2025年下學期高中數(shù)學競賽數(shù)學歸納法試卷一、選擇題（每題5分，共30分）用數(shù)學歸納法證明“1+2+3+…+n=n(n+1)/2”時，第一步應驗證當n=1時，等式左邊為（）A.1B.1+2C.1+2+3D.以上都不對用數(shù)學歸納法證明“2?>n2（n∈N*，n≥5）”時，第一步應驗證（）A.n=1B.n=2C.n=5D.n=6用數(shù)學歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2?·1·3·…·(2n-1)”時，從n=k到n=k+1左邊需增乘的代數(shù)式是（）A.2k+1B.2(2k+1)C.(2k+1)/(k+1)D.(2k+3)/(k+1)用數(shù)學歸納法證明不等式“1+1/2+1/3+…+1/(2?-1)<n（n∈N*，n≥2）”時，由n=k到n=k+1不等式左邊增加的項數(shù)是（）A.1B.kC.2?D.2??1已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，則a?=（）A.2?-1B.2??1-1C.2??1+1D.2?+1用數(shù)學歸納法證明“對于任意正整數(shù)n，3???2+52??1能被14整除”時，當n=k+1時，3????1??2+52???1??1可變形為（）A.81·3???2+25·52??1B.3???2+52??1C.14·3???2+25·52??1D.81·3???2+5·52??1二、填空題（每題5分，共30分）用數(shù)學歸納法證明“1+3+5+…+(2n-1)=n2”時，假設n=k時等式成立，則當n=k+1時，等式左邊應添加的項是。數(shù)列{a?}中，a?=1，a???=1/(1+a?)，則a?=。用數(shù)學歸納法證明“2?>n2（n∈N*，n≥5）”時，假設n=k（k≥5）時不等式成立，則當n=k+1時，應證明的不等式是。已知f(n)=1+1/2+1/3+…+1/n（n∈N*），則f(2?)共有項，f(2??1)-f(2?)=。用數(shù)學歸納法證明“n3+5n能被6整除”時，當n=k+1時，(k+1)3+5(k+1)可變形為。數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?+1/a?，則a?的最小值為。三、解答題（共40分）（10分）用數(shù)學歸納法證明：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6（n∈N*）。（10分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=3a?+2?，求數(shù)列{a?}的通項公式。（10分）用數(shù)學歸納法證明：1+1/√2+1/√3+…+1/√n<2√n（n∈N*）。（10分）已知f(n)=1+1/2+1/3+…+1/n（n∈N*），求證：當n≥2時，n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)。四、附加題（20分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+3?，求數(shù)列{a?}的通項公式。用數(shù)學歸納法證明：對于任意正整數(shù)n，1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4。參考答案與解析一、選擇題A解析：當n=1時，等式左邊=1，右邊=1×2/2=1，等式成立。C解析：因為要證明n≥5時不等式成立，所以第一步應驗證n=5時的情況。B解析：當n=k時，左邊=(k+1)(k+2)…(k+k)；當n=k+1時，左邊=(k+2)(k+3)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2)。所以左邊需增乘的代數(shù)式是(2k+1)(2k+2)/(k+1)=2(2k+1)。C解析：當n=k時，不等式左邊=1+1/2+1/3+…+1/(2?-1)；當n=k+1時，不等式左邊=1+1/2+1/3+…+1/(2??1-1)。所以增加的項數(shù)為(2??1-1)-(2?-1)=2?。A解析：a?=1=21-1，a?=2×1+1=3=22-1，a?=2×3+1=7=23-1，a?=2×7+1=15=2?-1，猜想a?=2?-1。用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，a?=21-1=1，成立；②假設n=k時，a?=2?-1成立，則當n=k+1時，a???=2a?+1=2(2?-1)+1=2??1-1，成立。由①②知，a?=2?-1。A解析：3????1??2+52???1??1=3?????2+52??2?1=3?·3???2+52·52??1=81·3???2+25·52??1。二、填空題2k+1解析：當n=k時，等式左邊=1+3+5+…+(2k-1)；當n=k+1時，等式左邊=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)，所以應添加的項是2k+1。5/8解析：a?=1，a?=1/(1+1)=1/2，a?=1/(1+1/2)=2/3，a?=1/(1+2/3)=3/5，a?=1/(1+3/5)=5/8。2??1>(k+1)2解析：當n=k+1時，不等式為2??1>(k+1)2。2?；1/(2?+1)+1/(2?+2)+…+1/(2??1)解析：f(2?)=1+1/2+1/3+…+1/2?，共有2?項；f(2??1)-f(2?)=1/(2?+1)+1/(2?+2)+…+1/(2??1)。k3+5k+3k(k+1)+6解析：(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3k2+3k+6=k3+5k+3k(k+1)+6。1解析：a?=1，a?=1/(1+1)=1/2，a?=1/(1+1/2)=2/3，a?=1/(1+2/3)=3/5，a?=1/(1+3/5)=5/8，…，觀察可知數(shù)列{a?}先減小后增大，最小值為a?=1。三、解答題證明：①當n=1時，左邊=12=1，右邊=1×2×3/6=1，等式成立。②假設當n=k（k∈N*）時等式成立，即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)/6。則當n=k+1時，左邊=12+22+32+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6=(k+1)(2k2+k+6k+6)/6=(k+1)(2k2+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6，等式也成立。由①②可知，對于任意n∈N*，等式都成立。解：a?=1=31-21，a?=3×1+21=5=32-22，a?=3×5+22=19=33-23，a?=3×19+23=65=3?-2?，猜想a?=3?-2?。用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，a?=31-21=1，成立。②假設當n=k（k∈N*）時，a?=3?-2?成立。則當n=k+1時，a???=3a?+2?=3(3?-2?)+2?=3??1-3×2?+2?=3??1-2??1，成立。由①②可知，數(shù)列{a?}的通項公式為a?=3?-2?。證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=2√1=2，1<2，不等式成立。②假設當n=k（k∈N*）時不等式成立，即1+1/√2+1/√3+…+1/√k<2√k。則當n=k+1時，左邊=1+1/√2+1/√3+…+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)。要證2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)，只需證2√k<2√(k+1)-1/√(k+1)，即2√k<(2(k+1)-1)/√(k+1)，2√k<(2k+1)/√(k+1)，兩邊平方得4k<(2k+1)2/(k+1)，4k(k+1)<4k2+4k+1，4k2+4k<4k2+4k+1，0<1，顯然成立。所以當n=k+1時不等式也成立。由①②可知，對于任意n∈N*，不等式都成立。證明：①當n=2時，左邊=2+f(1)=2+1=3，右邊=2f(2)=2(1+1/2)=3，左邊=右邊，等式成立。②假設當n=k（k≥2，k∈N*）時等式成立，即k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k)。則當n=k+1時，左邊=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+1+f(k)=kf(k)+1+f(k)=(k+1)f(k)+1。右邊=(k+1)f(k+1)=(k+1)[f(k)+1/(k+1)]=(k+1)f(k)+1。所以左邊=右邊，等式成立。由①②可知，當n≥2時，等式n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)成立。四、附加題解：a?=1=31/2-1/2，a?=2×1+31=5=32/2-1/2，a?=2×5+32=19=33/2-1/2，a?=2×19+33=65=3?/2-1/2，猜想a?=3?/2-1/2。用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，a?=31/2-1/2=1，成立。②假設當n=k（k∈N*）時，a?=3?/2-1/2成立。則當n=k+1時，a???=2a?+3?=2(3?/2-1/2)+3?=3?-1+3?=2×3?-1=3??1/2-1/2，成立。由①②可知，數(shù)列{a?}的通項公式為a?=3?/2-1/2。證明：①當n=1時，左邊=1×2×3=6，右邊=1×2×3×4/4=6，等式成立。②假設當n=k（k∈N*）時等式成立，即1·2·3+2·3·4+…+k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+