專題11三角函數(shù)概念、誘導(dǎo)公式及恒等變換（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布三角函數(shù)概念、誘導(dǎo)公式及恒等變換近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2021年全國(guó)乙（文科），第6題,12分誘導(dǎo)、二倍角公式2021年全國(guó)甲（理科），第9題,5分2023年全國(guó)甲（文科），第11題,5分同角公式、恒等變換已知最值求參2022年全國(guó)甲（理科），第8題,5分求弧長(zhǎng)2023年全國(guó)甲（理科），第7題,5分同角公式邏輯關(guān)系2023年全國(guó)甲（理科），第13題,5分2023年全國(guó)甲（文科），第14題,5分誘導(dǎo)公式二次函數(shù)2023年全國(guó)乙（文科），第14題,5分同角公式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內(nèi)容為高考常考內(nèi)容，主要以選擇、填空題為主；2.?？碱}型：（1）求弧長(zhǎng)扇形面積；（2）任意角的三角函數(shù)值；（3）同角公式的應(yīng)用；（4）誘導(dǎo)公式的應(yīng)用；（5）恒等變換的應(yīng)用；?？迹簝山呛筒罟?、二倍角公式、輔助角公式等；技巧：誘導(dǎo)公式中的拆、配角、恒等變換的巧變角、給值求值、角等.【備考策略】1.了解任意角的概念、弧長(zhǎng)扇形面積公式，熟練掌握終邊在特殊位置的角的表示；2.掌握任意角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟練16個(gè)特殊角的三角函數(shù)值；3.理解同角公式的本質(zhì)，會(huì)用其解決“知一求二”問(wèn)題，解決充分必要性問(wèn)題；4.理解誘導(dǎo)公式的本質(zhì)，會(huì)用其化簡(jiǎn)求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式中的拆、配角；5.會(huì)熟練應(yīng)用兩角和差、二倍角等公式化簡(jiǎn)求值，熟練求值、角中的巧變角問(wèn)題；6.熟練掌握給值求值、角，給角求值問(wèn)題；7.會(huì)使用和差化積、積化和差公式?！久}預(yù)測(cè)】1.通過(guò)同角公式、恒等變換化簡(jiǎn)求值，根據(jù)最值問(wèn)題求參；2.兩角和差公式與二倍角公式的應(yīng)用；3.給值求值、角，給角求值問(wèn)題；知識(shí)講解一、角的概念的推廣1.任意角(1)定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.(2)分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

2.所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.

3.軸線角:使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么角的終邊(除頂點(diǎn)外)在什么軸上,我們就說(shuō)這個(gè)角是什么軸線角.軸正半軸上的角：軸負(fù)半軸上的角：軸上的角：軸正半軸上的角：軸負(fù)半軸上的角：或軸上的角：4.象限角:使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么角的終邊(除頂點(diǎn)外)在第幾象限,我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：或二、弧度制的定義和公式1.定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角.

2.角度制和弧度制的互化:180°=πrad，1°=rad，1rad=≈(57.3)°.

3.扇形的弧長(zhǎng)公式:,扇形的面積公式:.三、任意角的三角函數(shù)值1.定義:設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0);

若α的終邊上有一點(diǎn)P(x,y)(與原點(diǎn)O不重合),則sinα=，cosα=，tanα=(x≠0)，其中r=x2+y22.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.兩個(gè)重要結(jié)論(1)單位圓上任意一點(diǎn)可設(shè)為(cosθ,sinθ)(θ∈R).

(2)若α∈,則sinα<α<tanα.1.給定一個(gè)角判斷它是第幾象限角的思路判斷角α是第幾象限角的常用方法:將α寫成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范圍內(nèi))的形式,觀察角β的終邊所在的象限即可.2.分角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思維模式:由欲求想需求,由已知想可知,抓住內(nèi)在聯(lián)系,確定解題方略.(2)由α的象限確定2α的象限時(shí),應(yīng)注意2α可能不再是象限角,對(duì)此特殊情況應(yīng)特別指出.如α=135°,而2α=270°就不再是象限角.四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.2.商數(shù)關(guān)系:.3.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形(1)(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;(2)sinα=tanαcosαα≠五、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2π2正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口訣函數(shù)名不變,符號(hào)看象限函數(shù)名改變,符號(hào)看象限【思考】誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為奇變偶不變,符號(hào)看象限,“奇”與“偶”是什么意思?“變”與“不變”是什么意思?“符號(hào)看象限”指的是什么?提示“奇”與“偶”指的是誘導(dǎo)公式k·π2+α中的整數(shù)k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化,若k是奇數(shù),則正、余弦互變;若k是偶數(shù),則函數(shù)的名稱不變.“符號(hào)看象限”指的是在k·π2+α中,將α看成銳角時(shí)k·π2+α所在的象限及k·π(1)誘導(dǎo)公式的求值負(fù)化正,大化小,化到銳角為終了.(2)含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知,在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.若兩個(gè)角之和等于π,則這兩個(gè)角互補(bǔ),可以利用π-α的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將所求與條件中的已知角聯(lián)系起來(lái),如π3+θ與2π3-θ,π4+θ與3π4-θ等,若兩個(gè)角之和等于π2,則這兩個(gè)角互余,可以利用π2-α的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將所求與條件中的已知角聯(lián)系起來(lái),如π3-α與π6+α,π3+α與π6-α,π4-α與π六、兩角和與差的余弦、正弦、正切公式Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;Sα-β:sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;Tα-β:tan(α-β)=tanαTα+β:tan(α+β)=tanα+tanβ1?tanαtanβ常用公式的變化形式:(1)1?tanα1+tanα=tanπ(2)1+tanα1?tanα=tanπ(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ);(4)tanαtanβ=1-tanα+tanβtan(α+β)=tanα-tanβtan(α七、二倍角公式sin2α=2sinαcosα;

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;

tan2α=.

八、半角的正弦、余弦、正切公式(1)sinα2=±1?cosα(2)cosα2=±1+cosα(3)tanα2=±1?cosα1+cosα=sinα1+cosα九、升(降)冪公式(1)降冪公式:cos2α=1+cos2α2，sin2α=1?cos2α(2)升冪公式:1+cos2α=2cos2α，1-cos2α=2sin2α..十、輔助角公式asinα+bcosα=a2+b2其中a，b為常數(shù)，sinφ=ba2+b2，cosφ=，，.十一、積化和差公式sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-βcosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-βcosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-βsinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]十二、和差化積公式sinx+siny=2sinx+y2cosx?ysinx-siny=2cosx+y2sinx?ycosx+cosy=2cosx+y2cosx?ycosx-cosy=-2sinx+y2sinx?y十三、萬(wàn)能公式sinα=2tanα21+tan2α2，，，(1)明確二倍角是相對(duì)的,如:α2是α4的2倍,3α是3α2(2)解題時(shí)注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征,注意利用整體思想解決相關(guān)問(wèn)題.(3)運(yùn)用公式時(shí)要注意公式成立的條件,要注意和、差、倍角的相對(duì)性,要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用,要注意“1”的各種變形.(4)在三角求值時(shí),往往要估計(jì)角的范圍后再求值.特別是在(0,π)內(nèi),正弦值對(duì)應(yīng)的角不唯一.(5)常用的拆角、配角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=α+β2-α-β2=(α+2α-β=(α-θ)+(θ-β);π4+α=π2-1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則2.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法:弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪.3.在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí),一般需要升次.給角求值問(wèn)題的解題規(guī)律解決給角求值問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握兩種變換:一是角的變換,注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(bǔ)(余)關(guān)系、倍半關(guān)系,從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消,從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù);二是結(jié)構(gòu)變換,在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、符號(hào)特征的基礎(chǔ)上,結(jié)合所求式子的特點(diǎn)合理地進(jìn)行變形.給值求值問(wèn)題的一般步驟:①化簡(jiǎn)條件中的式子或待求式子;②觀察條件與所求之間的聯(lián)系,從函數(shù)名稱及角入手;③將已知條件代入所求式子,化簡(jiǎn)求值.“給值求角”實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”,即通過(guò)求角的某個(gè)三角函數(shù)值來(lái)求角(注意角的范圍).在選取函數(shù)時(shí),應(yīng)遵循以下原則:①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù).②已知正弦或余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是0,π2,則選正、余弦函數(shù)皆可;若角的范圍是(0,π),則選余弦函數(shù);若角的范圍為-π三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,通過(guò)變換把函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì),解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征,注意利用整體思想解決相關(guān)問(wèn)題.考點(diǎn)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)值終邊上的角的表示1．（2021年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是弧長(zhǎng)、扇形面積公式2．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.任意角的三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題3．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.已知終邊上的坐標(biāo)求三角函數(shù)值4．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題意可知x=-4，y=3，r=5，所以.考點(diǎn)：三角函數(shù)的概念.1．三角方程的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】用誘導(dǎo)公式變形后，由余弦函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】，，，2．（2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科））如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【答案】B【分析】由題意首先確定面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值，此時(shí)∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運(yùn)算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時(shí)的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.3．已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角，4．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題意可知x=-4，y=3，所以=.考點(diǎn)：三角函數(shù)的概念.考點(diǎn)二、同角公式“知一求二”問(wèn)題1．若，則（）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】試題分析：由，得或，所以．【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式．【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系．2．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)）若，且為第四象限角，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵sina=,且a為第四象限角,∴，則，用同角公式解決邏輯關(guān)系3．（2023年全國(guó)甲卷理數(shù)數(shù)學(xué)試題）設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，例如但，即推不出；當(dāng)時(shí)，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.用同角公式解決“”型問(wèn)題4．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)3））已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.1．已知α是第四象限角，cosα＝，則sinα等于（

）A． B．－C． D．－【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系式以及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)即可解出．【詳解】由條件知α是第四象限角，所以，即sinα＝＝＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)平方關(guān)系式以及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)的應(yīng)用，屬于容易題．2．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，再由，在所得分式的分子和分母中同時(shí)除以，再代入的值計(jì)算即可得解.【詳解】由已知條件可知，點(diǎn)在直線上，則，，所以，.3．（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.4．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式判斷，即可得到，再由計(jì)算可得.【詳解】解：由，又，所以，所以，又，所以或（舍去），所以.考點(diǎn)三、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1．（2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)）等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】2．若，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：，且.【考點(diǎn)】三角恒等變換【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：（1）已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差．（2）已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補(bǔ)”關(guān)系．3．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.1．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，將所求的角轉(zhuǎn)化為特殊銳角，即可求解.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式求值，熟記公式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式將化簡(jiǎn)得到，再進(jìn)一步變形即可求解.【詳解】，則解得，.3．記，那么（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】,,從而，，那么，考點(diǎn)五、誘導(dǎo)公式中的拆、配角1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.2．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】,所以原式，點(diǎn)睛：三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時(shí)只要根據(jù)求解目標(biāo)的需要，結(jié)合已知條件選用合適的公式計(jì)算即可．本例應(yīng)用兩角和與差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角關(guān)系式使得已知條件可代入后再化簡(jiǎn)，求解過(guò)程中注意公式的順用和逆用.本題主要考查兩角和與差的公式.3．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=.【答案】【分析】由題求得θ的范圍，結(jié)合已知求得cos（θ），再由誘導(dǎo)公式求得sin（）及cos（），進(jìn)一步由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得tan（θ）的值．【詳解】解：∵θ是第四象限角，∴，則，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．則tan（θ）＝﹣tan（）．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正切，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．1．已知，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，化簡(jiǎn)則，從而可得結(jié)果.【詳解】，，故選C.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．2．若，則等于（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)，利用誘導(dǎo)公式得到，再由，利用二倍角公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?．函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x?)的最大值為A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，則,函數(shù)的最大值為.所以選A.【名師點(diǎn)睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變換把函數(shù)化為的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．考點(diǎn)六、兩角和差公式的應(yīng)用1．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））=（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】原式===，故選D.考點(diǎn)：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式.2．若，則．【答案】【分析】首先根據(jù)正余弦的平方關(guān)系求出的值，再利用余弦兩角和公式化簡(jiǎn)，把得到的，代入即可．【詳解】解：若，3．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文數(shù)（全國(guó)卷II））已知，則．【答案】【分析】方法一：利用兩角差的正切公式展開，解方程可得.【詳解】［方法一］：直接使用兩角差的正切公式展開因?yàn)?，所以，解之得．［方法二］：整體思想＋兩角和的正切公式．［方法三］：換元法＋兩角和的正切公式令，則，且．．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接利用兩角差的正切公式展開，解方程，思路直接；方法二：利用整體思想利用兩角和的正切公式求出；方法三：通過(guò)換元法結(jié)合兩角和的正切公式求出，是給值求值問(wèn)題的常用解決方式．1．如果，，那么=．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式結(jié)合和角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因，，則，所以.2．（2021年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）已知向量，，那么等于（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和兩角和的正弦公式可得答案.【詳解】，，.3．設(shè)是方程的兩個(gè)根，則的值為（）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】A【詳解】試題分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系分別求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后將tan（α+β）利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,則tan（α+β）=-3，故選A.考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)公式點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，利用了整體代入的思想，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七、恒等變換二倍角公式1．若，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】【考點(diǎn)定位】本題從常規(guī)角度看考查了三角函數(shù)的求值，其中重點(diǎn)對(duì)倍角公式、平方關(guān)系等重點(diǎn)考查.而從答題技巧角度看，只是簡(jiǎn)單的代入檢驗(yàn)，由于給定了，使問(wèn)題更趨于簡(jiǎn)單化半角公式2．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)?，而為銳角，解得：．降冪公式3．（2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科））函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是．【答案】.【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.萬(wàn)能公式4．（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過(guò)齊次化處理，可以避開了這一討論．輔助角公式5．函數(shù)y＝sin2x＋cos2x的最小正周期為（

）A． B． C．π D．2π【答案】C【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再利用周期公式計(jì)算可得.【詳解】∵y＝sin2x＋cos2x＝2sin，，【點(diǎn)睛】該題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題目.1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)余弦二倍角公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦二倍角公式，屬于簡(jiǎn)單題.2．已知，則的值為，的值為．【答案】【分析】（1）用正切的二倍角公式求；（2）由（1）的結(jié)果有的值，再用兩角和的正切公式計(jì)算【詳解】（1）故答案為：（2）3．若tan+=4,則sin2=（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】本題考查三角恒等變形式以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.因?yàn)?，所?.【點(diǎn)評(píng)】本題需求解正弦值，顯然必須切化弦，因此需利用公式轉(zhuǎn)化；另外，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中常與“1”互相代換，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；關(guān)于正弦、余弦的齊次分式，常將正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切，即弦化切，達(dá)到求解正切值的目的.體現(xiàn)考綱中要求理解三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式.來(lái)年需要注意二倍角公式的正用，逆用等4．設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則.【答案】；【詳解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.考點(diǎn)八、恒等變換中的巧變角1．（2023·陜西省咸陽(yáng)中學(xué)理科數(shù)學(xué)試題）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可化為，利用兩角差的正切公式以及二倍角的正切公式可得出關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】由可化為，即，即，化簡(jiǎn)得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，合乎題意，故.2．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)Ⅱ卷））函數(shù)的最大值為.【答案】1【詳解】由題意知：=====，即，因?yàn)?，所以的最大值?.考點(diǎn)：本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的最值的求解，熟練公式是解答好本類題目的關(guān)鍵.3．（2023·湖北省恩施州四校模擬）已知，且，則【答案】/【分析】根據(jù)，應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，已知正弦，可以求出余弦的值，最后代入余弦的差角公式，再利用二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以；所以?．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷））若,則.【答案】【詳解】2．已知為銳角，，求的值．【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及余弦的和差公式，通過(guò)“湊角”即可求解.【詳解】解：，又，所以，又，所以，又，所以，所以=，3．已知，為銳角，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再由二倍角公式求出，最后由計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，為銳角且，所以，所以，所以，又，所以.考點(diǎn)九、三角函數(shù)求值給值求值1．（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）若，則，．【答案】【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.給角求值2．=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，利用兩角和的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)即可.【詳解】．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向．給值求角3．（2023·江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校模擬）已知銳角，且滿足.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及兩角和的正弦公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角和的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)的特殊角即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉殇J角，，所以.因?yàn)?，是銳角，即，，所以，，又因?yàn)?，所?.（2）由（1）知，，因?yàn)槭卿J角，，所以，由，，所以，，因?yàn)?，所?1．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【分析】分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.【詳解】詳解：（Ⅰ）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，所以.（Ⅱ）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，由得.由得，所以或.點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.2．式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡(jiǎn)所求代數(shù)式.【詳解】原式.3．已知，，且.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)，且，求出，則可求，再求；（2）先根據(jù)，，求出，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）∵且，∴，∴，∴；（2）∵，∴，又∵，∴，，所以.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．本題考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.考點(diǎn)十、和差化積、積化和差公式的應(yīng)用1．的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用降冪公式、積化和差公式以及誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】原式.2．若，，則的值為（

）A．2 B． C．－2 D．【答案】A【分析】利用和差化積公式即可得到答案.【詳解】由，，兩式相除得.3．已知，則等于（）A．－m B．mC．－4m D．4m【答案】B【分析】由積化和差公式變形可得.【詳解】.1．（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式以及和差化積公式求得結(jié)果.【詳解】.2．已知角，滿足，，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)積化和差公式可得，結(jié)合二倍角公式以及弦切互化得齊次式即可求解.【詳解】由得，進(jìn)而，則所以，則.3．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用積化和差公式結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．（易錯(cuò)題）設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)為第二象限角可求得為第一或第三象限角，由可得結(jié)果.【詳解】為第二象限角，，；當(dāng)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)時(shí)，為第三象限角；為第一或第三象限角；，，為第三象限角.2．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））若，則．【答案】【分析】直接利用余弦的二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．已知，(0,π)，則=（）A．1 B． C． D．1【答案】A【詳解】，，，即，故4．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）已知，則；．【答案】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根據(jù)兩角差正切公式得【詳解】，，【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．點(diǎn)從（1,0）出發(fā)，沿單位圓按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弧長(zhǎng)公式出角的大小，然后利用三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，，，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的定義，意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.6．的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)積化和差及誘導(dǎo)公式即得.【詳解】.7．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：）是．【答案】【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出.9．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：，.考點(diǎn)：三角恒等變形、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系．10．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用算出，然后利用平方差公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到答案【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以?1．已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問(wèn)題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺(jué)．12．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13．（2020年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷）已知=，則的值是.【答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.【詳解】，【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為．【答案】（均可）【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.【詳解】因?yàn)椋?，解得，故可?【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知，，且，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，然后求得由兩角和的正切公式可得答案；（2）結(jié)合（1），利用，由兩角和的正切公式，結(jié)合可得答案.【詳解】（1）由題意所以

，

所以（2）由為銳角，可得

，所以【能力提升】、1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，則=.【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)楹完P(guān)于軸對(duì)稱，所以，那么，（或），所以.【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦公式【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對(duì)稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對(duì)稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則.2．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））函數(shù)的最小值為．【答案】.【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于的二次函數(shù)，從而得解.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最小值為．【點(diǎn)睛】解答本題的過(guò)程中，部分考生易忽視的限制，而簡(jiǎn)單應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．開發(fā)性試題3．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為．【答案】（滿足即可）【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對(duì)稱，得出求解.【詳解】與關(guān)于軸對(duì)稱，即關(guān)于軸對(duì)稱，，則，當(dāng)時(shí)，可取的一個(gè)值為.故答案為：（滿足即可）.4．設(shè)且則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】[方法一]：，，.[方法二]：又.[方法三]：由已知得，，去分母得，，所以，又因?yàn)?，，所以，即，考點(diǎn)：同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的正弦公式．5．（2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即6．已知，，則=．【答案】【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】?jī)墒絻蛇吰椒较嗉拥?，．［方法二］：利用方程思想直接解出，兩式兩邊平方相加得，則．又或，所以．［方法三］：誘導(dǎo)公式＋二倍角公式由，可得，則或．若，代入得，即．若，代入得，與題設(shè)矛盾．綜上所述，．［方法四］：平方關(guān)系＋誘導(dǎo)公式由，得．又，，即，則．從而．［方法五］：和差化積公式的應(yīng)用由已知得，則或．若，則，即．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，由，得，又，所以．當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，得，這與已知矛盾．若，則．則，得，這與已知矛盾．綜上所述，．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：結(jié)合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：通過(guò)平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個(gè)三角函數(shù)值，進(jìn)而解出；方法三：利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系，從而解出；方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關(guān)系的方式不同；方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關(guān)系，再一一驗(yàn)證即可解出，該法稍顯麻煩．7．（2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷）已知，則的值是.【答案】.【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.，當(dāng)時(shí)，上式當(dāng)時(shí)，上式=綜上，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.8．計(jì)算：（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角關(guān)系化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所以原?．已知，則．【答案