專題32求曲線的軌跡方程（提升專題）（核心考點精講精練）類型一、判斷軌跡形狀類型二、代入法求軌跡方程類型三、直接法求軌跡方程類型四、定義法求軌跡方程類型五、軌跡方程的綜合應用高考中對軌跡方程的考查方向可能包括以下幾種：

1、直接求軌跡方程：給出已知動點的坐標滿足的關系，要求考生求出軌跡方程，這通常涉及到曲線的基本方程或參數法求解。

2、利用軌跡方程進行推理證明：有時會給出一些已知曲線或曲線的某些性質，要求考生利用這些信息證明某些結論或計算某個數值。

3、求動點軌跡方程的參數：在某些情況下，已知動點坐標與某一參數的關系，要求考生求出這個參數與動點坐標之間的關系，進而求出動點的軌跡方程。

4、交軌法求軌跡方程：有時會給出兩個或多個動曲線方程，要求考生求出這些曲線的交點軌跡方程，這通常涉及到消去參數法求解。

綜上所述，高考中對軌跡方程的考查方向主要在于軌跡方程的直接求解和利用軌跡方程進行推理證明，同時也會考查參數法求解和交軌法求解等技巧。類型一、判斷軌跡形狀1．已知是橢圓的長軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于長軸頂點的任意一點，點與點關于軸對稱，則直線與直線的交點所形成的軌跡為（

）A．雙曲線 B．拋物線C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線【答案】A【分析】由題意設出點，坐標，然后求出直線與直線的方程，根據直線方程的特點，兩方程相乘，從而得到點的軌跡方程，進而得解.【詳解】

由于是橢圓的長軸上的兩個頂點，所以，設，則，所以直線的方程為①，直線的方程為②，①②得，又因為在橢圓上，所以，即，所以，即，即直線與直線的交點在雙曲線上.2．（2023年上海市模擬數學試題）已知空間直線、和平面滿足：，，.若點，且點到直線、的距離相等，則點的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】畫圖分析，根據題意建立等量關系即可得到點的軌跡是雙曲線.【詳解】如圖：

不妨設在平面內射影為，則與相交，與垂直，設直線與平面的距離為，則在平面內，以為軸，為軸建立平面直角坐標系，則到的距離為，到的距離為，從而到直線的距離為，所以，即，故軌跡為雙曲線.3．（2018年北京大學自主招生數學試題）在正方體中，動點M在底面內運動且滿足，則動點M在底面內的軌跡為（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個答案都不對【答案】A【分析】根據可得在圓錐面上，故可得的軌跡.【詳解】因為，故在圓錐面上，該圓錐以為軸，為頂點，而M在底面內，故動點M在底面內的軌跡是以D為圓心的四分之一圓弧．4．在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若=2，則點C的軌跡為（

）A．橢圓 B．射線 C．圓 D．直線【答案】C【分析】建立合適的平面直角坐標系，設，根據以及向量數量積的坐標形式求解出滿足的關系式，即可判斷出軌跡形狀.【詳解】因為點是兩個定點，不妨設，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，

設，，，所以，，由得：，即，所以點C的軌跡為圓.5．（2023屆北京名校一輪總復習數學試題）如圖，定點A和B都在平面內，定點，C是內異于A和B的動點，且．那么，動點C在平面內的軌跡是（

）

A．一條線段，但要去掉兩個點 B．一個圓，但要去掉兩個點C．一個橢圓，但要去掉兩個點 D．半圓，但要去掉兩個點【答案】B【分析】利用線面垂直判定定理和性質定理即可求得，進而得到動點C在平面內的軌跡是以為直徑的圓（去掉兩個點）.【詳解】連接.，則，又，，平面，則平面，又平面，則，則動點C在平面內的軌跡是以為直徑的圓（去掉兩個點）.

6．若動點到定點和直線：的距離相等，則動點的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．橢圓 D．拋物線【答案】B【分析】設動點的坐標為，由條件列方程化簡可得點的軌跡方程，由方程確定軌跡.【詳解】設動點的坐標為，則．化簡得．故動點P的軌跡是直線．7．（2024屆遼寧省調研考試數學試題）正四面體中，在內有一個動點，滿足到底面的距離等于的倍，則動點的軌跡形狀為（

）.A．一段圓弧 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】D【分析】根據正四面體的性質、面面角、圓錐曲線的定義等知識確定正確答案.【詳解】設是的中心，則平面，設是的中點，則三點共線，且，設正四面體的邊長為，則，所以，由于，所以是二面角的平面角，設二面角的平面角為，則.過作平面，垂足為；過作，垂足為，連接，由于平面，所以，平面，所以平面，由于平面，所以，所以，依題意，到底面的距離等于的倍，即，則，即，即到定點和到定直線的距離相等，所以點的軌跡是拋物線的一部分.

8．以為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，且滿足，則點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】A【分析】根據題意，算出，再根據，即可求出的關系，即可求解.【詳解】因為，則，同理可得，又因為，所以，則，即，則，設，所以，即軌跡為直線.9．（2023屆廣東省聯(lián)考數學試題）已知點為定圓上的動點，點A為圓所在平面上的定點，線段的中垂線交直線于點，則點的軌跡可能是；?.【答案】一個點橢圓(答案不唯一）【分析】根據分類討論思想，分點A在圓內、圓上、圓外三種情況，結合橢圓、雙曲線的定義，可得答案【詳解】分以下幾種情況討論：設定圓的半徑為，①當點A在圓上，連接，則，所以點在線段的中垂線上，由中垂線的性質可知.又因為點是線段的中垂線與的公共點，此時點與點重合，此時，點的軌跡為圓心；一個點②當點在圓內，且點不與圓心重合，連接，由中垂線的性質可得，

所以，，此時，點的軌跡是以點為焦點，且長軸長為的橢圓；③當點在圓外：連接，由中垂線的性質可得，所以，，

此時，點的軌跡是以點為焦點，且實軸長為的雙曲線.④若點與重合，則有，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.故答案為：一個點；橢圓.類型二、代入法求軌跡方程使用代入法求軌跡方程的步驟如下：

1、判斷動點：根據題目所給的條件，判斷已知曲線上的一個動點如何運動。

2、求出關系式：找到與動點有關的關系式。

3、將點的坐標表達式代入已知曲線方程：將上述關系式中的點的坐標表達式代入已知曲線方程，得到新的方程式。1．（2023年上海市模擬數學試題）動點在曲線上移動，則點和定點連線的中點的軌跡方程是.【答案】【分析】設，點P和定點連線的中點坐標為，求出坐標之間的關系，結合，即可求得答案.【詳解】設，點P和定點連線的中點坐標為，則,又，∴，代入得，，∴，即點和定點連線的中點的軌跡方程是．2．求連接定點和曲線上動點的線段的中點的軌跡方程．【答案】【分析】設點的坐標為，點的坐標為，根據中點坐標公式得到，再由點再曲線上，代入即可求出點的軌跡方程.【詳解】設點的坐標為，點的坐標為，因為點是線段的中點，所以，即，又點在曲線上點在曲線上．由此可見，所求的點的軌跡方程為，化簡得．3．（2023年四川省模擬考試數學（理科）試題）已知面積為16的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，，則動點P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相關點法即可求得動點P的軌跡方程.【詳解】設，不妨令，正方形ABCD的面積為16，則，則，由，可得，即，則，整理得.4．已知曲線和定點，點為曲線上任意一點，若，當點在曲線上運動時，求點的軌跡方程．【答案】【分析】設出點和點，由，得到這兩個坐標的關系，再根據點在拋物線上，滿足拋物線方程，即可得，的關系，亦即軌跡方程．【詳解】設點的坐標，點的坐標為，又，所以，，，，，，點在拋物線上，，，整理得，所以點的軌跡方程為．5．在邊長為的正內有一動點P，已知，求點P的軌跡方程.【答案】，【分析】以所在直線為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，根據兩點間的距離公式建立方程求解即可.【詳解】如圖，以所在直線為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，，，設，因為，，，而，則，化簡得，由題意知，所以點P的軌跡方程為，.

6．如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【答案】【分析】首先判斷點是的重心，代入重心坐標公式，利用代入法，即可求點的軌跡方程.【詳解】設動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.7．（3.3拋物線）求解下列問題：

(1)如圖，動圓：，與橢圓：相交于A，B，C，D四點，點，分別為的左、右頂點．求直線與直線的交點M的軌跡方程．(2)已知，分別為橢圓C：的左、右焦點，點P為橢圓C上的動點，求的重心G的軌跡方程．【答案】(1)（，）(2)【分析】（1）交軌法求動點軌跡方程，選擇適當的參數表示兩條直線的方程，聯(lián)立方程，消去參數，即可得交點M的軌跡方程；（2）相關點法求動點軌跡方程，用所求點表示已知點坐標，再代入已知橢圓方程，化簡整理可得.【詳解】（1）由橢圓：，知，.設點A的坐標為，由曲線的對稱性，得點B的坐標為.設點M的坐標為，則直線的方程為①；直線的方程為②.由①②相乘得③.又點在橢圓C上，所以④.將④代入③得（，）.因此點M的軌跡方程為（，）（由于A，B僅在y軸的左側，因此點M的軌跡只能在第三象限）.（2）依題意知點，，設點，.由三角形重心坐標關系可得即代入，得的重心G的軌跡方程為.8．橢圓上有動點P，點，分別是橢圓的左、右焦點，求的重心M的軌跡方程.【答案】.【分析】根據重心坐標公式以及相關點代入法求出M的軌跡方程.【詳解】設點P，M的坐標分別為，，∵在已知橢圓的方程中，，，∴，則已知橢圓的兩焦點為，.∵存在，∴.由三角形重心坐標公式有即∵，∴.∵點P在橢圓上，∴，∴，故的重心M的軌跡方程為.9．已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為．【答案】.【分析】先設點,再由應用相關點法求軌跡方程即可.【詳解】設點，由得點，而點P為橢圓上的任意一點，于是得，整理得：，所以點M的軌跡方程是.類型三、直接法求軌跡方程直接法：根據已知條件及一些基本公式如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、直線的斜率公式等，直接列出動點滿足的等量關系式，從而求得軌跡方程。

直接法求軌跡方程的步驟如下：

1、建系：建立適當的平面直角坐標系。

2、設點：用（x，y）表示軌跡（曲線）上任一點M的坐標。

3、列式：列出關于x，y的方程。

4、化簡：把方程化簡為最簡形式。

5、求軌跡：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。1．（2023屆湖北省省考模擬測試數學試題）如圖，已知圓，圓，已知為兩圓外的動點，過點分別作兩圓的割線和，總有，則點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意，由可得，然后由割線定理可得，從而得到點的軌跡方程.【詳解】因為圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，由，可得，所以，即，由割線定理可知，過的切線是到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，過分別做圓的切線，切點為，則，，所以，連接，則，，所以，即，所以，即，設，則，化簡可得，所以點的軌跡方程是.2．（2023年廣東省模擬數學試題）已知，若動點P滿足直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設出動點，利用條件直接建立關系，化簡得出，從而得出結論.【詳解】設，因為，所以，又因為直線與直線的斜率之積為，所以，整理得.3．（2023屆廣西高考數學模擬試題）若圓與圓關于直線對稱，過點的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出兩個圓的圓心坐標，兩個半徑，利用兩個圓關于直線的對稱知識，求出a的值，然后設出圓心P的坐標為，圓心到點C的距離等于圓心到y(tǒng)軸的距離，列出方程求出圓心P的軌跡方程．【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，因為圓與圓關于直線對稱，所以的中點滿足直線方程，解得，過點的圓P與y軸相切，設圓心P的坐標為，所以解得：.4．（2023年甘肅省模擬數學試題）在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.(1)求軌跡為的方程(2)設斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點時的相應取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據題意，設出點的坐標，列出等式，進而求得點的軌跡的方程；（2）設出直線的方程，將直線的方程與軌跡的方程聯(lián)立，結合判別式和根的范圍，即可求解.【詳解】（1）解：設是軌跡上的任意一點，因為點到點的距離比它到的距離多，可得，即，整理得，所以點的軌跡的方程為.（2）解：在點軌跡中，記，因為斜率的直線過定點，不妨設直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，當時，，此時，可得直線與軌跡恰好有一個公共點；當時，可得，不妨設直線與軸的交點為，令，解得，若直線與軌跡恰好有一個公共點，則滿足，解得或，綜上，當時，直線與軌跡恰好有一個公共點.5．已知橢圓，點A，B分別是它的左?右頂點，一條垂直于x軸的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點，當直線l與橢圓相切于點A或點B時，看作P，Q兩點重合于點A或點B，求直線與直線的交點M的軌跡方程.【答案】【分析】設，則，寫出直線和直線的方程，利用消去和即可得到結果.【詳解】由橢圓方程可知：，則，，設，則，則，當時，則有：直線的方程為：，直線的方程為：，可得，又因為，所以，即，當時，也符合上式，所以直線AP與直線BQ的交點M的軌跡方程是.6．已知的兩個頂點、的坐標分別是、，且、邊所在直線的斜率之積等于，討論頂點的軌跡方程．【答案】答案見解析【分析】設點，根據題設條件，列方程整理即可得到方程式，討論參數、即可得到結果.【詳解】設點，根據題中條件可知，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以，即.當時，，此時點在軸上，不符合題意，舍去；當時，頂點的軌跡方程為.綜上所述，當時，頂點的軌跡方程不存在；當時，頂點的軌跡方程為.7．給定、兩點，求證：與這兩點距離相等的點的軌跡方程是．【答案】證明見解析【分析】設點，根據由距離公式得到方程，整理即可得到軌跡方程，在證明滿足方程的點到、兩點的距離均相等，即可得證.【詳解】設點，因為，所以，即，整理得，則點的坐標都滿足，反過來，設平面上一點的坐標也滿足方程，即有，則，，所以，即滿足方程的點到、兩點的距離均相等，綜上所述，與這兩點距離相等的點的軌跡方程是．8．若點與點的距離比它到直線的距離小2，求點的軌跡方程．【答案】【分析】直接由題意列出方程，注意到要用分類討論思想化簡即可.【詳解】不妨設點，因為點與點的距離比它到直線的距離小2，所以點的軌跡方程為，接下來我們分以下三種情形來化簡該方程：情形一：當時，方程變?yōu)?，兩邊同時平方得，化簡并整理得點的軌跡方程為；如下圖所示：

此時點對應的軌跡為頂點在原點，分別以點、直線為焦點和準線的一條拋物線.情形二：當時，方程變?yōu)?，此時方程左邊非負且右邊恒負，所以此時方程無解，即此時點的軌跡不存在，就無軌跡方程可言了；情形三：當時，方程變?yōu)?，兩邊同時平方得，化簡并整理得，注意到且，此時產生了矛盾，因此此時點的軌跡不存在，也無軌跡方程可言.綜上所述：滿足題意的點的軌跡方程為，（其中）.9．（2023年湖南省入學考試數學試題）已知橢圓C：的長軸長為，離心率為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若動點P為橢圓C外一點，且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的相關概念及離心率求解即可；（2）設出動點P的坐標，求出切線方程，聯(lián)立方程組由求解即可（注意分類討論）.【詳解】（1）由題意可知，解得，，∵，∴橢圓C的標準方程為；（2）設點，①當兩條切線斜率均存在時，設其中一條切線為，另一條為，聯(lián)立方程，消去y得，∴，即，則，是方程的兩個不等實根，∴，又∵兩條切線相互垂直，∴，∴，整理得，即點P的軌跡方程為，②當兩條切線中有一條斜率不存在時，即A、B兩點分別位于橢圓長軸與短軸的端點，P的坐標為，把點代入亦成立，綜上所述，點P的軌跡方程為：.10．古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點距離之比值為常數的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點P到的距離是點P到的距離的2倍．求點P的軌跡方程；【答案】；【分析】設點，根據題意得，利用兩點之間的距離公式化簡整理，即可求解.【詳解】解：設點，點P到的距離是點P到的距離的2倍，可得，即，整理得，所以點P的軌跡方程為；11．（2023屆湖南省一模數學試題）已知橢圓C：，直線l與橢圓C交于A，B兩點．(1)點為橢圓C上的動點（與點A，B不重合），若直線PA，直線PB的斜率存在且斜率之積為，試探究直線l是否過定點，并說明理由；(2)若．過點O作，垂足為點Q，求點Q的軌跡方程．【答案】(1)直線l過定點；(2)【分析】（1）利用點在橢圓上和直線斜率公式即可證得直線l過定點；（2）利用三角函數設出A，B兩點坐標，再利用題給即可求得，進而得到點Q的軌跡方程．【詳解】（1）直線過定點，下面證明：設，，，又，，∴，

∴直線過原點滿足．又當PA兩點固定時為定值，有且僅有一個斜率值與之相乘之積為，則直線重合，則重合，∴直線l過定點．（2）設，，，不妨設，∴，，又點A，B在橢圓上，∴，，∴，，兩式相加得，由，得，∴點Q的軌跡是以點O為圓心以為半徑的圓，∴點Q的軌跡方程為．12．已知點A，B，P是平面內的一個動點，直線PA與PB的斜率之積是，則動點P的軌跡C的方程為.【答案】【分析】根據題意列出方程，化簡可得答案.【詳解】設，由，整理得，故動點P的軌跡C的方程為.13．（2023年四川省月考數學試題）自引圓的割線ABC，則弦中點P的軌跡方程.【答案】（）【分析】設，根據⊥，利用斜率列出方程，再考慮的取值范圍.【詳解】設，則⊥，當時，有，即，整理得①，當時，此時割線ABC的中點為原點，代入①式，也成立，

故弦中點P的軌跡方程為（在圓內部分），聯(lián)立，解得，故軌跡方程為（）14．已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為．【答案】（）．【分析】設，直線和的交點為，根據三點共線及三點共線，可得兩個式子，兩式相乘，再結合在橢圓上即可得出答案.【詳解】設，因為橢圓的長軸端點為，設直線和的交點為，因為三點共線，所以，，因為三點共線，所以，兩式相乘得，（）,因為，所以，即，所以，整理得（），所以直線和的交點的軌跡方程（）.類型四、定義法求軌跡方程定義法：通過圖形的幾何性質判斷動點的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程。這種方法叫做定義法，運用定義法求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質定理。定義法求軌跡方程的步驟如下：

1、根據已知條件判斷動點軌跡的條件符合哪個基本軌跡（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）。

2、直接根據定義寫出動點的軌跡方程。

定義法求軌跡方程的關鍵是識別出軌跡的形狀，然后利用該形狀的定義來寫出方程。1．（2023年安徽省模擬數學試題）已知直線交拋物線：于軸異側兩點，，且，過向作垂線，垂足為，則點的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【分析】設直線方程，代入拋物線消去x，由和韋達定理，解得可得直線經過定點，由可知在以為直徑的圓上，可求軌跡方程.【詳解】設直線，將它與拋物線方程聯(lián)立得：，則，設，則，所以，故或，當時，在直線上，故舍去，所以，所以直線經過定點，由可知在以為直徑的圓（原點除外）上.2．（2023年全國高中數學聯(lián)合競賽一試及加試試題（A卷））平面直角坐標系中，拋物線，為的焦點，，為上的兩個不重合的動點，使得線段的一個三等分點位于線段上（含端點），記為線段的另一個三等分點.求點的軌跡方程.【答案】【分析】設，，由三等分點關系可得，根據的位置特征可設設，，從而可得的坐標（用表示），故可求點的軌跡方程.【詳解】解：設，.不妨設，則.易知.由于點位于線段上，故，.可設，，則，.此時有，且由，不重合知，所以.設，則，，有.注意到，故點的軌跡方程為.3．已知的三邊a，b，c成等差數列，且，A、C兩點的坐標分別為，則頂點B的軌跡方程為．【答案】【分析】由的三邊a，b，c成等差數列，可得點B的軌跡滿足橢圓的定義，可求出橢圓方程，再結合和B、A、C三點構成，可得頂點B的軌跡是此橢圓的部分，可得其軌跡方程.【詳解】因為的三邊a，b，c成等差數列，A、C兩點的坐標分別為，所以，即，所以點B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為，因為，所以，所以，又因為B、A、C三點構成，所以B、A、C三點不能在一條直線上，所以，所以頂點B的軌跡方程為.4．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，過原點作，使，垂足為點，求點的軌跡方程．【答案】【分析】根據條件可得點的軌跡是以為直徑的圓，從而可得其軌跡方程.【詳解】依題意，因為，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓，則其圓心為，半徑為，故可得點的軌跡方程為

5．已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【答案】【分析】根據圓C與圓A、圓B外切，得到，再利用雙曲線的定義求解.【詳解】因為圓C與圓A、圓B外切，設C點坐標，圓C半徑為，則，，所以，所以點的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為.類型五、軌跡方程的綜合應用1．（2023屆山東省聯(lián)合考試數學試題）古希臘亞歷山大時期一位重要的幾何學家帕普斯（Pappus，公元3世紀末）在其代表作《數學匯編》中研究了“三線軌跡”問題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數的動點軌跡為圓錐曲線．今有平面內三條給定的直線，且，均與垂直．若動點M到的距離的乘積是M到的距離的平方的4倍，則動點M在直線之間（含邊界）的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【分析】根據題意得到三條直線的關系，不妨設為，直線為，為，進而可根據條件表示出動點M的軌跡方程，從而得出結論.【詳解】因為在平面內三條給定的直線，，，且，均與垂直，所以，平行，記為，直線為，為，設，且動點M在直線之間，所以，所以M到的距離為，M到的距離為，M到的距離為，又因為動點M到的距離的乘積與到的距離的平方4倍相等，所以，所以，即，故動點M的軌跡為橢圓.2．（2023年浙江省模擬數學試題）古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經過了500年，到了3世紀，希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明．他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線．現有方程表示的曲線是橢圓，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據所給方程可得，根據橢圓的離心率取值范圍即可求解.【詳解】由可得，所以，所以，即動點到定點的距離與到定直線的距離之比為常數，因為方程表示的曲線是橢圓，所以解得.3．（2023屆寧夏聯(lián)合考試一模數學（理）試題）2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是雙紐線上一點，有如下說法：①雙紐線關于原點中心對稱；②；③雙紐線上滿足的點有兩個；④的最大值為.其中所有正確的說法為（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】對于①，根據雙紐線的定義求出曲線方程，然后將替換方程中的進行判斷，對于②，根據三角形的等面積法分析判斷，對于③，由題意得，從而可得點在軸上，進行可判斷，對于④，由向量的性質結合余弦定理分析判斷,據此可求出選項.【詳解】對于①，因為定義在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，所以，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關于原點中心對稱，所以①正確；對于②，當時，符合題意；當時，根據三角形的等面積法可知，即，綜上得，所以②