2025年下學(xué)期初中案例學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷案例一：校園文化節(jié)活動(dòng)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題為豐富校園文化生活，某校決定舉辦校園文化節(jié)，其中“數(shù)學(xué)游園會(huì)”是重要活動(dòng)之一?；顒?dòng)籌備組計(jì)劃用一定金額購(gòu)買(mǎi)A、B兩種獎(jiǎng)品。已知購(gòu)買(mǎi)3件A獎(jiǎng)品和2件B獎(jiǎng)品共需180元，購(gòu)買(mǎi)2件A獎(jiǎng)品和3件B獎(jiǎng)品共需170元?；I備組根據(jù)活動(dòng)預(yù)算，決定購(gòu)買(mǎi)A、B兩種獎(jiǎng)品共100件，且購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于B獎(jiǎng)品數(shù)量的三分之一，同時(shí)不超過(guò)B獎(jiǎng)品數(shù)量的二分之一。問(wèn)題：求A、B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是多少元？設(shè)購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品的數(shù)量為x件，購(gòu)買(mǎi)兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍。如何購(gòu)買(mǎi)才能使總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？案例二：智能溫室大棚的溫度控制問(wèn)題某農(nóng)業(yè)科技園區(qū)有一個(gè)智能溫室大棚，大棚內(nèi)的溫度變化情況可以用函數(shù)模型來(lái)描述。研究人員記錄了某天從0時(shí)到24時(shí)大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時(shí)間t（時(shí)）變化的情況，發(fā)現(xiàn)溫度變化近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式(y=A\sin(\omegat+\varphi)+b)，其中(A>0)，(\omega>0)，(0\leq\varphi<2\pi)。已知當(dāng)天最高溫度為25℃，最低溫度為15℃，且在3時(shí)達(dá)到最高溫度。問(wèn)題：求A、(\omega)和b的值；求(\varphi)的值，并寫(xiě)出該函數(shù)的解析式；若農(nóng)作物生長(zhǎng)的適宜溫度范圍是18℃到22℃，求當(dāng)天農(nóng)作物適宜生長(zhǎng)的時(shí)間時(shí)長(zhǎng)。案例三：快遞包裹打包中的幾何問(wèn)題某快遞公司為了提高包裹打包效率，設(shè)計(jì)了一種長(zhǎng)方體形狀的打包盒。已知該打包盒的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為a厘米的正方形，高為h厘米?，F(xiàn)需要用打包帶對(duì)打包盒進(jìn)行十字形打包（即橫豎各一條打包帶，打包帶的寬度忽略不計(jì)），要求打包帶在盒外的接頭處各留10厘米。問(wèn)題：用含a和h的代數(shù)式表示打包一個(gè)這樣的打包盒所需打包帶的總長(zhǎng)度；若打包盒的體積為1000立方厘米，當(dāng)a取何值時(shí)，打包帶的總長(zhǎng)度最短？最短長(zhǎng)度是多少厘米？（結(jié)果保留根號(hào)）考慮到運(yùn)輸過(guò)程中的安全性，規(guī)定打包盒的高h(yuǎn)不能超過(guò)底面邊長(zhǎng)a的2倍，在體積為1000立方厘米的條件下，求打包帶總長(zhǎng)度的最小值。案例四：體育比賽中的積分問(wèn)題某校舉辦籃球比賽，采用單循環(huán)賽制（即每?jī)芍ш?duì)伍之間都要比賽一場(chǎng)）。已知共有n支隊(duì)伍參加比賽，比賽結(jié)束后，各隊(duì)的積分情況如下：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分。其中，甲隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)比負(fù)場(chǎng)數(shù)多2場(chǎng)，平場(chǎng)數(shù)是負(fù)場(chǎng)數(shù)的一半；乙隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)比甲隊(duì)少1場(chǎng)，負(fù)場(chǎng)數(shù)比甲隊(duì)多1場(chǎng)，平場(chǎng)數(shù)與甲隊(duì)相同。問(wèn)題：用含n的代數(shù)式表示比賽的總場(chǎng)數(shù)；設(shè)甲隊(duì)的負(fù)場(chǎng)數(shù)為x場(chǎng)，求甲隊(duì)的積分（用含x的代數(shù)式表示）；若乙隊(duì)的積分比甲隊(duì)少2分，求n的值以及各隊(duì)的比賽場(chǎng)數(shù)和積分情況。案例五：城市污水處理中的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題為了改善城市水環(huán)境質(zhì)量，某城市決定建設(shè)污水處理廠。根據(jù)規(guī)劃，污水處理廠的日處理污水量y（萬(wàn)噸）與建設(shè)成本x（億元）之間滿(mǎn)足二次函數(shù)關(guān)系。已知當(dāng)建設(shè)成本為1億元時(shí)，日處理污水量為10萬(wàn)噸；當(dāng)建設(shè)成本為2億元時(shí)，日處理污水量為25萬(wàn)噸；當(dāng)建設(shè)成本為3億元時(shí)，日處理污水量為40萬(wàn)噸。問(wèn)題：求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式；若該城市計(jì)劃建設(shè)成本不超過(guò)5億元，求日處理污水量的最大值；為了滿(mǎn)足城市發(fā)展的需求，要求日處理污水量至少為60萬(wàn)噸，求建設(shè)成本的取值范圍。案例六：無(wú)人機(jī)航拍中的三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題一架無(wú)人機(jī)從地面A點(diǎn)起飛，在空中進(jìn)行航拍作業(yè)。已知無(wú)人機(jī)的飛行高度保持為h米，飛行速度為v米/秒。在飛行過(guò)程中，無(wú)人機(jī)從A點(diǎn)向正東方向飛行t秒后到達(dá)B點(diǎn)，然后向正北方向飛行t秒后到達(dá)C點(diǎn)。此時(shí)，從地面上的觀測(cè)點(diǎn)O（O點(diǎn)與A點(diǎn)在同一水平面上，且OA=100米）觀測(cè)到無(wú)人機(jī)在C點(diǎn)的仰角為30°，在B點(diǎn)的仰角為45°。問(wèn)題：用含v和t的代數(shù)式表示AB和BC的距離；求h的值（用含v和t的代數(shù)式表示）；若v=10米/秒，t=20秒，求觀測(cè)點(diǎn)O到無(wú)人機(jī)飛行路線(xiàn)AC的最短距離。案例七：社區(qū)垃圾分類(lèi)中的統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題某社區(qū)為推進(jìn)垃圾分類(lèi)工作，對(duì)居民的垃圾分類(lèi)情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查。調(diào)查小組隨機(jī)抽取了100戶(hù)居民，記錄了他們一周內(nèi)正確分類(lèi)垃圾的次數(shù)，數(shù)據(jù)如下表所示：正確分類(lèi)次數(shù)01234567戶(hù)數(shù)2510152025158問(wèn)題：求這100戶(hù)居民一周內(nèi)正確分類(lèi)垃圾次數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；若該社區(qū)共有1000戶(hù)居民，估計(jì)一周內(nèi)正確分類(lèi)垃圾次數(shù)不少于5次的戶(hù)數(shù)；從正確分類(lèi)次數(shù)為7次的8戶(hù)居民中隨機(jī)抽取2戶(hù)進(jìn)行訪談，求恰好抽到2戶(hù)都為“每日分類(lèi)”（即一周7次全正確）的概率。案例八：校園圖書(shū)館借閱量的函數(shù)預(yù)測(cè)問(wèn)題某校圖書(shū)館統(tǒng)計(jì)了2024年1月至6月的圖書(shū)借閱量（單位：冊(cè)），數(shù)據(jù)如下表：月份（x）123456借閱量（y）120150200270360470研究發(fā)現(xiàn)，借閱量y與月份x之間近似滿(mǎn)足二次函數(shù)關(guān)系(y=ax^2+bx+c)。問(wèn)題：求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式；預(yù)測(cè)2024年7月的圖書(shū)借閱量；若該圖書(shū)館每月最大借閱容量為600冊(cè)，判斷哪個(gè)月份的借閱量可能超過(guò)容量，并說(shuō)明理由。案例九：商場(chǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)中的方案優(yōu)化問(wèn)題某商場(chǎng)在“雙11”期間推出兩種促銷(xiāo)方案：方案一：所有商品打八折銷(xiāo)售；方案二：消費(fèi)滿(mǎn)300元減80元，滿(mǎn)600元減160元（即每滿(mǎn)300元減80元，上不封頂）。小明計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B兩種商品，其中A商品單價(jià)為200元，B商品單價(jià)為150元。問(wèn)題：若小明購(gòu)買(mǎi)2件A商品和3件B商品，分別計(jì)算兩種方案的實(shí)付金額；設(shè)小明購(gòu)買(mǎi)A商品m件，B商品n件，分別用含m、n的代數(shù)式表示兩種方案的實(shí)付金額；若小明購(gòu)買(mǎi)A商品3件，B商品x件，請(qǐng)問(wèn)x為何值時(shí)，兩種方案的實(shí)付金額相同？案例十：橋梁設(shè)計(jì)中的幾何計(jì)算問(wèn)題某橋梁工程隊(duì)設(shè)計(jì)了一座拋物線(xiàn)形拱橋，拱橋的跨度AB為20米，拱高OC為4米，其中O為AB的中點(diǎn)，C為拱頂，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，