第1章三角形單元測試

一、單選題

1.下列每組數(shù)分別是三根小棒的長度，其中能擺成三角形的是（）

A.12cm,12cm,24cmB.8cm,1Ocm,22cm

C.20cm,30cm,40cmD.16cm,14cm,30cm

2.聰聰想要從下邊方格圖的格點中再選一個點C,連接4、B、C三點后,能組成直角三角

形48c.則點。的位置有（）種選法.

AB

A.3B.6C.7D.9

3.如圖，將直角三角尺力3。放置在刻度尺上，斜邊上三個點4D,8對應(yīng)的刻度分別為

1,4,7（單位：cm）,則CO的長度為（）

C.4cmD.4.5cm

4.如圖，在等腰三角形中，AB=AC,點力為垂足，點、E、尸分別是

AD、上的動點，若48=6,△48C的面積為12,則8E+E/的最小值是（）

A.2B.3C.4D.6

5.如圖1是某地鐵站入匚的雙翼閘門，當它的雙翼展開時，如圖2,雙翼邊緣的端點A與4

之間的距離為10cm,雙翼的邊緣4c=80=52cm,且與閘機側(cè)立面夾角

試卷第1頁，共6頁

^PCA=^QDB=30,求當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）

產(chǎn)。

聞

機

相

D.74

6.如圖，儀器/16CQ可以用來平分一個角,其中月8=/。，BC=DC,將儀器上的點4與

/依。的頂點A重合，調(diào)整48和力。，使它們落在角的兩邊上，沿力C畫一條射線4￡,AE

就是/依。的平分線，則這個平分角的儀器的制作原理是（）

0

A.邊邊邊B.邊角邊C.角角iiD.角邊角

7.如圖，在中，月“是高，CE=2,D是/信的中點，后的面積與△/E。的面積

相等，則8c的長為（）

8.如圖，在△力8c中，AB=ACfND=NC4D,8c=10,貝ij8Z)=()

A.5B.6C.7D.8

試卷第2頁，共6頁

9.如圖，在△力8C中，NC=9（）。，以點4為圓心，任意長為半徑畫弧分別交48、/C于

點”和點N,再分別以點/、N為圓心，大于;MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P.連接

WP并延長交8c于點。，若8=3,則點。到宜線48的距離是（）

10.對于題目“如圖，8C=6cm,NP8C=NQC8=60。，點M在線段C8上以3cm/s的速度

由點C向點8運動，同時，點N在射線。。上以lcm/s的速度運動，它們運動的時間為z（s）

（當點M運動結(jié)束時，點N運動也隨之結(jié)束）.在射線BP上取一點A,在點M,N運動到

某處時，存在"BM與AMCN全等,求此時，的值.”用的結(jié)果是0.5,乙的結(jié)果是1,丙的

結(jié)果是1.5,則下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩人的結(jié)果合起來才對

B.乙、丙兩人的結(jié)果合起來才對

C.甲、丙兩人的結(jié)果合起來才對

D.甲、乙、丙三人的結(jié)果合起來才對

二、填空題

11.如圖是張老師自制的教具模型圖，利用教具她驗證了連接平行四邊形相鄰兩邊上的兩點

后，此時圖形的形狀是無法改變的，她用到了三角形“”的性質(zhì).

12.已知三角形兩邊的長分別為lc〃?,4cm，第三邊的長為整數(shù)，則第三邊的長為—.

13.如圖，在8c中，^BAC=42°,分別以點8,。為圓心，大于為半徑畫弧，兩

弧相交于點巴作射線力尸.若4產(chǎn)上8C,則NC的度數(shù)為.

試卷第3頁，共6頁

(1)畫出三角形H5'C’,并寫出H的坐標；

(2)連接力H,CC,并求出四邊形X4'C'C的面積；

(3)在圖中第一象限格點上找一點。，使OC18C,垂足為C,并寫出點/)的坐標.

18.如圖，ZUBC為等腰直角三角形，乙4。8=90。，4c=8C,點。在8C的延長線上

(CD<80.連接4Z),E為4c邊上一點、，且CE=CD,連接8E并延長交力。于產(chǎn).

(1)猜想與力。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求/。/。的度數(shù).

19.已知，如圖，4七13瓦力/_1。？，點反〃分別為垂足，BE=CF,NABC=NACB.

(2)試說明DA平分/EDF

(3)延長￡8、/。相交于點/),連結(jié)/力.證明：垂直平分線段AC.

20.如圖1,^5=10cm,ACA.AB,BD1AB,垂足分別為力、B,4C=7cm.點P在線

段48上以3cm/s的速度由點力向點8運動，同時點。從點8出發(fā)在射線8。上運動，它們

運動的時間為“s)(當點P運動結(jié)束時，點。運動隨之結(jié)束).

試卷第5頁，共6頁

cDCD

(1)若點。的運動速度與點P的運動速度相等，當》=1時，△/CP與△8。。是否全等？此時

線段PC和線段PQ有怎樣的位置關(guān)系？請分別說明理由；

(2)如圖2,若FCL4B,〃。工力4”改為“/。力8=/。酎”，點。的運動速度為.相向$,其

他條件不變，當△ZC尸與△臺尸。全等時，求出相應(yīng)的x與/的值.

試卷第6頁，共6頁

1.c

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)三

角形三邊關(guān)系定理，即任意兩邊之和大于第三邊，對各選項進行判斷即可.

【詳解】A、12+12=24,不能擺成一個三角形，不符合題意；

B、8+10<22,不能擺成一個三角形，不符合題意；

C、20+30>40,能擺成一個三角形，符合題意：

D、16+14=30,不能擺成一個三角形，不符合題意；

故選：C.

2.C

【分析】直角三角形計數(shù)問題，恰當分類且不重更是解題的關(guān)犍.

分三種情況計數(shù)：點C與點力在同一列或點C與點4在同一列，或使N4C8是直角，據(jù)此

求解.

【詳解】根據(jù)題意，直角三角形中有1個直角，要使三帶形48。成為一個直角三角形，則

點C與點力在同一列或點。與點8在同一列，或使NACB是直角即可；

點C與點力在同一列時，有3種選法；

點C與點8在同一列時，有3種選法：

/力C8是直角時，有F種選法；

3+3+1=7（種）

連接從B、C三點使三角形48c成為一個直角三角形，則點。的位置有7種選法。

故答案為：C

3.A

【分析】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊

的一半.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：由題意可知：AB=6cm,ADDBt

在RtZXXBC中，/力。4=90。,。。是△力8。的中線，

.\CD=1j5=3（cm）,

故選：A.

4.C

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱一最短路線問題，垂線段最短.解此題的關(guān)鍵

答案第1頁，共13頁

是正確作出輔助線.作點/關(guān)于4）的對稱點"，連接力必、EM,過點8作4N_L4c于點

N,從而可確定8E+M之氏W,即4M最小時，BE+EF最小.再根據(jù)垂線段最短可知5N的

長即為8M最小時，最后根據(jù)三角形面積公式求出BN的長即可.

【詳解】解：?.X8=4C,ADJ.BC,

二直線力。是圖形的對稱軸，

如圖，作點廠關(guān)于力。的對稱點M,連接8"、EM,過點、B作BNLAC于點N,

???EF=EM,

：.BE+EF=BE+EMNBM,

:.BM最小時，BE+EF最小.

當8Md.4c時8M最小，即為8N的長，

,:S&ABC=；AC?BN=\2,AB=AC=6,

.?.8N=2xl2+6=4,

???8E+E尸的最小值是4.

故選C.

5.A

【分析】本題主要考查了含30：角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30,角所對的直角

邊等于斜邊的一半.過A作力E_LC尸于￡,過8作8尸_L。。于尸，則可力石和9'的長，依

據(jù)端點A與8之間的距離為10cm,即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度.

【詳解】解：如圖所示，過A作力￡_L8于E,過8作8尸，。。于尸，

NPCA=乙BDQ=30,

司

機

箱

答案第2頁，共13頁

則Rt△4CE中，AE--AC=—x52=26(cm),

22

同理可得，斯=26cm,

又???點A與A之間的距離為10cm,

???通過閘機的物體的最大寬度為26+10+26=62(cm),

故選：A.

6.A

【分析】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)的應(yīng)用，掌握全等的判定定理和性質(zhì)定理是解答

此題的關(guān)鍵.根據(jù)題中條件證出△力臺。和△4QC全等,利用全等三角形的性質(zhì)即可說明.

【詳解】解：在△44C和△4OC中，

vAB=AD,BC=DC,AC=JC,

.?.△ABCgAADC(SSS),

ZBAC=NDAC,

???立就是"R。的平分線.

故選：A

7.B

【分析】此題考查三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形中線性質(zhì)得到△力OE的面積與ABDE的面

積相等，由此推出“8E的面積=2"EC的面積，得至l」8E=2￡C=4,即可求出8C的長.

【詳解】解：是48的中點，

???△4QE的面積與△樂定的面積相等，

-LADE的面積與AAEC的面枳相等，

???“DE的面積="EC的面積3DE的面積，

dBE的面積=2AJEC的面積，

：.BE=2EC=4,

:.BC=BE+CE=4+2=6,

故選：B.

8.A

【分析】本題考查了等腰三角形三線合一.

直接根據(jù)等腰三角形三線合一得到AD垂直平分BC,作答即可.

【詳解】解：?.?48=4C,NBAD=NCAD,

答案第3頁，共13頁

???由等腰三角形三線合一可知AD垂直平分BC,

:.BD=-BC=5

2f

故選:A.

9.C

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)作圖得到是角平分線，根據(jù)角平分線的

性質(zhì)定理得到點D到直線月8的距離等于。,由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖得到力。是/歷1C的角平分線，

如圖所示，過點。作48,則。E是點。到直線45的距離，

vZC=90°,即0CJ.OC,

:.DC=DE=3,

故選：C.

10.B

【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的運用，掌握全等三角形的性質(zhì)正

確列式是關(guān)鍵.

根據(jù)題意得到CM=3/,CN=t,則8"=8C-CM=6-3f,結(jié)合全等三角形的性質(zhì)分類討

論，并列式求解即可.

【詳解】解：點M在線段C8上以3cm/s的速度由點。向點6運動，

???點M仄CTB的時間為6+3=2(s),

?.?它們運動的時間為f(s),

.-.CM=3z,CN=t,則aW=8C-CM=6-3/,

當時，

答案第4頁，共13頁

PQ

:.BM=CN,AB=CM,

二6-3/=/,

解得，”1.5：

當△力8MgANCM時，

:.AN=NC,BM=CM,

:.6-3/=3z,

解得，，=1.

綜上所述，乙、丙兩人的結(jié)果合起來才對.

故選：B.

11.具有穩(wěn)定性

【分析】本題考查三角形具有穩(wěn)定性的性質(zhì)，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性的性質(zhì)，即可解答.

【詳解】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可知，她用到了三角形具有穩(wěn)定性的性質(zhì).

故答案為：穩(wěn)定性.

12.4cm

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，求出第三

邊取值范圍，結(jié)合第三邊長為整數(shù)解題.

【詳解】解：:三角形兩力的長分別為kvm4c7〃，令第三邊長為。切?，

..4-1<"4+1,

：.3<a<5,

???第三邊的長為整數(shù)，

答案第5頁，共13頁

a—4,

即第三邊長為4cm.

13.69。##69度

【分析】本題考查了角平分線的作法，直角三角形的特征，由作法得

NCAP=；NB4C=2l°,直角三角形的特征得NC=90。-/。1尸，即可求解.

【詳解】解：由作法得力「平分N'SZC,

ZCAP=-ZBAC=210,

2

???AP1BC,

：.NC=90。-/C4P

=90°-21°

=69°,

故答案為：69°.

14.y+23+2a=360。

【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角

形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)CE=CB得NCEB=NABC=a,證明ABAC和ADAC全等得NABC=AADC=a,

CB=CD,設(shè)/力?！?0,WOZCDE=ZADC-ZADE=a-0,再證明CQ=CE得

NCED=NCDE=a-6,得到夕+/+/=180。①，再根據(jù)/。陰+/。石。+/比8=180,得

尸+a-夕+a=180”②，①+②即可得出答案.

【詳解】解：?.?C￡=C4,NABC=a,

NCEB=NABC=a,

???4C平分

/./BAC=NDAC，

在48力。和△D4C,

AB=AD

<NBAC=NDAC,

AC=AC

:qBAgLDAC[SAS),

：./ABC=/ADC=a,C/y=CD,

答案第6頁，共13頁

設(shè)/ADE=9,

則NCDE=ZADC-/ADE=a-0,

?/CB=CD,CE=CB,

CD=CE,

:"CED=/CDE=a-6、

,/Z.DEA=p,/.DAB=/,

:"ADE+NDEA+NDAE=180°,

即0+>+/=18O°①，

ZDEA+ZCED+/CEB=180\

即1+a-0+a=18O°②，

②+①，得：e+y+/+￡+a-O+a=180°+180°=360。，

.?.y+2，+2a=360。

故答案為：>24+20=360。

5T

【分析】本題考查作軸對稱，兩點之間，線段最短，垂線段最短，三角形的面積，正確作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

作上關(guān)于8C的對稱點凡作ZUAC關(guān)于8c的對稱AGBC,連接小,",根據(jù)兩點之間，線

段最短，得點。為力尸，8C的交點，繼而，根據(jù)垂線段最短，當力尸_L5G時，DE+AD=AF

取得最小值，即可解答.

【詳解】解：作E關(guān)于BC的對稱點R作關(guān)于8C的對稱屬〃。，連接￡￡/1￡如圖，

有

DE=DF,點、F在BG上,NBCG=/ACB=90°,8G=48=5,S&GBC=S&/tBC=6,

.-.DE±AD=ADtDF=AF,根據(jù)兩點之間，線段最短，得點。為加7,〃。的交點.

當力/_L8G時，根據(jù)垂線段最短，此時力月+力。=月/取得最小值.

答案第7頁，共13頁

S^GBA=S^GBC+S"8c=12，

：.-AFBG=\2

2t

即［4/x5=12,

2

24

解得力尸=不，

94

則AD+DE的最小值為彳.

24

故答案為：y.

16.AF=DE,理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)

鍵.由8E=b得到利用SAS證明產(chǎn)g△。慮，再利用全等三角形的性質(zhì)

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：AF=DE,理由如下：

???BE=CF,

：.BE-EF=CF-EF,即B*CE.

在△48廠和中，

AB=DC

■N8=NC,

BF=CE

且△OCE(SAS),

???AF=DE.

17.(1)見解析，力'(0,6)

⑵14

(3)見解析，。(6,2)

【分析】本題考查作圖一平移變換，熟練掌握平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，即可得出答案.

(2)利用割補法計算即可.

(3)取格點。，連接C。，則0c18C,點。即為所求.

【詳解】(I)解；如圖，三角形即為所求，4(0,6)；

答案第8頁，共13頁

(2)解：四邊形ZHC'C的面積為10x3—;x4xlx2—；x6x2x2=14

(3)解:如圖，。(6,2).

18.(1)Z?F±JD,理由見解析

⑵NCFO的度數(shù)為45。.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練

掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)證絲""(SAS),得出NZMC=NE4C,即可推出即J.月。；

(2)延長力。至〃，使AH=BF,先證“CH知BCF(SAS)，得出3=C/I,ZACH=NBCF,

再由乙4。8=90。，即知/尸?！?90。，推出△口/是等腰直角三角形，即可得出答案.

【詳解】(1)解：BF與/D的位置.關(guān)系為BF工4D,理由如下：

在△力CO和48"中，

AC=BC

<NBCE=N4CD=9()°,

CD=CE

.-.△/ICZ)^A^CE(SAS),

々DAC=ZEBC,

vZZ)JC+ZD=90°,

.-.ZF5C+ZZ)=90o,

：.NBFD=900,

BFLAD-

(2)解：如圖，延長力D至H,使=BF,

答案第9頁，共13頁

在AXC〃和aBC/中，

AH=BF

<Z.HAC=Z.FBC,

AC=BC

.?."C”g△8b(SAS),

：.CF=CH,ZACH=ZBCF,

:.ZACH-AACF=ABCF-AACF.

.?.乙4cB=AFCH,

vZJC5=90°,

:.NFCH=9?！?

?:CF=CH,

??.△口/是等腰直角三角形，

：.NAHC-NCFH-450,

???NCFQ的度數(shù)為45。.

19.(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，中垂線的判定，熟練掌握相

關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵：

(1)證明RtA48EgRtA4CF(HL)即可得證；

(2)根據(jù)到角兩邊距離相等的點，在角的角平分線上，進行判斷即可.；

(3)根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的中垂線上，進行判斷即可.

【詳解】(1)證明：:N48C="B,

AB=AC,

答案第10頁，共13頁

?;AEtEB,AFLCF,

NE=4F=90°,

又BE=CF,

RtAJ5^RtA/lCF(HL),

/.AE=AF；

(2)AE±EB,AF±CF,AE=AF,

:Q平分NEDF；

(3)證明：???/￡'=/￡=4。，

z.RtAADE^RtAADF(HL),

:.DE=DF,

BE=CF,

：.DE-BE=DF-CF,即。8=QC,

AB=AC,

.?.4。垂直平分線8c.

20.⑴△/?！觥髌凇?，PCLPQ

215

(2)x=3,t=l；x=—