2025?2。26學(xué)年江西省宜春市豐城九中高二（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)z=乙的共規(guī)復(fù)數(shù)是（）

A.B.C.1—iD./+i

2.已知一個(gè)扇形的圓心角力-且所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為7T,則該扇形面積為（）

3

A.ITB.-7TC.27rD.37r

3.已知向量w=(2m+l,l),b=(1,5-4m),.且&1另，則m的值為()

A.3B.-3C.2D.-2

4,若a+0=^-,tana=2,則一.，*的.=()

廠4cosia—/?)—sinasin/?''

A.1B.-1C.2D.-2

5.在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=AB,Z.BCD=45°,/.BAD=90°,將4

ABD折起，使平面4BD1平面BCD,構(gòu)成三棱錐A—BCD,如圖，則在三棱錐

力-BCD中，下列結(jié)論不正確的是（）

A.CD1AB

B.CD_LBD

C.平面40。上平面ABO

D.平面48C_L平面BOC

6.A4BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知陪+誓=七#,則力的最大值為（）

A-C

b-TD片o

7.21世紀(jì)以來(lái)，中國(guó)鋼鐵工業(yè)進(jìn)入快速發(fā)展階段，某工廠要加工一種如圖所示的

圓錐體容器，圓錐的高和母線長(zhǎng)分別為4m和5m,該容器需要在圓錐內(nèi)部挖出一

個(gè)正方體槽，則可以挖出的正方體的最大棱長(zhǎng)為（）

A.36-21y[2mB.40-

C.40-24/2mD.36-24/2m

8.已知平面向量樂(lè)b.1滿足I五|二|旬=五々=2,且I五+4有》I五一2初對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)恒成立，則|另一

（d+d）|的最小值為（）

A.2-/3B.2/3-2C.2+/3D.273+2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.對(duì)于函數(shù)/(x)=s出2%和g(x)=sin(2x-,下列正確的有()

A.f(%)與g(x)有相同零點(diǎn)B.fQ)與g(x)有相同最大值

C./(%)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖像有相同的對(duì)稱(chēng)軸

10.己知a,b,c分另U是△A8C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是()

A.TitanA+tanB+tanC>0,則448。是銳角三角形

B.若QCOS/1=bcosB,則4是等腰一:角形

C.若bcosC+ccosB=bf則44BC是等腰三角形

D.△48c是銳角三角形,則sim4>cosB

11.如圖,正方體力BCD-AiBiG%的棱長(zhǎng)為2,E,F分別曷4D,DD1的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是底面A8CD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則卜列結(jié)論正確的為()

A.存在點(diǎn)P,使得F尸〃平面4BG%

B.過(guò)氏E,尸三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形

C.異面直線與EF所成的角的大小為60。

D.若DiP〃平面48Q,則點(diǎn)P的凱跡的長(zhǎng)度為心

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知0彳=(1,2),而=(3,-4),則而在函方向上的投影向量坐標(biāo)為

13.若cos(a+9cos(a—,)=—?jiǎng)tsin2a=____.

14.已知四邊形A8C0為平行四邊形，AB=4,AD=3,ABAD=p現(xiàn)將△力8。沿直線80翻折，得到三棱

錐n'—BCO,若AC=，記，則三棱錐d—8C0的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

記ZM8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且￡=也非警”

a2stn/l

(1)求8的大??；

(2)若b=2jl,△ABC的面積為2C，求△力8C的周長(zhǎng).

16.(本小題15分)

如圖，在三棱柱力BC—Ai/Q中，側(cè)面力力道避為菱形，邊長(zhǎng)為2,且44送8=60。，AC=BC,。是48的

中點(diǎn).

(1)求證：8G〃平面4DC；

(2)若平面1平面力BC,4c與平面4BC所成的角為45。，求四棱錐為一8CG&的體積.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(T)=Af3cos26?r+Sin(OXCOSMY—>0),f(Y)圖象的相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為今

(1)求/(X)的解析式和函數(shù)八X)的單調(diào)遞增區(qū)間：

(2)將函數(shù)/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的"，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向左平移:個(gè)單位得

g。)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)=m在[-卷,勺上只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

工4O

18.(本小題17分)

如圖，已知三樓臺(tái)力/遇1G的體積為14券，底面△/EC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，平面

1平面A8C,且A%1==BBX=\AB.

(1)證明:BC1平面ABB]4；

(2)求點(diǎn)8到平面ACC14的距離；

(3)在線段CG上是否存在點(diǎn)尸，使得二面角5-48—C的大小為?若存在，求出CF的長(zhǎng)；若天存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

C

B

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：2=^=^^="打

則2的共扼復(fù)數(shù)是1一）.

故選:B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解.

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【蟀析】解：因?yàn)樯刃蔚膱A心角為一且所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為江，

故半徑為1=3,

3

故該扇形面積為:X3X/r=：.

故選:B.

先求出扇形的半徑，再根據(jù)公式可求扇形的面積.

本題主要考查扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【脩析】解：向量方=(2mI1,1),Z?=(1,54m)?

則W?b=2m+14-5-4m=6—2m=0,可得m=3.

故選:A.

應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，求參數(shù)值.

本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由題意得S“？=tan(與一0)=生笠薩巴=3,

則sin(a_0)_$inacos8-cosastnR_sinacosR-cosasinR

'cos(?-/?)-sinasin/?—cosacos/?+sinasin/?-sinasin/?—cosacos/?

故選:B.

由兩角差的正弦、余弦、正切公式展開(kāi)化簡(jiǎn)即可求解?.

本題考查了兩角差的正弦、余弦、正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：對(duì)于8,如圖,

因?yàn)榱??！?。，AD=AB,/.BAD=90°,

所以4480=A.ADB=45°,

又因?yàn)?BCD=45。，AD//BC,

所以匕ADC=135°,

所以48DC=Z.ADC-Z.ADB=135°-45°=90°,

所以C018D,所以B正確；

對(duì)干4,由8詵項(xiàng)知CD_L80,

又因?yàn)槠矫嫦?。，平?c0,COu平面8m平面718。fl平面BCO=80,

所以COL平面ABD,

因?yàn)閡平面4BC,

所以CD1A8,所以A正確；

對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，。。_1平面48。，

因?yàn)镃Ou平面/OC,

所以平面力。。_1_平面所以C正確；

對(duì)于D,如圖，過(guò)點(diǎn)力作4EJ.BD,垂足為E,

因?yàn)槠矫?8。1平面BCD,AEu平面48。，平面88。n平面BCD=8。,

所以AE平面8C0,

顯然力EU平面ABC,所以平面48。與平面80c不垂直，所以。錯(cuò)誤.

故選：D.

根據(jù)線面、面面垂直的判定定理以及線面、面面垂直的性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷即可.

本題考查線面，面面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題.

6.【答案】A

【脩析】解：△48。的內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別是Q,b,c,己知%+誓=0旦,

cba

則與不+穹￡?=0Z區(qū),整理得Q2=(2_O兒.

labcLabea

由余弦定理得COS/l=縹衛(wèi)>2兒-(丁尻=苧，

2bc2bc2

當(dāng)且僅當(dāng)b=C時(shí)取等號(hào)，

所以cosA>:，

故0

O

即4的取值范圍是(0,)

故答案為：A.

直接利用余弦定理的應(yīng)用和三角函數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用和函數(shù)值的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)值的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于

較易題.

7.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閳A錐的高八=4加，母線長(zhǎng)1=5加,

設(shè)圓錐底面半徑為r,則廠=VI2—h2=3機(jī),

過(guò)圓鏈的頂點(diǎn)和正方體底面灼角線作圓錐的軸截面，如圖,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,

則CG=a,CD=Yla,

作4。垂直底面于0,則E。=r,AO=h,

因?yàn)椤鱁g?△E04,所以察=需

即、=三，即。=益為，解得Q=(36—24j1)m.

故選：D.

由題意可知，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)和正方體底面對(duì)角線作圓錐的軸截面，如圖所示時(shí)，此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)，

再根據(jù)圖中的幾何關(guān)系即可求出此結(jié)果.

本題主要考查圓錐的內(nèi)接正方體體積，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：已知平面向量G、譏以茜足|五|=|刈=己々=2,且|五+底|>|五-吳|對(duì)任意實(shí)數(shù)；I恒成

立，

則片+2Aa-c+A2-c2>a2-ac+^c2,

即寸U24-4A+2-ic2>0恒成立，

故/=16-4中?(2-[木)W0,

即(花『-4)2￡0,

解得|42=4,

即同=2,￡.|a|=|b|=a-c=2,

而|4+下產(chǎn)=(a2+2a-c+c2)=4+4+4=12,

故+T=2/3,

則由絕對(duì)值三角不等式得+>\\b\-\a+c\\=|2-273|=2/3-2,

則在-0+的最小值為-2.

故選：B.

對(duì)于不等式|五+/1直2|五-我們兩邊平方得到關(guān)于實(shí)數(shù)人的不等式，進(jìn)而得到用=2,再結(jié)合向量

的運(yùn)算性質(zhì)得到|五=2/3,最后利用絕對(duì)值三角不等式求解最值即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了不等式恒成立問(wèn)題，屬中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于4/(0)=0,g(0)=-苧，故4錯(cuò)誤；

對(duì)干3,/(x)G[-1,1]?g(x)€[-1,1]*兩函數(shù)值域相同，故8正確；

對(duì)于。，顯然兩函數(shù)最小正周期都為江，故。正確；

對(duì)于。，由2%=碗+夕k€Z得，函數(shù)/⑶的對(duì)稱(chēng)軸是工二竽-3kez,

由〃一昔5k￡Z得，函數(shù)g(x)的對(duì)稱(chēng)軸是％=罟+拳k￡Z,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性逐項(xiàng)判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：A：?.一!!(.+8)=+:°叱，且4B,C是△4BC的內(nèi)角，，￡am4+￡。幾8=tanQ4+

5)(1—tanAtanB),

:.tanA+tanB4-tanC=tan(/I+8)(1—tanAtanB)+tanC=-tanC(l-tanAtanB)4-tanC=

tanAtanBtanC>0,

.??4,B,C都是銳角，.?.△48。是銳角三角形，故選項(xiàng)人正確；

B：由acosA=匕cosB及正弦定理可得sim4cos4=sinBcosB,即s比24=sin2B,

:.2A=2B或24+2B="，:.A=8或力+8=熱

???△48C是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C：由bcosC+ccosB=匕及正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sin(8+C)=sinA=sinB,

???4B,C是A/IBC的內(nèi)角，，4=B,是等腰三角形，故選項(xiàng)C正確；

0：△ABC是銳角三角形，+即

則sim4>sin(?-8)=cosB,故選項(xiàng)/)正確.

故選:ACD.

由兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷力，由正弦定理化邊為角結(jié)合正弦的二倍角公式判斷8,由正弦定理

化邊為角，逆用兩角和的正弦公式判斷C,根據(jù)0V*-B<4<9結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性判斷D.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【蟀析】解：正方體力BCO的棱長(zhǎng)為2,E,“分別是人。，的中點(diǎn)，

點(diǎn)戶是底面/8C0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，

對(duì)于4取8C的中點(diǎn)H,連接EH,FH,

,:E,F分別是4D,DO1的中點(diǎn)，??刖//>。1，

???EFC平面/BGDi，AD.u平面ABGDi，

必//平面

，：EH"AB,同理可得E，//平面48GDI，

vEHQEF=E,EH,EFu平面EHr,.?.平面EHF//平面486心,

故當(dāng)P在線段EH上時(shí)，滿足FP〃平面力BGDI，故A正確：

對(duì)干B,連接GF,由4知，EF//ADlt^BCJ/AD^：.EF//BC^

.?川邊形EBC/即為過(guò)B,E,F三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形,

vEF=^ADY=|FCX,二四邊形EBQF為梯形，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由8知，EF//BCV,

乙4]BG為直線84與"所成角或其補(bǔ)角，

連接&G，則&Q==Bq=22，

???△&G8為等邊三角形，故N48G=60°,

異面直線與EF所成的角的大小為60。，故C正確;

對(duì)干D，連接力5，CD1,AC,

；BCJ/ADi，3gu平面43G，月。1仁平面43。1，

???力。1//平面力iBCi，

又BA\〃CD\,同理可得CD]〃平面48C1，

XCDiCyAD1=DlfCD1,4D1U平面ACO],

???平面ACDi〃平面48Ci，

故當(dāng)P在線段AC上時(shí)，D】Pu平面力CD】，

???。1/7/平面4潭0,

.?.若01/7/平面418c1，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為AC=2，1,故。錯(cuò)誤.

故選:AC.

4選項(xiàng)，作出輔助線，得到線面平行，故平面EW/7/平面ABCiA，故當(dāng)P在線段￡77上時(shí)，滿足FP〃平面

ABC.D.,A正確；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到四邊形EBGF為截面圖形，并得到其為梯形；C選項(xiàng)，作出

輔助線，448C1為直線與所成角，△&G8為等邊三角形，故心力/。1=60。，C正確；D選項(xiàng)，作

出輔助線，證明出平面NCD]〃平面4BG，故當(dāng)P在線段4C上時(shí)，QP〃平面力1BG，點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為

2y/~2^。錯(cuò)誤.

本題考查線面平行的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】(-2,-4)

【解析】解：由已知得，AB=0B-0A=(3,-4)-(1,2)=(2,-6),

所以，而在65方向上的投影向量為鬻^?瓦？==-20A=(-2,-4).

故答案為:(-2,-4).

求出向量麗的坐標(biāo)，利用投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.

本題主要考查平面向量的投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1

【解析】解:由題意得cos(a-與)=cos[(a+》一TT]=-COS(Q+'

所以cos(a+9cos(a-^)=~|?即一cos2(a+^)=-1,

所以cos2(a+J)=1+。*2叫)_1解得cos(2a+芻=一：，即一sm2a=—;，可得sin2a=

故答案為:

根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求得cos〔a-與)=-cos(a+?結(jié)合二倍角的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式，算

出cos(2a+J進(jìn)而求得sin2a的值.

本題主要考查二角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角的二角函數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查球的切、接問(wèn)題，球的表面積，利用余弦定理解三角形，棱錐的體積，屬于中檔題.

根據(jù)題意利用余弦定理求得OB=V■宣，由此三棱錐的對(duì)棱相等，故此三棱錐的三組對(duì)棱是一個(gè)長(zhǎng)方體的

六個(gè)面的對(duì)角線，利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)求外接球半徑，再等體積法求出內(nèi)切球半徑，運(yùn)算求解即可.

【解答】

解：在△力BD中，AB=4,AD=3,^BAD=

故。夕2=2+2_,.

ABAD2ABADCOS/_BAD

=42+32-2x4x3xi=13,

即DB=C5，

則折成的三榜錐4-BCD中，

A'C=DBfA'B=AB=DC,

A'D=AD=BC,

即此三棱錐的對(duì)棱相等，

故此三棱錐的三組對(duì)棱是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線，

設(shè)長(zhǎng)方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,

則M+b2=13,a2+c2=9,+c2=16,

此長(zhǎng)方體的外接球是三棱錐H—EC。的外接球,

設(shè)外接球的直徑2R外=>/a2+b2+c2=/19,

即跖=享，

又因?yàn)槿忮FA-BCD是長(zhǎng)方體切掉四個(gè)角，

故三棱錐%BCD=abc-4x|x|abc

J4

=^abc=2Vs,

?J

三棱錐4'-BCD四個(gè)側(cè)面是全等的，

171

S^=4sM8。=4x-ABAD-sin^

=2X4X3X?=12V3，

設(shè)內(nèi)切球半徑為Rg，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，把三棱錐分割為以球心為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的的四個(gè)小三

棱錐，四個(gè)小三楂錐體積等于大三棱錐的體積，

,,3V3x2/5/15

故&n內(nèi)二4=京亍=工，

表

4油：晨經(jīng)

則三棱錐片-Be。的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為T(mén)=4=#=^5.

4崎喙學(xué)57

故答案為：.

15.【答案】解：(1)由題意得及正弦定理可得等二生竽竽空

sinA/sizi/i

因?yàn)閟izMH0,所以si幾4+2sinBcosA=2sinC=2szn(71+8)=2sinAcosB+2cosAsinB,

得sin/l=2sinAcosBf得cosB=；，而8G(0,7r),

可得B=全

(2)由S08C=^acstnB=2-^3,由(1)可得ac=8,

而b=2y/~2,

由余弦定理COSB=°+：-。=1,可得a24-c2-8=ac,

Zac2

可得a+c=4>J~2,△ABC的周長(zhǎng)a+c+b=4AA2+2\[~2=6V~2?

所以△ABC的周長(zhǎng)為

【解析】(1)由正弦定理及三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)可得8的余弦值，進(jìn)而求出8角的大小；

(2)由三角形的面積和(1)可得ac的值，再由余弦定理可得Q+C,進(jìn)而求出三角形的周長(zhǎng).

本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】(1)證明：連接GA,設(shè)％CnAG=E,連接DE.

因?yàn)槿庵膫?cè)面/MiGC為平行四邊形，所以E為4c的中點(diǎn).

在么力8G中，因?yàn)?。是A8的中點(diǎn)，

所以DE〃Bg.

因?yàn)镺Eu平面40C,BC]U平面&DC,所以BG〃平面4。。.

(2)因?yàn)闉檎切危?O14B,4。=門(mén)，

因?yàn)槠矫?88遇11平面ABC,平面A8Bi&n平面=所以

ArDL^ABC,

所以，4]CD為力￡與平面4BC所成的角，所以乙4也。=45°,

所以CD=&O=JI,

因?yàn)锳C=BC,。為AB中點(diǎn),

所以CD1AB.

所以四棱錐&-8。。]當(dāng)?shù)捏w積為：

—

匕「8CG81=^ABC-AXBXCX~^A1-ABC=3

=\^-3xx2xy/~3—：xV-3xx2xV_3=2.

乙OLa

【解析】(1)連接Cp4,設(shè)41cA4cl=E,連接DE.推導(dǎo)出DE〃BCi.由此能證明BCi〃平面&DC.

(2)推導(dǎo)出&。J.4B,從而aO1平面ABC,進(jìn)而CO為41c與平面4BC所成的角，乙4道。二45。，推導(dǎo)

出CO14B.四棱錐兒-BCC1與的體枳為以「8cg8,=匕8C-&/Q-匕I-48C，由此能求出結(jié)果.

本題考查線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.【答案】/(x)=sin(2a)x+?),

/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[—第+k兀居+krc],kEZ；

JL4JL4

[-/3,/3)U{2}.

【伯機(jī)】解：(1)/(%)=V~3cos2a.'X+sincoxcoso)x

V3,、1,門(mén)

=2(1+cos2(jjx)+sin2cox—^―

=sin(23x+g),其中3>0,

因?yàn)?■(%)圖象的相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為宏

所以f(X)的最小正周期為7=兀，

即”=兀，解得3=1,所以/a)=sin(2x+%

令+2"W2X+g5+2k;r,keZ,解得一招+k/rWxW3+k/r,

4J41Z1L

keZ,所以f。)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一招+E婚+E],kwz；

(2)由⑴知，f(x)=sin(2x+E),將/Xx)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的標(biāo)

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得函數(shù)y=2sin(4x+9的圖象，

再向左平移工個(gè)單位得g(x)=2sin[4(x+*)+§=2sin(4x+竽)的圖象.

令t=4%+半，二￡[一.幣,則teg,爭(zhēng)，所以2siM€[-，5,2],

因?yàn)?si〃t=m在t€寫(xiě)上只有一個(gè)解，由y=2si〃t的圖象(如圖)可得，一，54m＜或m=2,所

以成的取值范圍是[-審,0)u{2}.

(1)利用正余弦的二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)/(%)；根據(jù)/XX)的最小正周期為7T求出3可得/(X)：

再求單調(diào)遞增區(qū)間即可：

(2)利用圖象平移可得g(x),令t=4x+?,轉(zhuǎn)化為2s出t=m在￡€G,等上只有一個(gè)解，結(jié)合圖象可得答

案.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，也考杳了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.【答案】證明見(jiàn)解析：

4/21

7；

【解析】⑴證明：在三棱臺(tái)ABC-AiBiQ中，平面4881Al_L平面ABC,ABLBC,

而平面介平面/BC=AB,BCu平面/8C,

所以8c_L平面488遇1.

(2)由棱臺(tái)性質(zhì)知：延長(zhǎng)44i，BB、,CG交于一點(diǎn)P,

―一|

B

由公當(dāng)=；/18,得SAABC=4SM]/G，點(diǎn)P到平面/8C的距離為到平面48C距離的2倍，則%=

8%-A[81Q，

于是%TBC=?5BC-4%G=?乂殍=苧，由8C1平面力BB]4,得8C為點(diǎn)C到平面P48的距離，

又AiBJ/AB,則4是P/的中點(diǎn),P&=4/1=4祖=P?即△尸乙比為正三角形,APAB為正三角

形，

設(shè)48=2x,則BC=PA=PB=AB=2x,

Vp-ABC=落PA3,BC=gX午x(2x)2x2x=孚%3=岑Z,解得%=2,

AB=BC=pA=pB=4,由PBu平面P48,得BC1PB,AC=PC=4>f2，

S△尸AC=1x4xJ(4^)2-22=4/7?設(shè)點(diǎn)B到平面"CQ4的距離為d,

由%T8C=%-P4C，得/SAPAC,d=^解得：d=12^1.

即點(diǎn)8到平面4CG4的距離為竿.

(3)由BCJ■平面BCu平面718C,得平面ABC1平面P4B,取48中點(diǎn)N,連接PN,

在正△R4B中，PN工AB,而平面為BCn平面P4B=4B,則PN1平面ABC,而CNu平面48C,

則PN1CN,又PNu平面PNC,則平面PNC1平面ABC,作尸E1CN于E,

平面PNCn平面/WC=CN,則FE1平面ABC,FE//PN,而ABu平面HBC,^\AB1FE,

作E0_LA8丁O,連接尸。，DECFE=E,DE,尸Eu平面0￡尸，則48_L平面?！晔?，

而FOu平面?！?，于是4BJ.FD,4FDE即二面角F-48-C的平面角，

AI_A-———?

設(shè)FE=Ct，由(2)知：PN=2?CN=>JBC2+BN2=2/5，

由需=修，得CE=^-Oe=四匕EN=2仄一國(guó)，

rlNL/VVJ

由DE〃8C，得DE=暮BC=2ytx4=4—2t，

CNzv5

若存在尸使得二面角廣-AB-C的大小為《

o

則lan乙/OE=lan^=獸=十號(hào)=丫，解得”：，

6DE4-2t35

CF=VCF2+FF2=2/2t=亭<Cq=2口

D

所以存在滿足題意的點(diǎn)尸，CF=^.

(1)利用面面垂直的性質(zhì)推理即得.

(2)延長(zhǎng)/1&,BB1，CG交于一點(diǎn)P,根據(jù)“TBC=?以8C-A】B]C]可求得4.48C，利用等體積法構(gòu)造方程求

解.

(3)根據(jù)線面垂直和面面垂直性質(zhì)可作出二面角的平面角，設(shè)FE=，Z3根據(jù)幾何關(guān)系可表示出。町由二

面角大小可構(gòu)造方程求得3進(jìn)而得到結(jié)果.

本題考查立體幾何中的垂宜關(guān)系的證明、點(diǎn)面距離的求解、二面角問(wèn)題的求解；求解二面角問(wèn)題的關(guān)鍵是

能夠利用三垂線法，作出二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系構(gòu)造關(guān)于尸E長(zhǎng)度的方程，從而求得結(jié)果.

19.【答案】苧；

1+2/7

C，l).

【解析】解：(1)因?yàn)槎?29/C48=120。，

所以而=尼+而=正+,麗=亞+:(而一近)=，檢+；衣，

即I而『=||^|2

所以|而產(chǎn)=1x4+《x2x1x(一》+gx1=—,

所以I而I=產(chǎn)；

(2)由(1)可知同=\AB+2前，

所以前=而一而=荏_A而+:近)=荏—，而一;而，

設(shè)乙CA8=e,0€(0,7T),且△月B￡?為等邊三角形，

所以|屁『=(AE-^AC)Z=\AE\2+1\AB\2+1\AC\2+2^AB-AE-^AC-AE-^lAC

412112

困

即2422222