§6.3等比數(shù)列

【課標要求】1.通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義2掌握等比數(shù)列前〃項和公式，

理解等比數(shù)列的通項公式與前〃項和公式的關系3能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并解決相

應的問題4體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.

I.等比數(shù)列有關的概念

(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的比都等于^常數(shù)，

那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母夕(4/0)表示.

(2)等比中項：如果在。與〃中間插入一個數(shù)G,使a,G"成數(shù)列，那么

叫做。與b的等比中項，此時，G2=.

2.等此數(shù)列的通項公式及前〃項和公式

(1)若等比數(shù)列｛如｝的首項為m,公比為q,則其通項公式為a尸.

(2)等比數(shù)列通項公式的推廣：

(3)等比數(shù)列的前〃項和公式：當夕=1時，；當時，Sn==.

3.等比數(shù)列的常用性質

⑴若機+〃=p+g,則,其中m,/?,/?,q￡N;特別地,若2卬=，〃+〃,

貝I」,其中小，“，vv'GN*.

(2)隊,ak+m,ak+2m，…仍是等比數(shù)列，公比為(k,/?zEN").

(3)若數(shù)列｛a”｝,｛仇｝是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列｛///,｛pa「曲｝和｛會｝也是等比數(shù)列6，p,

產(chǎn)0)?

⑷若HP或｛葭q°[1,則等比數(shù)列(?。f.

若1建qZ1或糕；1則等比數(shù)列“J遞.

4.等比數(shù)列前〃項和的常用性質

若等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為5〃，則S”，,仍成等比數(shù)列(公比4=一1且〃

為偶數(shù)除外)，其公比為

I.判斷下列結論是否正確.（請在括號中打或"X"）

（1）等比數(shù)列的公比^是一個常數(shù)，它可以是任意實數(shù).（)

（2）三個數(shù)a,b,。成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac.（）

⑶數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，則S,，S8-S&,$2-8成等比數(shù)列.（）

（4）對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積.（）

2.（2024?臨汾模擬）在等比數(shù)列｛m｝中，。尸1,?5=4,則6等于（）

A.2B.-2

C.±2D.2V2

3.（2024?呼倫貝爾模擬）已知數(shù)列｛而是正項等比數(shù)列，且4248=32—430,則。5等于（）

A.V2B.2

C.4D.2V2

4.（多選）設數(shù)列｛〃”｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，貝心）

A.a3,的,s成等比數(shù)列

B.數(shù)列｛嫌｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛國?。堑缺葦?shù)列

D.數(shù)列｛^｝是等比數(shù)列

解題時關注三個關鍵點

⑴當戶0，且4W1時，S,尸左一八/UWO）是｛知｝成等比數(shù)列的充要條件，此時k=詈.

i-q

（2）由為+1=?〃，qWO,并不能立即斷言｛斯｝為等比數(shù)列，還要驗證0WO.

（3）在運用等比數(shù)列的前〃項和公式時，必須注意對夕=1與如勺分類討論，防止因忽略4=］這一特殊情

形而導致解題失誤.

題型一等比數(shù)列基本量的運算

例1（1）（2023?全國甲卷）設等比數(shù)列｛扇｝的各項均為正數(shù),前〃項和為Sn,若m=l,S5=5S3-4,則

S4等于（）

C.15D.40

（2）（2024?北京模擬）中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步

不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還其大意為：“有一

個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到

達目的地則此人第三天走的路程為（）

A.12里B.24里

C.48里D.96里

思維升華等比數(shù)列基本量的運算的解題策略

（1）等比數(shù)列中有五個量?,〃，4,斯，S”，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）求解.

（2）解方程組時常常利用“作商”消元法.

（3）運用等比數(shù)列的前〃項和公式時，一定要討論公比夕=1的情形，否則會漏解或增解.

跟蹤訓練1（1）已知等比數(shù)列｛知｝的前〃項和為S”，G=4,*=8，則切等于（）

S5F

A.16B.8

C.6D.2

（2）云岡石窟，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產(chǎn).若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層

的“浮雕像”個數(shù)是其下一層的2倍，共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優(yōu)美的圖

案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數(shù)構成數(shù)列｛如｝,貝ij10g2（〃3a5）的值為（）

A.8B.10

C.12D.16

題型二等比數(shù)列的判定與證明

例2（2024?福州模擬）已知數(shù)列｛〃“｝的首項內=:，且滿足

52an+1

⑴求證：數(shù)列6-2｝為等比數(shù)列；

(2)等比數(shù)列｛“〃｝的各項均為正數(shù)，且0的=4,M10g2flI+10g2d2+10g26Z3+10g2?4+10g2?5=.

命題點2和的性質

例4⑴(2024?宣城模擬)設S”是等比數(shù)列他〃｝的前〃項和，若S.3=4,公+的+恁=8,則曾等于()

A.2B.-

3

C-D-

=3U'7

(2)已知等比數(shù)列｛右｝有2〃+1項”尸1,所有奇數(shù)項的和為85,所有偶數(shù)項的和為42,則〃等于

()

A.2B.3

C.4D.5

思維升華(1)在解決與等比數(shù)列有關的問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是“若〃?+〃=〃+

q,則小心=即羯"，可以減少運算量，提高解題速度.

(2)在應用等比數(shù)列的性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，解題時注

意設而不求思想的運用.

跟蹤訓練3(1)(多選)下列說法正確的是()

A.若數(shù)列｛即｝為等比數(shù)列，且其前〃項和S.=2〃T+/,則—一1

B.若數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列，且。2。?+。3%=6,則…。8=81

C.若數(shù)列｛?。秊榈缺葦?shù)列，S”為其前〃項和，貝IjSn,S2,「S〃,S3〃一S2〃，…成等比數(shù)列

D.若項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列(〃”｝的前〃項和S”滿足S奇=32,S偶=16,則公比4=9

(2)(多選)設正項等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為q,其前“項和為5〃，前〃項積為Ttl,且滿足條件0>1,GO2M2

025>1.(?2024—1)(^2025-1)<0,則下列結論正確的是()

A.數(shù)列｛〃“｝為遞減數(shù)列

B.S2024+1<52025

C.T2024是數(shù)列(北｝中的最大項

D.T4c49>1

答案精析

落實主干知識

1.(1)2同一個公比(2)等比Gab

2.⑴?⑶叫一q-)

i-q

3.(1)a曲”a兇qa“。“

(2)<(4)增減

4$”—S"Si,-Sin

自主診斷

1.⑴X(2)X(3)x(4)4

2.A[由等比數(shù)列的性質可知，

送=0必=4,所以°3=±2,

又因為血=/>0,所以6=2.]

a】

3.C[數(shù)列僅〃｝是正項等比數(shù)列，

由。2。8=32一。3。7,

得sa8+au/7=2磅=32,

得為-4.]

4.ABD[設等比數(shù)列｛斯｝的首項為m,公比為q(qNO).

對于A,邃=(Qiq4)2=Q：g8,a3S=(aiq2).(aq6)=ajg8,所以》=的。7,則。3,的，訪成等比數(shù)列，A正

確；

對于B,因為?=/,

?n

所以數(shù)列｛碎｝是等比數(shù)列，B正確;

對于C,不妨設等比數(shù)列｛%｝為an=],則lga〃=O,所以數(shù)列｛lga”｝不是等比數(shù)列，C錯誤；

對于D,因為=+」=；，所以數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，D正確」

探究核心題型

例1(1)C［方法一若該數(shù)列的公比夕=1,

代入55=5§3—4中，

有5=5X3-4,不成立，所以夕W1.

由獸=5義守一4,

1-(?l-q

化簡得5/+4=0,

所以/=1(舍)或/=4,

因為此數(shù)列各項均為正數(shù)，

所以g=2,所以S4==Q=I5.

i-q

方法二由題知1+g+/+q3+g4

=5(1+夕+站)-4,

即”十"=44十4”，

即爐+92—4〃-4二(),

即(4一2)q+i)q+2)=o.

由題知/>0,所以4=2.

所以§4=1+2+4+8=15」

(2)C［由題意可得，此人6天中每天走的路程構成公比為;的等比數(shù)列，

設這個數(shù)列為｛?。?，前〃項和為S”，

則S6=^^=*I=378,

1—32

2

解得“i=192,

所以“3=192X表=48,

即此人第三天走的路程為48里.］

跟蹤訓練1(i)D［設等比數(shù)列｛卬｝的公比為q,

由平=8,

S5一”

即咤空％=嗎攔坦2=8,可得。3=8,即q=2,

a

a5+a4+3%+04+03

又42=4,所以0=亍=2.]

(2)C[從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數(shù)構成數(shù)列,

則｛m｝是以2為公比的等比數(shù)列，

??5=%(-27)=]Im,

1—2

即127s=1016,

解得m=8，，m=8X2"7,

24

.,.log2(W5)=log2(8X2X8X2)=12.]

例2⑴證明

又0=一12=#0，

所以數(shù)列｛今-2｝是以3為首項，：為公比的等比數(shù)列.

(2)解由(1)可得2一2=(3"，

所以e=(丁+2,

貝ljj-++—

ala2an

=(W1+?“+3+2"

-竽+2〃-4+2〃，

92

由工+工+工+…+L2025,

aia2a3an

得1一去+2〃<2025,

即2〃一專<2024,

又函數(shù)>=2〃一段為增函數(shù)，

所以滿足2〃一祭2024的最大正整數(shù)為1012.

跟蹤訓練2BCD[對于A,當a=〃=c=0時，〃=碇，此時不成等比數(shù)列，故A錯誤；

對于B,若｛斯｝為等差數(shù)列，設其公差為d,則此時有。=2%+「頷=2">0,所以數(shù)列｛2?。秊榈缺葦?shù)列，

故B正確；對于C,若S,,=3H—1,則t?i=Si=2,

/=￡-S“T=3"—1-(3"-1一1)=3”一3〃T=2.3〃7(“22),

=2顯然滿足?！?2,3"1,

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，

故C正確；

對于D,因為3m+1=〃”+2m+2,

所以2(。〃+2-0+1)

—(an-\—an)=O,

而。I=I,。2=2,

因此數(shù)列｛而H—。”｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，故D正確.]

例3—2

解析方法一伍“｝為等比數(shù)列，

/.Cl4(h=(hdfi,/.Cb=I,

又42aMi0=。7。7。7,

???1X(—8)=(m)3,

。7=-2.

方法二設｛6｝的公比為今(4W0),

則。2%。5=的。6=。2445q,

顯然,

則Ci4=q2,即44=爐，則a\q=\,

Vi79?IO=-8，則q9=-8,

則/5=(療=—8=(—2)3,

則爐=-2,

則ai=a\q-cf=(f=-2.

微拓展

典例(1)33

解析S=8（4+。8）]6

82

??0+。8=4,

又,?Z9+0+。8=3。6,

，。6=3,

故S］尸11〃6=33.

(2)5

解析由題意知

。］。5=。2。4==4,

因為數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，

所以。3=2.

所以月。2a3a4a5=(。1。5>(。23>。3=謁=2'.

所以log2al+log2s+Iog2〃3+log2〃4+10g2的=10g2(?|^3?4i75)=10g22、=5.

例4(i)B［由題意得S6-S3=8,S6=S3+8=4+8=12,顯然公比qW-1,

因為S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列，故(S6—S3)2=S3(S9-S6),

2

即8=4(S9-12),解得S9=28,

(2)B［設公比為

依題意ai+as+asH------^^+1=85,且n=1,

Js+asH-----^。2〃”=84,①

又s+aaH------Fa2“=42,②

的q=2,

.Q_1(1-22K,

??32〃?I—

=85+42=127,

???221-1=127,

/.22n+1=128=27,

???2〃+1=7,.??〃=3J

跟蹤訓練3⑴BD[對于A,因為S.=2M-'+r=r+1x2\且數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，設其公比為式4W1),

由等比數(shù)列的前〃項和公式S尸絲上心=F一，