專題7.5特殊角的三角函數(shù)（專項練習(xí)）

一、單選題

1.tan45°=()

且

A.1B.—C.D.73

23

2.下列三角函數(shù)的值是走的是（

).

2

A.60°B.45°C.30°D.75°

5.在AABC中，ZC=90°,AB二日BC=1,則NA的度數(shù)為()

A.30°B.45°C.60°D.75°

A.含有60。直角三角形B.等邊三角形

C.含有60。的任意三角形D.等腰直角三角形

8.在實數(shù)0,/(/0),cos30°,我中，有理數(shù)的個數(shù)是（：）

A.1個B.2個C.3個D.4個

A.5B.4C.3D.2

10.如果/A為銳角，cosA=殍,那么乙4取值范圍是()

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<9(F

二、填空題

11.如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A,再以A為圓心,

AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B,畫射線OB,則cosNAOB的值等于

/8=120。，點。是對角線AC的中點，OE工CD

于點E,則0E的長為

16.如圖，在△ABC中，AB=4,BC=1,NB=60。，點。在邊BC上，CD=3,聯(lián)結(jié)AZ).如

果將△AC。沿直線A。翻折后，點。的對應(yīng)點為點E,那么點E到直線的距離為

BDC

三、解答題

19.計算：

20.計算

21.計算與化簡題

參考答案

1.A

【分析】根據(jù)直角三龜形中45。角的正切值計算并判斷即可.

解：tan450=l,

故選：A.

【點撥】本題考查直角三角形中45。角的正切值，能夠牢記直角三角形中特殊度數(shù)的角

的正切值，正弦值，余弦值是解決此類題型的關(guān)鍵.

2.A

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答.

故選A.

【點撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確掌握常見的特殊角的三角函數(shù)值是解題的

關(guān)鍵.

3.C

【分析】先利用特殊角的三角函數(shù)值得出點的坐標(biāo)，再寫出其關(guān)于y軸對稱的坐標(biāo)即可.

解：Vsin600=—,cos30°=—,

22

故選：C.

【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的特征，掌握特殊角的

三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵.

4.A

故選：A.

【點撥】本題考查根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答

的關(guān)鍵.

5.B

【分析】直接利用已知畫出直角三角形，再利用銳用三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

解：VZC=90°,AB=6，BC=1,

A

故選：B.

【點撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

6.B

故選:B.

【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用公式把一般角轉(zhuǎn)化為

特殊角的和或者差是解題的關(guān)鍵.

7.A

，ZC=90°,

???■ABC是含有60。直角三角形.

故選：A

【點撥】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值，絕對值和平方的非負(fù)性，熟練掌握特

殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的意義，即可解答.

所以，有理數(shù)的個數(shù)是2,

故選：B.

【點撥】本題考杳了零指數(shù)幕,特殊角的二角函數(shù)值，實數(shù),熟練掌握這叱數(shù)學(xué)概念是

解題的關(guān)鍵.

9.B

解：過。點作。G_LAC于G點，如圖，

???A。平分N/MC,ZBAC=30°,

：,ZBAD=ZCAD=\5\

又丁。產(chǎn)_L48,DEA.DF,

：.ZBAD=ZADE,

：,^DAE=^ADE=\5\

???△AED是等腰三角形，

：,AE=DE=S,ZDEC=ZEDA+ZEAD=30°,

，OG=4,

VZAFD=ZAGD,NBAD=NCAD,AD=AD,

:?DF=DG=4,

故選：B.

【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行的相關(guān)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以

及特殊角的三角函數(shù)等知識，利用角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】分別求出60。和45。角的余弦值，由此得到答案.

/.450<Z4<600.

故選C.

【點撥】此題考查了常度的余弦公式，余弦值隨著角度的增大而減小的性質(zhì)，熟記公式

是解題的關(guān)鍵.

"??

解：VOA=OB=AB,

???△ABC是等邊三角形，

，NAOB二60。，

cosZAOB=cos600=—.

2

故答案是：；.

12.1

【分析】連接A8,由勾股定理求得A3、AO、80的長，判斷AAB。是等腰直角三角形,

即可求得答案.

是以08為斜邊的等腰直角三角形，

故答案為：1.

【點撥】此題考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用、勾股定理的逆定理.、等腰直角三角形的

性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

【分析】解答時，分BE=PE,P3=和8P三種情況求解即可.

解：當(dāng)8后PE時，

???Zfi=ZC=ZDEF=ZDFE=45°,

AZBPE=45°,ZBEP=90°,ZQEC=45°,NEQG90。,

*/3010,

當(dāng)時，

根據(jù)前面計算，得到B"=P〃=3,

：.BH=HE=3,

???NB=NC=NDEF=NDFE=45。,

/.ZEQC=45°,NC￡Q=90。，EC=EQ=BCBE=106=4,

???BC=10,

當(dāng)8P=BE時，

/B=/C=NDEF=4DFE=45。,

ZBPE=ZBEP=ZQEC=ZEQC,

【點撥】本題考查了等腰直角二角形的性質(zhì)，勾股定埋，等腰二角形的判定和性質(zhì)，特

殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和準(zhǔn)確進(jìn)行等腰三角形的等腰分類，靈

活運用特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

14.4

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)值，結(jié)合一次函數(shù)求出。的坐標(biāo)即可求解;

解：如圖，過點D作

將y=0代入＞=v4中

記得x=4

?"(4,0)

在平行四邊形A8CO中，

?:NOAA/CBA

'：AD=BC=5

ADE=4,心3

：,OE=OAAE=43=\

：.D(1,4)

故答案為：4

【點撥】本題主要考查反比例函數(shù)、平行四邊形、三角函數(shù)值、一次函數(shù)，掌握相關(guān)知

識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

15.2A/3

【分析】連接03,由菱形的性質(zhì)得3C=AB=8,再由等腰三角形的性質(zhì)得

NAC8=/ACQ=30。，然后由銳角三角函數(shù)定義求出OC=4G,最后由含30。角的直角三

角形的性質(zhì)求解即可.

解.：連接08,如圖所示:

A

DEc

???四邊形ABC。為菱形，點。是對角線人。的中點，

：,BC=AB=S,BO1AC,

：.ZACB=ZACD=^(180°-120°)=30°,

a

?；OE-LCD,

???NCEO=90。，

故答案為：2G.

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及含30。角

的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì).

【分析】過E點作EH_LBC于H,證明△ABD是等邊三角形，進(jìn)而求得NADC=120。，

再由折疊得到NADE二NADC=120。，進(jìn)而求出NHDE=6。。，最后在RsHED中使用三角函

數(shù)即可求出HE的長.

解：如圖，過點￡作七，_LBC于從

V5C=7,CD=3,

:.BD=BCCD=4,

?；AB-4=BD,Zfi-60%

???△A8O是等邊三角形，

N/W8=60。，

；?ZADC=ZADE=\2Q0,

；?/EDH=60。,

?：EH工BC,/.ZEHD=90°.

\'DE=DC=3,

【點撥】本題考查了天疊問題，解直角三角形，點到直線的距離，本題的關(guān)鍵點是能求

d|ZADE=ZADC=120°,另外需要重點掌握折疊問題的特點：折疊前后對應(yīng)的邊相等，對

應(yīng)的角相等.

17.15

故答案為：15.

【點撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時考查利用軸對稱與垂線

段最短求線段和的最小值問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識.

解：如圖：

【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解決此題.

(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的乘法進(jìn)行計算即可解決此題.

(1)

(2)

=一1

4?

【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的運算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)

值是解決本題的關(guān)鍵.

3

20.(1)-2；(2)-

【分析】(1)先化簡絕對值、計算零指數(shù)暴與負(fù)整數(shù)指數(shù)塞、特殊角的正切值、立方根，再

計算二次根式的乘法與加戒法即可得：

(2)先計算特殊角的三角函數(shù)值，再計算二次根式的乘法與加減法即可得.

(1)

(2)

=—3

2?

【點睛】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)的混合運算、二次根式的乘法與加減法、零指數(shù)箱

與負(fù)整數(shù)指數(shù)案等知識點，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

21.(1)-3

【分析】(1)根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，胡加絕對值，零次累，特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計算求

解即可；

(2)先去括號，把除法變?yōu)槌朔ò逊质交啠侔褦?shù)代入求值.

(1)

(2)

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式的化簡求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

【分析】(】)當(dāng)“PQ為直角三角形時，乙4二60度，所以可能只有乙4。。=90?；騈AQP=90。，

當(dāng)N4PQ=90°時，N4QP=30°,AP=^AQ,求出/=1.2秒；當(dāng)/AQ尸=90。時，NA尸。=30°,

AQ=^AP,求得Z=3秒：

(1)

解：?:△ABC是等邊三角形，

：,AB=BC=CA=6,ZA=Zfi=ZC=60°,

當(dāng)點P在邊AC上時，由題意知，AP=2t,AQ=6t,

當(dāng)NAPQ=90。時，AP=^AQ,即2，，(6/),解得f=L2,

當(dāng)NAQP=90。時，AQ=^AP,BP6r=yx2z,解得f=3,

所以，點P在邊4C上，當(dāng)/為1.2s或3s時，△AP。為直角三角形；

(2)

存在

①當(dāng)點尸在邊AC上時，比時0士W3,

在RSAPD中，乙4=60。：AP=2t,

PD

..A。HH

??sinA=P,即si.nx6A0o°==——>/3，

AP2t2

:?PD=0,S^APQ=^AQ9PD=^(6r)?后,

②當(dāng)點P在邊AC上時，此時把”6,

如圖，過點尸作PF_LA8于點尸，

在RSBP尸中，ZB=60°,BP=\22t,

c

【點睛】本題主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面枳的存在性，解決問題的關(guān)鍵是

熟練掌握直角三角形的直角三個角都有可能，要分類討論；面積是同一個值的三角形不可能

只有一個，全面考慮，分類討論.

【詳解】解（I）?；四邊形"C。是菱形，NA8C=60。,

又???四邊形ABCQ是菱形，

G

BD