertainfluidparticlemoveingwithtimeisshowninFigure3-1.BasisofFluidDynamics16二、跡線和流線

定義：

圖3—1跡線

根據(jù)跡線微分方程為（3—7）流體動力學(xué)基礎(chǔ)用拉格朗日法描述流體運(yùn)動引進(jìn)跡線概念。1、跡線

特定位置（x，y，z）處某流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間推移所走的軌跡。如圖3—1所示。17

Figure3—2streamline

Definition：(2).StreamlineWhenusingEuler’s

methodtodescribefluidmotionvividlytheconceptofStreamline

isintroduced

Astreamlineisacurvewhichisdrawedonfluidfieldinacertaininstant.Onthiscurvevelocityvectorofallparticlesaretangentwiththecurve.JustasshowninFigure3—2。Iftheformula(3-8)isexpressedbyprojectionform，thenitis

Thedifferentialequationofstreamline:

Supposethevelocityvectorofacertainpointonsrteamlineisthemicrounitsegmentvectoronstreamlineis,Accordingtothedefinitionofstreamlinethedifferentialequationexpressedbyvectoris（3—8）（3—8a）BasisofFluidDynamics18

圖3—2流線2、流線

定義：流線的微分方程：

設(shè)流線上一點(diǎn)的速度矢量為流線上的微元線段矢量根據(jù)流線定義，可得用矢量表示的微分方程為（3—8）若寫成投影形式，則為（3—8a）流體動力學(xué)基礎(chǔ)用歐拉法形象地對流場進(jìn)行幾何描述，引進(jìn)了流線的概念。

某一瞬時(shí)在流場中繪出的曲線，在這條曲線上所有質(zhì)點(diǎn)的速度矢量都和該曲線相切，則此曲線稱為流線。如圖3—2。19

[example3—1]GiventhatthevelocityfiledisInit,kisconstant,trytoquerythestreamlineequation.fromformula（3—8a）wecangetintegralofitis

[solution]Accordingtoand

wecanobtainthatthefluidmotionisonlylimittotheupperhalfplaneof.JustasshowninFigure3—3,theflowingstreamlinesareagroupofequiangular

hyperbolas.Figure3—3hyperbolicstreamline

(1)Onnormalcircumstancestreamlinescan’tintersect,moreoveritmustbesmoothedcurves.(2)Ontheconditionofsteadyflowtheshapeandsituationcan’tchangewithtime.charactersofstreamline:BasisofFluidDynamics20[例題3—1]已知速度場為其中k為常數(shù)，試求流線方程。由式（3—8a）有積分上式的流線方程為如圖3—3所示，該流動的流線為一族等角雙曲線。

流線的性質(zhì)：[解]根據(jù)及可知流體運(yùn)動僅限于的上半平面。圖3—3雙曲流線流體動力學(xué)基礎(chǔ)

（1）一般情況下，流線不能相交，且只能是一條光滑曲線；（2）在定常流動條件下，流線的形狀、位置不隨時(shí)間變化，且流線與跡線重合。213.Streamtube,streamflowandcrosssectionofflowDefinition:Figure3—4streamtubeFigure3—5streamflowandwholestreamFigure3—6crosssectionofflow(1).Streamtube

TakearandomclosecurveConfluidfield,drawstreamlinesviaeverypointsonC,thepipesurroundedbythesestreamlinesiscalledstreamtube.AsshowninFigure3—4.

Becausestreamlinescan’tintersectfluidparticlesonlycanflowinthestreamtubeorviathesurfaceofflowpipeoneachtimebutcan’tgothroughthestreamtube.sothestreamtube

justlikesareallytube.BasisofFluidDynamics22三、流管、流束與過流斷面

定義：

圖3—4流管圖3—5流束和總流圖3—6過流斷面

由于流線不能相交，所以各個時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)只能在流管內(nèi)部或沿流管表面流動，而不能穿越流管，故流管仿佛就是一根真實(shí)的管子。流體動力學(xué)基礎(chǔ)1、流管

在流場中取任意封閉曲線C，經(jīng)過曲線C的每一點(diǎn)作流線，由這些流線所圍成的管稱為流管。如圖3—4所示。23(2)StreamflowThesummationofallstreamlinesinstreamtube

iscalledstreamflow.Thestreamwhosesectionsisinfinitesimaliscalledelementaryflow.AsinFigure3-5thestreamtubewhosesectionis.Thesummationofcountlesselementaryflowiscalledwholestream.Definition：

(3)Crosssectionofflow

Whenallthestreamlineswhichconsistthestreamlinetubekeepparallelthe

crosssectionisaplaneorelsethe

Crosssectionisacurvesurface.

Thetransectswhichkeeporthogonalwithallthestreamlinesinthestreamlinetubearecalled

crosssectionofflow.AsshowninFigure3-6.Definition：BasisofFluidDynamics242、流束3、過流斷面

當(dāng)組成流束的所有流線互相平行時(shí)，過流斷面是平面；否則，過流斷面是曲面。流體動力學(xué)基礎(chǔ)流管內(nèi)所有流線的總和稱為流束。斷面無窮小的流束稱為微小流束，（元流）如圖3—5中斷面為的流束。無數(shù)微小流束的總和稱為總流。

定義：

與流束中所有流線正交的橫斷面稱為過流斷面。如圖3—6所示。定義：254.Dischargeandaveragevelocityofsection(1).Discharge

Definition：

Twokindsofexpressingmethods:Themethodwhichisexpressedbythefluidvolumeinunittimeiscalledvolumetricflowrateordischarge.ThatisThemethodwhichisexpressedbythefluidmassinunittimeiscalledmassflow.Thatis.Thedischargeflowingviatherandomcurvedsurfaceis（3—10）ThefluidquantitythroughacertainspatialcurvedsurfaceinunittimeiscalledDischarge

.Inthisformulaisthecosineofinclinationofvelocityvectorandtheunitvectorinnormalorientationofinfinitesimalarea.BasisofFluidDynamics26四、流量與斷面平均速度1、流量

定義：

兩種表示方法：以單位時(shí)間通過的流體體積表示，稱為體積流量（流量），記為以單位時(shí)間通過的流體質(zhì)量表示，稱為質(zhì)量流量，記作流經(jīng)任意曲面的流量（3—10）

式中為速度矢量與微元面積法線方向單位矢量的夾角余弦。流體動力學(xué)基礎(chǔ)單位時(shí)間內(nèi)通過某一特定空間曲面的流體量稱為流量。27(2).Averagevelocityofsection5.One-,two-,andthreedimensionalflow（3—11）Itisaveragevelocityofsection.ThedischargeQflowingacrossthecrosssectionofflowisdividedbyareaofcrosssectionA.namelydefinition：

Themotionfactorwhichisthefunctionofacoordinateiscalledone-dimensionalflow.Themotionfactorwhichisthefunctionoftwocoordinatesiscalledtwo-dimensionalflow.Themotionfactorwhichisthefunctionofthreecoordinatesiscalledthree-dimensionalflow.definition：BasisofFluidDynamics282、斷面平均流速五、一元流動、二元流動、與三元流動

流體動力學(xué)基礎(chǔ)（3—11）即為斷面平均速度。流經(jīng)過流斷面的體積流量Q除以過流斷面面積A，即定義：

運(yùn)動要素是一個坐標(biāo)的函數(shù)，稱為一元流動。運(yùn)動要素是二個坐標(biāo)的函數(shù)，稱為二元流動。運(yùn)動要素是三個坐標(biāo)的函數(shù)，稱為三元流動。定義：29§3-4ContinuityEquationTakeainfinitesimalhexahedrononarandompointinfluidfield.asshowninFigure3—7。Themassofitchangeswithspaceandtime.(1)Spacechange

Figure3—7forexample：forthexorientationthemassflowingintothehexahedroninunittimeis.themassflowingoutofitistheincreasedmassisAlso,theincreasedmassofyandzorientationareseparatelyand

()()dzzdxdyudyydxdzuzyú?ùê?é??-ú?ùê?é??-rr

BasisofFluidDynamics30§3-4連續(xù)方程式

在流場的任意點(diǎn)處取微元六面體，如圖3—7。六面體中的質(zhì)量隨空間和時(shí)間變化。（1）空間變化

圖3—7

例如：對于x軸方向，單位時(shí)間流入微元六面體的質(zhì)量為流出的質(zhì)量為其質(zhì)量增加為同樣y、z軸方向的質(zhì)量增加分別為流體動力學(xué)基礎(chǔ)31namely（3—12）

physicalmeaning：

Theincreasedquantityofmassinspaceshouldequaltotheincreasedquantityofmassbecauseofthedensitychange.（2）Timechange

Supposethequalitystrengthintheinfinitesimal

hexahedronis

atanytime.Inunittimeitturnsinto,becausethechangeofdensitytheincreasedmassintheinfinitesimal

hexahedroninunittimeisAccordingtothelawofmassconservationthecontinuityequationoffluidmotionis：dxdydz+r()tdxdydz??rBasisofFluidDynamics32（2）時(shí)間變化

設(shè)任意時(shí)刻微元六面體內(nèi)的質(zhì)量力為，單位時(shí)間內(nèi)變?yōu)?，所以由于密度的變化單位時(shí)間內(nèi)微元六面體內(nèi)增加的質(zhì)量為

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，流體運(yùn)動的連續(xù)方程式為：即（3—12）

物理意義：

流體動力學(xué)基礎(chǔ)

空間上質(zhì)量的增加量應(yīng)該等于由于密度變化而引起的質(zhì)量增加量。33（1）Steadycompressiblefluid，thenformula（3—12）turnsinto（3—13）（3—14）Incolumncoordinatesystemcontinuityequationis（3—15）Initarecomponentsofvelocityuoncoordinates.

Inspherecoordinatesystemcontinuityequationis（3—15a）（2）incompressiblefluid，isconstant，thenformula(3—12)turnsintorBasisofFluidDynamics34（1）恒定壓縮性流體，，則式（3—12）變?yōu)椋?—13）（3—14）在柱坐標(biāo)系中，連續(xù)方程式為（3—15）式中是速度u

在坐標(biāo)上的分量。在球坐標(biāo)系中，連續(xù)方程式為（3—15a）流體動力學(xué)基礎(chǔ)（2）非壓縮性流體，常數(shù)，則式（3—12）變?yōu)?5§3-5MotionDifferentialEquationofIdealFluid

Atlastsectionthecontinuityequationwasdiscussed.Itreflectstheconditionsthatvelocityfieldoffluidmotionmustsatisfy.Itisakinematicsequation.Nowletusanalyzethekinematicsrelationsbetweenthestressandmotionoffluid.Thatistobuildthekinematicsequationofidealfluid1.MotionDifferentialEquationofIdealFluid（Euler’sequation）

Considertheinfinitesimalright-angledhexahedronwhoselengthofsidesare,asshowninFigure3—8.InitthecoordinateofpointAis，theoutsideforcesactonthisright-angledhexahedronaretwokinds:surfacepressureandqualitystrengthSupposetheunitqualitystrengthsonthex,yandzorientationareandthedensityofthefluidis，thenthreecomponentsofaccelerationare,,zyxfffBasisofFluidDynamics36§3-5理想流體的運(yùn)動微分方程

上節(jié)討論了連續(xù)性方程，它反映了流體運(yùn)動速度場必須滿足的條件，這是一個運(yùn)動學(xué)方程。現(xiàn)在我們分析流體受力及運(yùn)動之間的動力學(xué)關(guān)系，即建立理想流體動力學(xué)方程。一、理想流體運(yùn)動微分方程（歐拉方程）

設(shè)在x，y，z軸方向上的單位質(zhì)量力為又設(shè)流體的密度為，加速度的三個分量為流體動力學(xué)基礎(chǔ)

考慮如圖3—8所示的邊長為的微元直角六面體，其中角點(diǎn)A坐標(biāo)為，作用在此直角六面體上的外力有兩種：表面壓力和質(zhì)量力。37Accordingtothenewton’ssecondlawthemotionequationonxorientationisAftersimplifyingtheupperformulatheresultis（3—16）InasimilarwayFigure3—8dtdudxdydzdydzxpppdydzdxdydzfxrr=???è???+-+Inthisformula()

ispressure。zyxpp,,=BasisofFluidDynamics38根據(jù)牛頓第二定律得x方向的運(yùn)動方程式為式中上式簡化后得（3—16）同理流體動力學(xué)基礎(chǔ)

圖3—839Substitutetheformula(3—5）intotheformula（3—16）theresultis

theuppertwoformulasaremotiondifferentialequationofidealfluid.TheyarealsocalledEuler’smotiondifferentialequation.

Inthisformulax，y，zandtarefourvariables.arefunctionsofx，y，zandtandareunknownquantity.arealsofunctionsofx，yandz，theyarenormallyknown.BasisofFluidDynamics（3—17）40將式（3—5）代入式（3—16）則得

上面二式即是理想流體運(yùn)動的微分方程式，也叫做歐拉運(yùn)動微分方程式。

式中x，y，z，t為四個變量，為x，y，z，t的函數(shù)，是未知量。也是x，y，z的函數(shù)，一般是已知的。流體動力學(xué)基礎(chǔ)（3—17）41oncolumncoordinatesystemEuler’smotiondifferentialequationis（3—18）zuuruuruutuzpfruuzuuruuruuturpfruzuuruuruuturpfzzzzrzzrzrrzrrrrr??+??+??+??=??--??+??+??+??=??--??+??+??+??=??-qrqqrqrqqqqqqJqqq2intheformula,andarecomponentsofvelocityuoncoordinateaxis.arecomponentsofoutsideforceofunitmassonthecoordinateaxisofrespectively.ur?u?quz?BasisofFluidDynamics42

在柱坐標(biāo)系中，歐拉運(yùn)動微分方程為（3—18）流體動力學(xué)基礎(chǔ)

又式中是速度u在坐標(biāo)軸上的分量。分別是單位質(zhì)量的外力在坐標(biāo)軸上的分量。43§3-6BernoulliEquation

andItsApplicationBernoulliequationistheembodimentofthelawofconversationandtranslationofenergyinfluidmechanics.1.BernoulliequationoftheidealfluidsMultiplytheformula（3—16）byseparatelyandthensummatealltheend,sowecanobtain(3—19）UnderthesteadyconditionsBasisofFluidDynamics44§3-6伯努利方程及其應(yīng)用

伯努利方程是能量守恒與轉(zhuǎn)換定律在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)。一、理想流體的伯努利方程將式（3—16）中各式分別乘以。相加得(3—19）在穩(wěn)定條件下流體動力學(xué)基礎(chǔ)45sosubstituteitintotheformula（3—19）,theendisinadditional，whenfluidkeepsinsteadyflowthestreamlinesandtracesarecoincidentandparticlesmovesalongstreamlines,SothevelocitycomponentsofstreamlinesareBasisofFluidDynamics46

此外，穩(wěn)定流時(shí)流線與跡線重合，質(zhì)點(diǎn)沿流線運(yùn)動，故流線上速度分量為因此代入式（3—19）流體動力學(xué)基礎(chǔ)47

physicalmeaning：

Thekineticenergyofunitgravityfluidoriscalledspecifickineticenergy.—Thepressureenergyofunitgravityfluidoriscalledspecificenergyofpressure.—Thepotentialenergyofunitgravityfluidoriscalledspecificenergyofposition

—gugpz22r(3—20）

Theformula（3—20）isBernoulliEquationoftheunitqualityincompressiblefluidalongstreamlinesunderthesteadyflowconditions.Forrandomtwopointsonthesamestreamlinetheupperformulacanberewritedas（3—21）theintegralforit

Fortheincompressiblefluidwhosequalitystrengthisonlythegravitytheupperorientationofzaxisispositive.Sotheupperformulacanberewritedas.BasisofFluidDynamics48

對于質(zhì)量力只有重力的不可壓縮流體，z軸垂直向上為正，則上式可寫成，積分上式得(3—20）

式（3—20）就是單位質(zhì)量不可壓縮理想流體在穩(wěn)定流條件下沿流線的伯努利方程式。

對于同一流線上任意兩點(diǎn)，上式可寫成（3—21）

物理意義：

流體動力學(xué)基礎(chǔ)492.Bernoulliequationonthecollectionofstream（3—22）

init，afterdoingintegralweobtainthatthewholemechanicalenergyrelationshipthroughtwocrosssectionsofwholefluidis

Multiplyeachitemoftheformula（3—21）by，thenthemechanicalenergyrelationshipofthewholefluidthroughtwocrosssectionsofflow

ofinfinitesimalstreamlinetubeinunittimeisInpracticeweoftenneedtosolvethewholefluidflowingproblems.Suchastheproblemsthatfluidsflowinpipesorchannels.Soweneedextendittothewholefluidbydoingintegraloncrosssectionofflowadditionally.BasisofFluidDynamics50二、總流上的伯努利方程（3—22）

其中，積分得通過總流兩過流斷面的總機(jī)械能之間的關(guān)系式為

將式（3—21）各項(xiàng)同乘以，則單位時(shí)間內(nèi)通過微元流束兩過流斷面的全部流體的機(jī)械能關(guān)系式為

在工程實(shí)際中要求我們解決的往往是總流流動問題。如流體在管道、渠道中的流動問題，因此還需要通過在過流斷面上積分把它推廣到總流上去。流體動力學(xué)基礎(chǔ)51init（1）isthesummationofpotentialenergyandpressureenergywhichgothroughthecrosssectionoffluidinunittime.Onthesuddenlychangedsection，theofeachpointisnotconstantanddointegralofitdifficultly.Onthegradualchangesectionthedistributionofthedynamicalpressureaccordstothestaticpressureapproximately,theofeachpointisconstant.（3—33）

Soifchooseaareaofwaterwayongradualchangesections,thenBasisofFluidDynamics52

其中（1）它是單位時(shí)間內(nèi)通過總流過流斷面的流體位能和壓能的總和。

在急變流斷面上，各點(diǎn)的不為常數(shù)，積分困難。在漸變流斷面上，流體動壓強(qiáng)近似地按靜壓強(qiáng)分布，各點(diǎn)的為常數(shù)。（3—33）因此，若將過流斷面取在漸變流斷面上，則積分流體動力學(xué)基礎(chǔ)53（2）isthesummationoffluidmechanicalenergywhichgothroughthecrosssectionofwholefluidinunittime.Becausethevelocitydistributiononcrosssection

isdifficulttoconfirmtheaveragevelocityisoftenusedtodenotethefactualkineticenergyonengineering.namely（3—34）

intheformulaisthekinetic-energycorrectionfactor.

（3—35）Onengineeringcalculationisoftenused.BasisofFluidDynamics54（2）它是單位時(shí)間內(nèi)通過總流過流斷面的流體動能的總和。由于過流斷面上的速度分布一般難以確定，工程上常用斷面平均速度來表示實(shí)際動能，即（3—34）

式中為動能修正系數(shù)

（3—35）

工程計(jì)算中常取。流體動力學(xué)基礎(chǔ)55substitutetheformulas（3—34）and（3—35）into（3—33）,simplifyitwhenconsideringthestableflow，theendis（3—36）

ThisistheBernoulliequationofcollectionstreamofidealfluid.（3—37）whereSothefactualBernoullisequationofwholefluidis

Thefactualfluidhasviscosity.Becausetheinternalfrictionalresistancesbetweenthefluidlayersdoworkaportionofmechanicalenergyisconsumedandturnsintoheatenergy.Theaverageenergyloss

ofunitgravityfluidbetweentwoareasofwaterway1and2onwholefluid.

—21-￠hBasisofFluidDynamics56

將式（3—34）、（3—35）代入式（3—33）中考慮到穩(wěn)定流動時(shí)，，化簡后得（3—36）

這就是理想流體總流的伯努利方程。（3—37）式中因此實(shí)際流體總流的伯努利方程為：

實(shí)際流體有粘性，由于流層間內(nèi)摩擦阻力作功會消耗部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能。流體動力學(xué)基礎(chǔ)573.Applicationsofbernoulliequation

[example3—2]Therelativepositionofafirefightinghose,nozzleandpumpisexpressedinFigure3—9。Theexitpressureofpump(thepressureonpointA)is2atmosphere

(gagepressure).Thesectiondiameterofdischargetubeofpumpis50mm；Thediameterofthenozzleexitis20mm；theheadlossoffirehoseissupposed0.5m；thewaterheadlossofnozzleis0.1m。Trytoquerythevelocityofflowonnozzleexit,displacementofpumpandthepressureonpointB.pumpFigure3—9forexample3—2(1)NormalirrigationcalculationBasisofFluidDynamics58三、伯努利方程的應(yīng)用

[例題3—2]一救火水龍帶，噴嘴和泵的相對位置如圖3—9。泵出口壓力（A點(diǎn)壓力）為2個大氣壓（表壓），泵排出管斷面直徑為50mm；噴嘴出口C的直徑20mm；水龍帶的水頭損失設(shè)為0.5m；噴嘴水頭損失為0.1m。試求噴嘴出口流速、泵的排量及B點(diǎn)壓力。泵

圖3—9例3—2圖1、一般水力計(jì)算流體動力學(xué)基礎(chǔ)59[solution]TheenergyequationforAandCsectionsare

ThehorizontalfaceacrossthepointAisdatumplane，soand(inair).ThespecificgravityofwaterisAccelerationofgravityis;theheightofwatercolumnis,namely；substitutingeachvariableintotheenergyequation,wegetBasisofFluidDynamics60[解]取A、C兩斷面寫能量方程：

通過A點(diǎn)的水平面為基準(zhǔn)面，則；（在大氣中）；水的重度重力加速度；水柱，即

將各量代入能量方程后，得流體動力學(xué)基礎(chǔ)61thevelocityofflowofnozzleexitisThedisplacementofpumpisinordertocalculatethepressureonpointB，chooseBandCsectionstocalculate，namelyDohorizontaldatumplaneacrosspointB.thenSubstitutethemintotheequationThepressureisBasisofFluidDynamics62解得噴嘴出口流速為。而泵的排量為為計(jì)算B點(diǎn)壓力，取B、C兩斷面計(jì)算，即

通過B點(diǎn)作水平面基準(zhǔn)面，則代入方程得解得壓力流體動力學(xué)基礎(chǔ)63(2)Throttleflowmeter

Nowuseventuri

asanexampletodeducetheformulaofcalculatingtheflux.

Venturi

isakindofapparatustomeasurethefluidfluxintheconduitunderpressure.Itisconsistedbythreeparts.Theyareslickconstrictedsection、throatandexpansionsection.AsshowninFigure3—10..

Thefluidsectioncontractsastheliquidintheconduitflowsviathethrottleequipment.Theincreasingofvelocityofflowandthefallingofpressureonthecontractingsectionbringthedifferentialpressureontheforwardandbackwardofthethrottleequipment.fundamentalprinciples:species：hole-plate,nozzleandconic(venturi)Figure3—12venturiflowmeterBasisofFluidDynamics642、節(jié)流式流量計(jì)

下面以文丘利管為例，推導(dǎo)流量計(jì)算公式。

文丘利管是一種測量有壓管道中流體流量的儀器，它由光滑的收縮段、喉道和擴(kuò)散段三部分組成。如圖3—10所示。

當(dāng)管路中液體流經(jīng)節(jié)流裝置時(shí)，液流斷面收縮，在收縮斷面處流速增，壓力降低，使節(jié)流裝置前后產(chǎn)生壓差。

基本原理：分類：孔板、噴嘴和圓錐式（文丘利管）流體動力學(xué)基礎(chǔ)圖3—12文丘里流量計(jì)65Choosesections1—1and2—2.Calculationpointsareallonconduit.Datumplane0—0isonafixedpositionundertheconduitandassume.Forthetwoareasofwaterway1—1and2—2BernoulliequationsofwholefluidareObtainfromcontinuityequationConnectabovetwoformulastoobtainBasisofFluidDynamics66

取斷面1—1和2—2，計(jì)算點(diǎn)均取在管道上，基準(zhǔn)面0—0置于管道下方某一固定位置，并取。對1—1、2—2兩過流斷面列總流的伯努利方程有由連續(xù)性方程可得聯(lián)立上面二式可得流體動力學(xué)基礎(chǔ)67SothevolumefluxthroughtheflowmeterisConsidertheinfluenceoffluidviscositytherightoftheaboveformulashouldmultiplyaauxiliaryvalueoffluxm.then（3—38））(normally99.0~95.0=mBasisofFluidDynamics68

故通過流量計(jì)的體積流量為考慮到流體粘性的影響，上式右端需乘以一個流量修正系數(shù)則（3—38）流體動力學(xué)基礎(chǔ)69(3).PitottubePitottubeisaapparatuswhichtransformsthekineticenergyoffluidintopressureenergyandthenusesmanometertomeasurethemotionvelocityoffluid。Itisusuallyusedtomeasurethevelocityofflowinthecannal,openchannalandairconduitandalsotomeasuretheobjectmotionvelocityinfluidsuchasshipsandairplanesetc

simplepitot

complexpitot1,2Pitottubehavesimpleoneandcomplexone.Theirorganandmeasurementprincipleareshowninthebelowfigures.BasisofFluidDynamics70流體動力學(xué)基礎(chǔ)3、畢托管

畢托（Pitot）管是指將流體動能轉(zhuǎn)化為壓能，進(jìn)而通過測壓計(jì)測定流體運(yùn)動速度的儀器。常用于測量河道、明渠、風(fēng)管中的流速，還可測量物體在流體中的運(yùn)動速度，如船舶、飛機(jī)等的航行速度測量可用畢托管。畢托管有簡單和復(fù)合之分，其機(jī)構(gòu)及測量原理如圖所示。

簡易畢托管

復(fù)合畢托管1、271

Thesimplepitottubewasdesignedbasedontheprinciplethatthesurfaceofliquidinthetubeascendsbecausethevelocityofstagnationofarrestpointiszeroandthekineticenergytransformsthepressureenergy.Therearetw