專題35兩個計數原理、排列組合（理科）（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布概率與統(tǒng)計近幾年考情考題示例考點分析關聯考點2022年全國乙（文科），第4題,5分莖葉圖計算平均數、中位數、概率2022年全國乙（文科），第14題,5分計數原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨立事件求概率2022年全國乙（理科），第13題,5分計數原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第19題,12分2022年全國乙（文科），第19題,12分（1）求平均數；（2）求相關系數（3）估算樣本量2022年全國甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨立性檢驗2022年全國甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機變量的分布列與數學期望2022年全國甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國甲（理科），第2題,5分2022年全國甲（文科），第2題,5分眾數、平均數、中位數比較，求極差、方差、標準差2023年全國乙（文科），第9題,5分計數原理、排列、組合與概率2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國乙（理科），第9題,5分計數原理與排列、組合2023年全國乙（理科），第17題,12分2023年全國乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數，方差；（2）統(tǒng)計新定義2023年全國甲（文科），第4題,5分計數原理、排列、組合與概率2023年全國甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國甲（理科），第9題,5分計數原理與排列、組合2023年全國甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機變量的分布列與數學期望；（2）獨立性檢驗2023年全國甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數；（2）獨立性檢驗2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.分類計數原理：完成一件事情有幾類不同的方式，每類方式有不同的方法，則完成這件事的方法數就是把每類方式中的方法數相加；2.分步計數原理：完成一件事情分為幾個步驟，每個步驟有若干種方法，則完成這件事的方法數就是把每一步的方法數相乘；【備考策略】1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理；2.會用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題；3.理解排列、組合的概念,能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式；4.能解決簡單的實際問題.【命題預測】1.結合實際應用：未來的命題可能會更加注重于理論在實際生活中的應用；2.原理深化：對于加法原理和乘法原理，可能會進一步探究其背后的數學原理，這可能會涉及到更深層次的數學概念，如集合、函數等；3.排列組合與其他數學內容的交叉：排列組合作為計數原理的一個重要部分，可能會與概率論、數論等其他數學內容形成交叉；4.計算機科學中的應用：計算機科學中有很多問題可以轉化為計數問題；知識講解一、分類加法計數原理完成一件事有兩類不同的方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

(1)每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的都是最后結果，只需一種方法就可完成這件事；（2）各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.二、分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

(1)每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，只是各個步驟都完成了才能完成這件事；（2）各步之間是相互依存的，并且既不能重復也不能遺漏，但有時可以調換各步的順序.三、兩個計數原理的區(qū)別與聯系分類加法計數原理分步乘法計數原理相同點用來計算完成一件事的方法種數不同點分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立,不重不漏步步相依,缺一不可分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在,應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.1.利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個步驟是相互依存的,只有各個步驟都完成了,才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個條件:一是步驟互相獨立,互不干擾;二是步與步確保連續(xù),逐步完成.與數字相關的計數原理的應用問題,需要遵循“特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排”的原則,涉及組數問題中有重復數字問題,可以考慮用除法或分類進行求解.利用兩個計數原理解決幾何問題的兩個基本步驟:1.要弄清楚幾何圖形的性質;2.合理分類將問題簡化.1.解決涂色問題,可以按照顏色的種數分類,也可以按照不同的區(qū)域分步完成.2.涂色、種植問題的解題關注點和關鍵(1)關注點:首先分清元素的數目,其次分清在不相鄰的區(qū)域內是否可以使用同類元素.(2)關鍵:對每個區(qū)域逐一進行檢驗,選擇下手點,分步處理.四、排列與組合的概念名稱定義排列從個不同元素中取出個元素并按照一定的順序排成一列,叫作從個元素中取出個元素的一個排列

組合作為一組,叫作從個不同元素中取出個元素的一個組合五、排列數與組合數1.從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數，叫作從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示.

2.從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫作從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示.

六、排列數、組合數的公式及性質公式(1)n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!((2)n(=

n!m!(n-m)!(,,且性質(1)0!=1,Ann=n!(2)Cnm=Cnn-m,C1.正確理解組合數的性質(1)：從個不同元素中取出個元素的方法數等于取出剩余個元素的方法數.(2)：從個不同元素中取出個元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素有種方法；②含特殊元素A有種方法.2.正確辨析“排列”與“組合”排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”.取出元素后交換順序，若與順序有關，則是排列；若與順序無關，則是組合.3.記牢兩個常用公式(1).(2).求解排列應用問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法兩類有附加條件的組合問題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含有”,則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含有”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法求解，分類復雜時,可用間接法求解.(1)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.(2)對于相間問題，先考慮不受限制的元素，然后將不相鄰的元素插入到這些排好的元素之間及兩端的空隙中.“特殊”優(yōu)先原則一般從以下三種思路考慮:(1)以元素為主考慮，即先安排特殊元素，再安排其他元素;(2)以位置為主考慮，即先安排特殊位置，再安排其他位置;(3)用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數，再減去不符合要求的排列數.1.對不同元素分組、分配問題的求解策略(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Ann(n為均分的組數)，避免重復計數.(2)對于部分均分，即不平均分組中的部分平均分組問題，解題時注意重復的次數是均勻分組的組數的階乘數,即若有m組元素個數相等,則分組時應除以m!，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數，這類問題也有無序和有序兩種情形;(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數，這類問題也有不平均分組無序和不平均分組有序兩種情形.2.對于相同元素的“分配”問題,常用方法是“隔板法”.考點一、分類加法計數原理1．（2020年全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（新課標Ⅱ））如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根據原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出．【詳解】根據題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個數之和為10．【點睛】本題主要考查列舉法的應用，以及對新定義的理解和應用，屬于基礎題．2．（2023屆廣東省模擬數學試題）“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數學上具有這樣特征的一類數稱為“回文數”?“回文數”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如121，241142等，在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是奇數的“回文數”共有（

）A．100個 B．125個 C．225個 D．250個【答案】C【分析】根據給定的信息，確定五位正整數中的“回文數”特征，再由0出現的次數分類求解作答.【詳解】依題意，五位正整數中的“回文數”具有：萬位與個位數字相同，且不能為0；千位與十位數字相同，求有且僅有兩位數字是奇數的“回文數”的個數有兩類辦法：最多1個0，取奇數字有種，取能重復的偶數字有種，它們排入數位有種，取偶數字占百位有種，不同“回文數”的個數是個，最少2個0，取奇數字有種，占萬位和個位，兩個0占位有1種，取偶數字占百位有種，不同“回文數”的個數是個，由分類加法計算原理知，在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是奇數的“回文數”共有個.3．為有效防范新冠病毒蔓延，國內將有新型冠狀肺炎確診病例地區(qū)及其周邊劃分為封控區(qū)?管控區(qū)?防范區(qū).為支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出醫(yī)護人員共5人，分別派往三個區(qū)，每區(qū)至少一人，甲?乙主動申請前往封控區(qū)或管控區(qū)，且甲?乙恰好分在同一個區(qū)，則不同的安排方法有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．30種【答案】C【分析】利用分類加法、分步乘法計數原理，結合排列組合知識進行求解.【詳解】若甲乙和另一人共3人分為一組，則有種安排方法；若甲乙兩人分為一組，另外三人分為兩組，一組1人，一組兩人，則有種安排方法，綜上：共有12+12=24種安排方法.4．給圖中A，B，C，D，E，F六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360【答案】A【分析】通過分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中、、、、、六個區(qū)域進行染色，最少需要3種顏色，即同色，同色，同色，由排列知識可得該類染色方法的種數；也可以4種顏色全部用上，即，，三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知識求解該種染法的方法種數，最后利用分類加法求和．【詳解】解：要完成給圖中、、、、、六個區(qū)域進行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，即同色，同色，同色，則從四種顏色中取三種顏色有種取法，三種顏色染三個區(qū)域有種染法，共種染法；第二類是用四種顏色染色，即，，中有一組不同色，則有3種方案不同色或不同色或不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有種染法．由分類加法原理得總的染色種數為種．1．第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根據給定條件利用分類加法計數原理結合排列、組合知識計算作答.【詳解】因甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，計算安排種數有兩類辦法：若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種；若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有種，然后剩下的一個人和甲、乙被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種，則共有種，綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數為.2．（2023年河南省模擬卷（中）理科數學（一）試題）有2男2女共4名大學畢業(yè)生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數為（

）A．12 B．14 C．36 D．72【答案】B【分析】根據題意，分廠只接受1個女生和廠接受2個女生兩類情況，結合廠的分派方案，利用分類、分步計數原理，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩種情況：①若廠只接受1個女生，有種分派方案，則廠分派人數可以為或，則有種分派方案，由分步計數原理可得，共有種不同的分派方案；②若廠接受2個女生，只有1種分派方案，則廠分派人數為，則有種分派方案，此時共有種不同的分派方案，綜上，由分類計數原理可得，共有種不同的分派方案.3．志愿團安排去甲?乙?丙?丁四個精準扶貧點慰問的先后順序，一位志愿者說：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說：不能最后去丁，丁離得最遠.他們共有多少種不同的安排方法（

）A．14 B．12 C．24 D．28【答案】A【分析】由去丁扶貧點的先后順序入手利用加法原理求出結果.【詳解】解：根據題意丁扶貧點不能是最后一個去，有以下兩類安排方法：①丁扶貧點最先去，有種安排方法；②丁扶貧點安排在中間位置去，有種安排方法，綜合①②知共有種安排方法.4．（2023屆山西省模擬數學試題）春節(jié)期間，某地政府在該地的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．120種 B．240種 C．420種 D．720種【答案】C【分析】先對圖中不同的區(qū)域命名，再運用分步計數和分類計數的方法從中央開始計數即可.【詳解】如圖，先在A中種植，有5種不同的選擇，再在B中種植，有4種不同的選擇，再在C中種植，有3種不同的選擇，再在D中種植，若D與B種植同一種花卉，則E有3種不同的選擇，若D與B種植不同花卉，則D有2種不同的選擇，E有2種不同的選擇，不同的布置方案有種；考點二、分步乘法計數原理1．某校有5名大學生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學生且至多2名學生前往，則甲同學不去觀看冰球比賽的方案種數有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.【詳解】將5名大學生分為1-2-2三組，即第一組1個人，第二組2個人，第三組2個人，共有種方法；由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，所以由種方法；按照分步乘法原理，共有種方法；2．（2023屆湖南省模擬數學試題）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（

）A．72 B．56 C．48 D．36【答案】C【分析】先給四個區(qū)域標記，然后根據分步乘法計數原理求解出著色的方法數.【詳解】將四個區(qū)域標記為，如下圖所示：第一步涂：種涂法，第二步涂：種涂法，第三步涂：種涂法，第四步涂：種涂法，根據分步乘法計數原理可知，一共有種著色方法，3．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據分步乘法公式則共有種.1．（2023屆重慶模擬數學試題）2022年8月某市組織應急處置山火救援行動，現從組織好的5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，另外4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，每支志愿團隊只能分配到1個項目，且每個項目至少分配1個志愿團隊，則不同的分配方案種數為（

）A．36 B．81 C．120 D．180【答案】D【分析】先從5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，再將4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，最后根據分步乘法原理求解即可.【詳解】先從5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，有種不同的選派方案，再將剩下的4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，有種不同的選派方案，所以，根據分步乘法原理，不同的安排方案有種.2．（2023年湖南省調研考試數學試題）甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數為（

）A．240 B．192 C．96 D．48【答案】B【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【詳解】丙在正中間（4號位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數為.3．（2023年山東省聯考數學試題）如圖，現要對某公園的4個區(qū)域進行綠化，有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，則不同的綠化方案有（

）A．48種 B．72種 C．64種 D．256種【答案】A【分析】利用分步乘法原理求解即可【詳解】從A開始擺放花卉，A有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法，B有2種顏色花卉擺放方法；由D區(qū)與A，B花卉顏色不一樣，與C區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，則D有2種顏色花卉擺放方法.故共有種綠化方案.4．（2023屆河北省一模數學試題）將英文單詞“”中的6個字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（

）A．120種 B．240種 C．480種 D．960種【答案】B【分析】先排除b之外的其余四個字母，再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b即可.【詳解】由題意可先排除b之外的其余四個字母，有種排法，再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b，有種放法，故字母b不相鄰的排列方法共有（種）.考點三、兩個原理的綜合應用1．學校要安排2名班主任，3名科任老師共五人在本校以及另外兩所學校去監(jiān)考，要求在本校監(jiān)考的老師必須是班主任，且每個學校都有人去，則有（

）種不同的分配方案．A．18 B．20 C．28 D．34【答案】D【分析】首先分類，即本校監(jiān)考分為1人和2人，在分類的基礎上分配或分組.【詳解】根據本校監(jiān)考人數分為：本校1人監(jiān)考，另外4人分配給兩所學校，有2，2和3，1兩種分配方案，所以總數為：；本校2人監(jiān)考，另外3人分配給兩所學校，有2，1一種分配方案，所以總數為：，根據分類計數原理，所有分配方案總數為28+6=34；2．（2023屆云南省模擬數學試題）如圖所示某城區(qū)的一個街心花園，共有五個區(qū)域，中心區(qū)域E已被設計為代表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍ABCD四個區(qū)域中種植鮮花，現有四個品種的鮮花可供選擇，要求每個區(qū)域只種一個品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數為（

）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【分析】根據四個區(qū)域所種植鮮花的種類進行分類：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后相加即可求解.【詳解】由題意可知：四個區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：當種植的鮮花為兩種時：和相同，和相同，共有種種植方法；當種植鮮花為三種時：和相同或和相同，此時共有種種植方法；當種植鮮花為四種時：四個區(qū)域各種一種，此時共有種種植方法，綜上：則不同的種植方法的種數為種.3．從1，2，3，4，5這五個數字中任取3個組成無重復數字的三位數，當三個數字中有2和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數有（

）A．51個 B．54個 C．12個 D．45個【答案】A【分析】由題意分類討論，結合排列組合公式整理計算即可求得最終結果.【詳解】由題意分類討論：（1）當這個三位數，數字2和3都有，再從1，4，5中選一個，因為2需排在3的前面，這樣的三位數有(個).（2）當這個三位數，2和3只有一個，需從1，4，5中選兩個數字，這樣的三位數有（個）.（3）當這個三位數，2和3都沒有，由1，4，5組成三位數，這樣的三位數有（個）由分類加法計數原理得共有(個)．1．有3個完全相同的標號為1的小球和兩個標號為2，3的小球，將這5個小球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個小球，則不同的放法總數為（

）A．45 B．90 C．24 D．150【答案】A【分析】根據3個相同小球的分布進行分類討論【詳解】①若3個相同小球在同一個盒子中，則有中②若恰有2個相同小球在同一個盒子中，1個在另一個盒子中，此時先將5個小球分為3組若為“311”分組有2種，若為“221”分組則有3種故共種③若3個相同小球在3個不同的盒子中，則剩余兩個小球都有3種放法，有種共種.2．將六個數、、、、、將任意次序排成一行，拼成一個位數，則產生的不同的位數的個數是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出將2，0，1，9，20，19的首位不為0的排列數，排除2的后一項是0的排列，1的后一項是9的排列，再加上2的后一項是0同時1的后一項是9的排列，可得答案.【詳解】將六個數、、、、、將任意次序排成一行，拼成一個位數，由于首位不能為0，則有個，其中“20”出現2次，即“2”與“0”相鄰且“2”在“0”前的排法有種，“19”出現2次，即“1”與“9”相鄰且“1”在“9”前的排法有種，“20”和“19”都出現2次的排法有種，因此滿足條件的位數的個數為：.3．如圖，“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成．現從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個區(qū)域涂色；要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．360【答案】C【分析】依題意可以利用3或4種不同的顏色涂色，先選出顏色，再涂色，按照分步、分類計數原理計算可得；【詳解】解：依題意顯然不能用少于2種顏色涂色，若利用3種不同的顏色涂色，首先選出3種顏色有種選法，先涂區(qū)域①有3種涂法，再涂②有2種涂法，則⑤只有1種涂法，④也只有1種涂法，則③也只有1種涂法，故一共有種涂法；若利用4種不同的顏色涂色，首先選出4種顏色有種選法，根據題意，分2步進行涂色：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法；綜上可得一共有種涂法；4．將6盆不同的花卉擺放成一排，其中A?B兩盆花卉均擺放在C花卉的同一側，則不同的擺放種數為（

）A．360 B．480 C．600 D．720【答案】B【分析】對C花卉的位置進行分類討論即可解決.【詳解】分類討論的方法解決如圖中的6個位置，①當C在位置1時，不同的擺法有種；②當C在位置2時，不同的擺法有種；③當C在位置3時，不同的擺法有種；由對稱性知C在4?5?6位置時擺放的種數和C在3?2?1時相同，故擺放種數有.考點四、排列問題1．（2023屆廣東省模擬數學試題）如圖，在兩行三列的網格中放入標有數字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數字之和為5”的不同的排法有（

）A．96種 B．64種 C．32種 D．16種【答案】B【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法數，再利用分步計數原理即可求出結果.【詳解】根據題意，分3步進行，第一步，要求“只有中間一列兩個數字之和為5”，則中間的數字只能為兩組數1，4或2，3中的一組，共有種排法；第二步，排第一步中剩余的一組數，共有種排法；第三步，排數字5和6，共有種排法；由分步計數原理知，共有不同的排法種數為.2．（2023屆云南省教學質量監(jiān)測（五）數學試題）某社區(qū)活動需要連續(xù)六天有志愿者參加服務，每天只需要一名志愿者，現有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計劃依次安排到該社區(qū)參加服務，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務，則不同的安排方案共有（

）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種【答案】D【分析】先計算乙和丙在相鄰兩天參加服務的排法，排除乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務的排法，即可得出答案.【詳解】解：若乙和丙在相鄰兩天參加服務，不同的排法種數為，若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務，不同的排法種數為，由間接法可知，滿足條件的排法種數為種.3．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【分析】根據給定條件利用排列并結合排除法列式計算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種.1．（2023年陜西省模擬理科數學試題）某中學于2023年4月25日召開春季運動會，在開幕式之前，由高一，高二學生自發(fā)準備了7個娛樂節(jié)目，其中有2個歌曲節(jié)目，3個樂器獨奏，2個舞蹈節(jié)目，要求舞蹈節(jié)目一定排在首尾，另外2個歌曲節(jié)目不相鄰．則這7個節(jié)目出場的不同編排種數為（

）A．288 B．72 C．144 D．48【答案】C【分析】先把舞蹈節(jié)目排好，再在2個舞蹈節(jié)目中間排好3個樂器獨奏，再利用插空法排2個歌唱節(jié)目即可.【詳解】先把舞蹈節(jié)目排好，共種，再在2個舞蹈節(jié)目中間排好3個樂器獨奏，共種，這樣3個樂器獨奏與2個舞蹈節(jié)目中間共產生4個空檔（不包括兩邊），2個歌唱節(jié)目排在4個空檔上，共種．故這7個節(jié)目出場的不同編排種數為種．2．（2003年普通高等學校春季招生考試數學（文）試題（北京卷））某班新年聯歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數為（

）A．6 B．12 C．15 D．30【答案】D【分析】由已知，根據題意可使用插空法，將2個新節(jié)目有順序插入5個節(jié)目形成的6個空中，直接列式求解即可.【詳解】因為增加了兩個新節(jié)目．將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，所以原來5個節(jié)目形成6個空，新增的2個節(jié)目插入到6個空中，共有種插法.3．將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種【答案】D【分析】采用間接法，先求出沒有限制的所有站法，再排除不滿足條件的站法可求解.【詳解】7個人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個都相鄰有種不同的站法，甲站在最右端有種不同的站法，甲、乙、丙3個相鄰且甲站最右端有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有種不同的站法.4．公元五世紀，數學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數學的偉大成就.某教師為幫助同學們了解“祖率”，讓同學們把小數點后的7位數字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數字的個數為（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080【答案】C【分析】以間接法去求解這個排列問題簡單快捷.【詳解】一共有7個數字，且其中有兩個相同的數字1.這7個數字按題意隨機排列，可以得到個不同的數字.當前兩位數字為11或12時，得到的數字不大于3.14當前兩位數字為11或12時，共可以得到個不同的數字，則大于3.14的不同數字的個數為.考點五、組合問題1．（2023年云南省質量監(jiān)測數學試題）如圖，小華從圖中處出發(fā)，先到達處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（

）

A．25條 B．48條 C．150條 D．512條【答案】C【分析】利用組合、分步乘法計數原理可得答案.【詳解】從處到處的最短路徑有條，從處到處的最短路徑有條，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有條．2．（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學生來自不同年級的概率為.3．現有甲?乙?丙?丁?戊五位同學，分別帶著A?B?C?D?E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用排列組合知識求出每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的情況個數，以及五人抽取五個禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己的禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個人都拿到另外一個人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個禮物總數為種情況，故恰有一位同學拿到自己禮物的概率為.4．（2020年新高考全國卷Ⅱ數學考試題（海南卷））要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.【詳解】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種【點睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.5．（2019年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ））我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查利用兩個計數原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數學計算等數學素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=．【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．6．（1）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有一個盒子空，共有多少種放法；（3）10個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子不空，共有多少種放法；（4）4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有兩個盒子空，共有多少種放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【分析】（1）按照分步乘法計數原理進行計算；（2）先選1個空盒，再把4個小球分成3組，放入3個盒子中；（3）按照插板法進行計算即可；（4）先選2個空盒，再按照插板法進行計算.【詳解】（1）每個小球有4種方法，共有種放法；（2）先選1個空盒，再把4個小球分成3組，最后分到3個盒子，共有種放法；（3）9個空中插入3個板即可，種放法；（4）先選2個空盒，再3個空中插入1個板即可，共有種放法.1．（2023年吉林省模擬數學試題）將9個相同的小球放入3個不同的盒子中共有多少種方法（每個盒子中至少放入一個小球）（）A．28 B．56 C．36 D．84【答案】A【分析】采用隔板法求解.【詳解】根據題意可知，采用隔板法，9個相同的小球形成8個空，在8個空中插入2塊隔板，形成3組小球，再放入3個不同的盒子，共有種方法．2．某興趣小組有5名學生，其中有3名男生和2名女生，現在要從這5名學生中任選2名學生參加活動，則選中的2名學生的性別相同的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意結合古典概型計算公式和排列組合公式計算可得滿足題意的概率值.【詳解】由題意可知，選中的2名學生的性別相同的概率是：.【點睛】本題主要考查古典概型計算公式，排列組合的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3．（2023屆廣東省調研數學試題）安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學生，則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人，根據排列組合得出各自有多少種，再得出甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有多少種，即可計算得出答案.【詳解】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；當分為3,1,1人時，有種實習方案，當分為2,2,1人時，有種實習方案，即共有種實習方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有種，故大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為.4．有4名大學生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務.冬奧會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個項目比賽的志愿服務，則每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將4人分成3組，其一組有2人，然后將3個項目進行排列，可求出每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的方法數，再求出4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務的總方法數，再利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，然后將3個項目全排列，共有種排法，所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的方法數為種，因為4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務的總方法數種，所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的概率為.5．（2023屆廣東省模擬數學試題）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍色四雙不同顏色的襪子，從中隨機選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，求出，，根據條件概率公式求解即可．【詳解】從四雙不同顏色的襪子中隨機選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則，又，則，即隨機選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為．6．某傳統(tǒng)文化學習小組有10名同學，其中男生5名，女生5名，現要從中選取4人參加學校舉行的匯報展示活動．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少種選法？(2)如果男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少種選法？【答案】(1)100；(2)140；(3)【分析】（1）由組合知識結合分步乘法計數原理求解即可；（2）先計算10人中選取4人的選法，從中除去男生甲與女生乙都不參加的選法即可；（3）先計算10人中選取4人的選法，從中除去4人全是男生和4人全是女生的選法即可.【詳解】（1）第一步，從5名男生中選2人，有種選法；第二步，從5名女生中選2人，有種選法．根據分步乘法計數原理，共有種選法．（2）從10人中選取4人，有種選法；男生甲與女生乙都不參加，有種選法．所以男生甲與女生乙至少有1人參加，共有種選法．（3）從10人中選取4人，有種選法；4人全是男生，有種選法；4人全是女生，有種選法．所以4人中既有男生又有女生，共有種選法．考點六、排列組合的綜合應用1．“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人等測算在一定時間內直接或間接產生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產生的二氧化碳排放量，實現二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計劃派5名專家分別到A，B，C三地指導“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數為（

）A．90 B．150 C．180 D．300【答案】B【分析】根據題意，運用分類討論思想，結合排列和組合的性質進行求解即可.【詳解】根據題意有兩種方式：第一種方式，有一個地方去3個專家，剩下的2個專家各去一個地方，共有種方法，第二種方式，有一個地方去1個專家，另二個地方各去2個專家，共有，所以分派方法的種數為.2．（2003年普通高等學校招生考試數學試題（廣東卷））如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．（以數字作答）【答案】72【分析】本題考查分類加法計數原理和分步乘法計數原理，按照顏色的種數進行分為3種顏色和四種顏色依次討論即可.【詳解】按照使用顏色的種類分類，第一類：使用了4種顏色，2,4同色，或3,5同色，則共有(種)，第二類：使用了三種顏色，2,4同色且3,5同色，則共有(種)所以共有48+24=72(種).3．（2023屆河南省模擬理科數學試題）某數學興趣小組的5名學生負責講述“宋元數學四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學生只講一個數學家的故事，每個數學家的故事都有學生講述，則不同的分配方案有種．【答案】240【分析】先把5名學生分成人數為的四組,再把四組學生分給宋元數學四大家講述,根據等量分組及排列計算即可得到.【詳解】先把5名學生分成人數為的四組,共有種分法,再把四組學生分給宋元數學四大家講述則有種分法,所以分配方案有種.4．如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供4種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數為．【答案】72【分析】根據題意，分4步依次分析區(qū)域、、、、的涂色方法數目，由分步計數原理計算答案．【詳解】分4步進行分析：①，對于區(qū)域，有4種顏色可選；②，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；③，對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有2種顏色可選；④，對于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有2種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有1種顏色可選，區(qū)域有1種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇，則不同的涂色方案有種；1．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種【答案】B【分析】按照同個元素（甲）分類討論，特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮即可得解.【詳解】按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個，剩下四人中選取三人進入天和核心艙即可，則有種可能；根據分類加法計數原理，共有6+8=14種可能.2．（2023年甘肅省模擬數學（理）試題）如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，現有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有種.【答案】72【分析】根據題意，按選出花的顏色的數目分2種情況討論，利用排列組合及乘法原理求出每種情況下種植方案數目，由加法原理計算可得答案【詳解】如圖，假設5個區(qū)域分別為1，2，3，4，5，分2種情況討論：①當選用3種顏色的花卉時，2，4同色且3，5同色，共有種植方案（種），②當4種不同顏色的花卉全選時，即2，4或3，5用同一種顏色，共有種植方案（種），則不同的種植方案共有（種）.3．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑和冰壺3個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有種．【答案】150【分析】先分組，在分配，分組問題必須考慮去除重復.【詳解】5個人，分成3組，共有2種分法，即1，1，3和2，2，1，共有種，再分配種；4．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有5種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種(以數字作答)．【答案】420【分析】根據給定圖形，按用色多少分成3類，求出每一類的著色方法數，再利用分類加法計數原理求解作答.【詳解】求不同的著色方法數有3類辦法，用5種顏色有種，用4種顏色，2，4同色或3，5同色，有種，用3種顏色，2，4同色且3，5同色，有種，所以不同的著色方法共有（種）.【基礎過關】2023年10月04日計數原理一、單選題1．為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播徐徑，構筑好免疫屏障，從2022年1月13日開始，某市啟動新冠病毒疫苗加強針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民，要求盡快接種.該市有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種【答案】A【分析】分組分配問題需要考慮重復；依題意要先分類，因為8個人分成3組人數上有不同的分法，再分配.【詳解】根據題意，這8名志愿者人數分配方案共有兩類：第一類是2，2，4，第二類是3，3，2，故不同的安排方法共有種；2．（2022屆高三普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題）由于新冠肺炎疫情，現有五名社區(qū)工作人員被分配到三個小區(qū)做社區(qū)監(jiān)管工作，要求每人只能去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少有一個人，則不同的分配方法有（

）A．150種 B．90種 C．60種 D．80種【答案】A【分析】本題考查排列組合的不均勻分配問題.先進行分組按照人數“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式進行分組，再進行分配（乘以），即可求解.【詳解】若分配的三組人數分別為3，1，1，則分配方法共有（種）；若分配的三組人數分別為2，2，1，則分配方法共有（種）；故共有種不同的分配方法.3．（2023屆湖南省名校適應性測試數學試題）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運會志愿者到游泳?射擊?體操三個場地進行志愿服務，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】C【分析】本題只需考慮游泳場有2名志愿者和1名志愿者兩種情況即可.【詳解】①游泳場地安排2人，則不同的安排方法有種，②游泳場地只安排1人，則不同的安排方法有種，所以不同的安排方法有種.4．書架上層放7本不同的語文書，書架下層放5本不同的數學書，從書架上層和下層各取一本書的取法有（

）A．12種 B．35種 C．7種 D．66種【答案】B【分析】由分步乘法原理求解即可【詳解】由題意可得，從書架上層取一本書有7種取法，從書架下層取一本書有5種取法，則分步乘法原理可得共有種取法.5．（2023年江西省聯考數學試題）小王同學家3樓與4樓之間有8個臺階，已知小王一步可走一個或兩個臺階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數為（

）A．28種 B．32種 C．34種 D．40種【答案】C【分析】分五種情況：8，7，6，5，4步走完樓梯，每一種情況的方法數都求出來再相加即可．【詳解】①8步走完樓梯，走8步走一個臺階，有1種；②7步走完樓梯，走1步兩個臺階6步一個臺階，有種；③6步走完樓梯，走2步兩個臺階4步一個臺階，有種；④5步走完樓梯，走3步兩個臺階2步一個臺階，有種；⑤4步走完樓梯，走4步兩個臺階，有1種，共計34種．【點睛】方法點睛：本題考查排列組合，解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步，具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．6．如圖．5個完全相同的圓盤用長度相同的線段連接成十字形．將其中兩個圓盤染上紅色．三個圓盤染上藍色．并規(guī)定：若一種染色方法經過旋轉后與第二種染色方法一致．則認為這兩者是同一種染色方法．則不同的染色方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．10種【答案】B【分析】分三類：中心染藍色，周圍兩相鄰染紅色或不相鄰染紅色(兩類)，中心染紅色(一類)，結合題意即可確定染色方法數.【詳解】第一種：中心圓盤染藍色，周圍圓盤中有兩個染紅色且紅色圓盤相鄰；第二種：中心圓盤染藍色，周圍圓盤中有兩個染紅色且紅色圓盤不相鄰；第三種：中心圓盤染紅色，周圍圓盤中有一個染紅色．7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】C【分析】先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個，再安排乙丙2人，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側；安排在甲有3個位置的一側，最后安排其余3人，綜上可得答案.【詳解】先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個安排有種方法，而甲站好后一邊有2個位置，另一邊有3個位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側有種方法；安排在甲有3個位置的一側有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊方法有：種.8．（2023屆山東省模擬數學試題）過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項.若這五項測試每天進行一項，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】根據特殊元素“失重飛行”進行位置分類方法計算，結合排列組合等計數方法，即可求得總的測試的安排方案種數.【詳解】①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項測試有種安排方法，此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數相同；②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第四、第五天有種選擇，剩下兩種測試全排列，則有種安排方法，此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數相同；③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第一、第五天有種選擇，剩下兩種測試全排列，則有種安排方法；故選拔測試的安排方案有種.9．（2023屆福建省適應性練習卷（省質檢）數學試題）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往A，B，C等3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個數點中的一個，則不同的安排方法數是（

）A．72 B．84 C．88 D．100【答案】D【分析】由題意可知，若甲去點，則剩余4人，可只去兩個點，也可分為3組去3個點.分別求出安排種法，相加即可得出甲去點的安排方法.同理，即可得出甲去點的安排方法，即可得出答案.【詳解】若甲去點，則剩余4人，可只去兩個點，也可分為3組去3個點.當剩余4人只去兩個點時，人員分配為或，此時的分配方法有；當剩余4人分為3組去3個點時，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有，綜上可得，甲去點，不同的安排方法數是.同理，甲去點，不同的安排方法數也是，所以，不同的安排方法數是.10．為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設A，B，C三門德育校本課程，現有甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有（

）A．54種 B．240種 C．150種 D．60種【答案】C【分析】根據已知對五位同學分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數，采用加法原理即可求解.【詳解】根據題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選A，B，C三門德育校本課程，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數為1、1、3，此時有種；②三組人數為2、2、1，此時有種.所以共有60+90=150種.11．（2023屆河北省考前適應性考試數學試題）現將甲乙丙丁四個人全部安排到市?市?市三個地區(qū)工作，要求每個地區(qū)都有人去，則甲乙兩個人至少有一人到市工作的安排種數為（

）A．12 B．14 C．18 D．22【答案】D【分析】分三種情況，結合排列組合知識進行求解出每種情況下的安排種數，相加即可.【詳解】若甲乙兩人中的1人到市工作，有種選擇，其余3人到另外兩個地方工作，先將3人分為兩組，再進行排列，有安排種數，故有種；若甲乙兩人中的1人到市工作，有種選擇，丙丁中一人到市工作，有種選擇，其余2人到另外兩個地方工作，有種選擇，故安排種數有種；若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外兩個地方工作，安排種數有種，故總共有12+8+2=22種.12．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數正確的是（

）A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；【答案】D【分析】根據題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-1的4組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.13．（2023年河南省模擬數學試題）如圖是在“趙爽弦圖”的基礎上創(chuàng)作出的一個“數學風車”平面模型，圖中正方形內部為“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成），給、、、這個三角形和“趙爽弦圖”涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點的區(qū)域）不同色，已知有種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】依次對區(qū)域正方形、、、、涂色，討論區(qū)域與區(qū)域同色或異色討論，確定每個區(qū)域所涂顏色的種數，結合分類加法和分步乘法計數原理可得結果.【詳解】先對正方形涂色，共有種顏色可供選擇，然后涂區(qū)域，有種顏色可供選擇，接下來涂區(qū)域，有種顏色可供選擇，若區(qū)域與區(qū)域同色，則區(qū)域有種顏色可供選擇；若區(qū)域與區(qū)域不同色，則區(qū)域有種顏色可供選擇，區(qū)域有種顏色可供選擇.由計數原理可知，不同的涂色方法種數為.14．（2023年四川省模擬數學（理）試題）第31屆世界大學生夏季運動會，將于2023年7月28日在成都舉辦，是中國西部第一次舉辦世界性綜合運動會．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻譯志愿者去參加A，B，C，D，E，五個場館的服務工作，每人服務一個場館且每個場館需要一人．由于特殊原因甲不去A場館，乙不去場館，則不同的安排方法有（

）A．120種 B．96種C．78種 D．48種【答案】C【分析】先進行5人全排列，再減五考慮將甲去A場館，乙去B場館，最后加回甲去A場館，同時乙去B場館，即可.【詳解】先將五人全排列放入五個場館，共有種方法，再考慮將甲去A場館，其他四個人全排列，共有種方法，乙去B場館，其他四個人全排列，共有種方法，而甲去A場館，同時乙去B場館，共有種方法，所以滿足要求的方法有種.15．（2023屆河北省模擬數學試題）第19屆亞運會將于2023年9月在杭州舉行，在杭州亞運會三館（杭州奧體中心主體育館、游泳館和綜合訓練館）對外免費開放預約期間，甲、乙、丙、丁4人預約參觀，且每人預約了1個或2個館，則這4人中每個館恰有2人預約的不同方案有（

）A．76種 B．82種 C．86種 D．90種【答案】D【分析】應用分步計數原理先分組再討論相同預約計算即可.【詳解】由題意知這4人中恰有2人均預約了2個館，剩下2人均預約了1個館，首先將4人分成2組，有種不同的分法，下面分2種情況：若預約2個館的2人預約完全相同，有種不同的結果；若預約2個館的2人有預約1館相同，有種不同的結果，所以每個館恰有2人預約的不同方案有種．16．（2024屆浙江省名校適應性考試數學試題）某校銀杏大道上共有20盞路燈排成一列，為了節(jié)約用電，學校打算關掉3盞路燈，頭尾兩盞路燈不能關閉，關掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，則不同的方案種數是（

）A．324 B．364 C．560 D．680【答案】B【分析】利用插空法及組合數求閉燈方案數.【詳解】將路燈分2盞(為保證關閉路燈之間至少有兩盞亮)、15盞、3盞(需關閉的路燈)，首先15盞亮的路燈先排成一排，把3盞關掉的路燈插空，而頭尾兩盞路燈不能關閉，所以是除頭尾之外的14個位置上插入三盞關掉的燈，共種，在每兩盞關掉的路燈之間再各放入一盞路燈且路燈無差異，保證關掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，只有1種方法.綜上，共有種方案數.17．2022年北京冬奧會和冬殘奧會給世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的設計好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合．為了弘揚奧林匹克精神，某學校安排甲、乙等5名志愿者將吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若甲、乙必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先安排甲乙兩人，然后剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，先分組后安排即可．【詳解】甲和乙必須安裝不同的吉祥物，則有種情況，剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，有，然后分配到參與兩個吉祥物的安裝，有，則共有種.18．當前，新冠肺炎疫情進入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴峻、復雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數為（

）A．30種 B．36種 C．42種 D．64種【答案】A【分析】由題意可得，分兩個地區(qū)各分2人，另一個地區(qū)分1人和兩個地區(qū)各分1人，另一個地區(qū)分3人兩種情況，對兩種情況的種數求和，即可求解．【詳解】解：①當兩個地區(qū)各分2人，另一個地區(qū)分1人時，總數有種；②當兩個地區(qū)各分1人，另一個地區(qū)分3人時，總數有種．故滿足條件的分法共有種．19．（2023屆北京市診斷性測試數學（理）試題）若5名女生和2名男生去兩地參加志愿者活動，兩地均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）種．A．20 B．40 C．60 D．80【答案】C【分析】利用分步乘法原理、排列組合數以及不均勻分組的方法進行求解.【詳解】第一步，先安排2名男生，有種排法；第二步，安排5名女生：第1種情況，5名女生分兩組，一組1人，一組4人，有種分法，第2種情況，5名女生分兩組，一組2人，一組3人，有種分法，所以5名女生分兩組去兩地參加志愿者活動共有：種排法，所以，總共有種分配方案.故A，B，D錯誤.20．某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數學、英語、物理、化學各一節(jié)課，要求語文與化學相鄰，數學與物理不相鄰，且數學課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數是．【答案】16【分析】根據題意，可分三步進行分析：（1）要求語文與化學相鄰，將語文與化學看成一個整體，考慮其順序；（2）將這個整體與英語全排列，排好后，有3個空位；（3）數學課不排第一行，有2個空位可選，在剩下的2個空位中任選1個，得數學、物理的安排方法，最后利用分步計數原理，即可求解．【詳解】根據題意，可分三步進行分析：（1）要求語文與化學相鄰，將語文與化學看成一個整體，考慮其順序，有種情況；（2）將這個整體與英語全排列，有中順序，排好后，有3個空位；（3）數學課不排第一行，有2個空位可選，在剩下的2個空位中任選1個，安排物理，有2種情況，則數學、物理的安排方法有種，所以不同的排課方法的種數是種．21．2021年12月，南昌最美地鐵4號線開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學決定乘坐地鐵去觀洲、人民公園、新洪城大市場三個地方游覽，每人只能去一個地方，人民公園一定要有人去，則不同游覽方案的種數為.【答案】65【分析】利用間接法，利用分步計數原理求出沒有限制的方案數，排除沒人去人民公園的方案數，即得.【詳解】由題可知沒有限制時，每人有3種選擇，則4人共有種，若沒人去人民公園，則每人有2種選擇，則4人共有種，故人民公園一定要有人去的不同游覽方案有種.22．（2023年湖北省聯考數學試題）甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項不同的工作，每項工作由一人完成，每人至少完成一項，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有種．【答案】50【分析】因為E工作只有乙能完成，所以分為兩類，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用兩個原理及排列組合的知識即可求得【詳解】由題意可分為兩類（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四項工作，則一共有種安排方式（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四項工作，則一共有種安排方式;綜上共有種安排方式.23．《數術記遺》是《算經十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算、珠算和計數.某中學研究性學習小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運籌算、了知算、成數算和把頭算等5種算法的相關資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有種.【答案】126【分析】按甲收集資料的種數分類討論，先確定甲收集資料的種數剩下的分成三組分給乙、丙、丁三人收集.【詳解】據題意，甲可收集1種或2種資料.第一類，甲收集1種，則乙、丙、丁中有一人收集2種，另兩人各收集1種，有種；第二類，甲收集2種，則乙、丙、丁每人各收集1種，有種.所以不同的分工收集方案種數共有108+18=126種.24．（2023年遼寧省模擬數學試題）如圖所示的五個區(qū)域中，現要求在五個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為（用數字作答）．【答案】【分析】利用分步乘法及分類加法計數原理即可求解.【詳解】設這四個顏色分別為，先給區(qū)域涂色，有種涂法；假設區(qū)域涂的是顏色1，再給區(qū)域涂色，可以是顏色,有種涂法;假設區(qū)域涂的是顏色，再給區(qū)域涂色，可以是顏色，有種涂法;假設區(qū)域涂的是顏色，如果區(qū)域涂的是顏色，則區(qū)域可以涂顏色或顏色，有種涂法;如果區(qū)域涂的是顏色4,那么區(qū)域可以涂顏色，有1種涂法.所以不同的涂色方法種數為(種).25．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（新課標I卷））從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有種．（用數字填寫答案）【答案】【分析】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數，再根據從人中任選人的選法種數減去沒有女生的選法種數，即可解出.【詳解】［方法一］：反面考慮沒有女生入選有種選法，從名學生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．故答案為：.［方法二］：正面考慮若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．故答案為：.【整體點評】方法一：根據“正難則反”，先考慮“至少有位女生入選”的反面種數，再利用沒有限制的選法種數減去反面種數即可求出，對于正面分類較多的問題是不錯的方法；方法二：正面分類較少，直接根據女生的人數分類討論求出．26．有甲、乙、丙三項任務，甲、乙各需1人承擔，丙需2人承擔且至少1人是男生，現有2男2女共4名學生承擔這三項任務，不同的安排方法種數是．（用具體數字作答）【答案】10【分析】由題意分兩類，丙選擇一名男生和一名女生或丙選擇兩名男子，根據分類計算原理即可求出.【詳解】①丙選擇一名男生和一名女生：.②丙選擇兩名男子：.所以不同的安排方法種數是：10種.27．有3名男生和4名女生，根據下列不同的要求，求不同的排列方法種數．(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中3名男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，3名男生互不相鄰；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.【分析】(1)采用元素分析法，先安排甲，再排剩余的6個人；(2)采用位置分析法，先排最左邊，再剔除乙在最右邊的排法；(3)采用捆綁法，將男生看成一個整體，進行全排列；(4)采用插空法，先排男生，然后將女生插入其中的四個空位；(5)采用插空法,先排女生，然后在空位中插入男生；(6)采用定序排列，7名學生排成一行，分兩步：第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為N；第二步，對甲、乙、丙進行全排列；(7)與無任何限制的排列相同，即7個元素的全排列；(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間，再將甲、乙及中間3人看作一個整體和其余2人一起共3個元素排成一排.【詳解】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三個位置可供甲選擇，有種排法，其余6人全排列，有種排法，由乘法原理得共有（種）排法；（2）解：位置分析法．先排最左邊，除去甲外有種排法，余下的6個位置全排有種排法，但應剔除乙在最右邊的排法種，則符合條件的排法共有（種）；（3）解：捆綁法．將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，共有（種）排法；（4）解：插空法．先排男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有（種）排法；（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（種）排法；（6）解：定序排列．7名學生排成一行，分兩步：第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為N；