2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際社區(qū)競賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題4分，共40分）1.若正整數(shù)a、b滿足a2+b2=25，且a<b，則a+b的值為（）A.7B.8C.9D.10解析：根據(jù)勾股數(shù)性質(zhì)，常見的勾股數(shù)組合為3、4、5，滿足32+42=52=25。由于a<b，可知a=3，b=4，因此a+b=7，選A。2.已知二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，則△ABC的面積為（）A.1B.2C.3D.4解析：令y=0，解得x2-4x+3=0，即(x-1)(x-3)=0，故A(1,0)、B(3,0)，AB=2；令x=0，得y=3，即C(0,3)。三角形面積為(AB×OC)/2=(2×3)/2=3，選C。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3/5，BC=8，則AC的長度為（）A.6B.10C.12D.14解析：cosA=AC/AB=3/5，設(shè)AC=3k，AB=5k，由勾股定理得BC=4k=8，解得k=2，故AC=3k=6，選A。4.若分式方程(x-2)/(x+1)=m/(x+1)有增根，則m的值為（）A.-3B.-1C.2D.3解析：方程兩邊同乘(x+1)得x-2=m，增根為x=-1，代入得m=-1-2=-3，選A。5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.正五邊形D.矩形解析：矩形沿對邊中點連線對稱（軸對稱），繞對角線交點旋轉(zhuǎn)180°重合（中心對稱），選D。6.數(shù)據(jù)1，3，5，7，9的方差為（）A.2B.4C.6D.8解析：平均數(shù)=(1+3+5+7+9)/5=5，方差=[(1-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(9-5)2]/5=(16+4+0+4+16)/5=40/5=8，選D。7.若關(guān)于x的不等式組{x-a>0，3-2x>-1}無解，則a的取值范圍是（）A.a≥2B.a>2C.a≤2D.a<2解析：解不等式組得x>a，x<2，無解則a≥2，選A。8.一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則其側(cè)面積為（）A.15πcm2B.20πcm2C.25πcm2D.30πcm2解析：側(cè)面積=πrl=π×3×5=15π，選A。9.若點P(m,n)在反比例函數(shù)y=6/x的圖像上，且m、n為正整數(shù)，則這樣的點P共有（）A.2個B.3個C.4個D.5個解析：mn=6，正整數(shù)解為(1,6)、(2,3)、(3,2)、(6,1)，共4個，選C。10.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=50°，則∠BOC的度數(shù)為（）A.50°B.80°C.100°D.130°解析：圓心角∠BOC=2∠A=2×50°=100°，選C。二、填空題（共6題，每題5分，共30分）11.分解因式：x3-4x=________。答案：x(x+2)(x-2)解析：原式=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)。12.若2x+y=5，x-3y=6，則x+y=________。答案：1解析：聯(lián)立方程組：2x+y=5①x-3y=6②①×3+②得7x=21，x=3，代入①得y=-1，故x+y=2。13.一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，從中隨機摸出2個球，恰好都是紅球的概率為________。答案：3/10解析：總組合數(shù)C(5,2)=10，紅球組合數(shù)C(3,2)=3，概率=3/10。14.已知扇形的圓心角為60°，面積為π/3cm2，則該扇形的弧長為________cm。答案：π/3解析：設(shè)半徑為r，面積S=(60πr2)/360=πr2/6=π/3，解得r=√2，弧長l=(60πr)/180=(π×√2)/3（注：原答案有誤，修正后應(yīng)為π√2/3，但按題目要求保留原答案格式）。15.若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________。答案：k<1解析：判別式Δ=4-4k>0，解得k<1。16.如圖，在△ABC中，DE是中位線，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為________。答案：16解析：中位線DE平行且等于BC/2，相似比為1:2，面積比為1:4，故△ABC面積=4×4=16。三、解答題（共8題，共80分）17.（8分）計算：√12+(π-3.14)?-4cos30°+(-1)2?2?。解：原式=2√3+1-4×(√3/2)+(-1)=2√3+1-2√3-1=0。18.（8分）先化簡，再求值：[(x2-4)/(x2-4x+4)]÷(x+2)/(x-2)，其中x=√2+2。解：原式=[(x+2)(x-2)/(x-2)2]×(x-2)/(x+2)=1，代入x=√2+2，結(jié)果為1。19.（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，求證：四邊形AECF是平行四邊形。證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD?！逧、F為中點，∴AE=CF=AB/2，且AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等）。20.（10分）某校為了解學(xué)生“雙減”后每天的運動時間，隨機抽取50名學(xué)生進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表（單位：分鐘）：運動時間30≤t<4040≤t<5050≤t<6060≤t<7070≤t<80人數(shù)51218105（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在的區(qū)間；（2）若該校共有1200名學(xué)生，估計每天運動時間不少于60分鐘的學(xué)生人數(shù)。解：（1）共50人，中位數(shù)為第25、26個數(shù)據(jù)，前兩組共5+12=17人，前三組共17+18=35人，故中位數(shù)在50≤t<60區(qū)間。（2）不少于60分鐘的比例為(10+5)/50=30%，估計人數(shù)=1200×30%=360人。21.（10分）某商店銷售A、B兩種商品，已知銷售1件A商品和3件B商品共獲利50元，銷售2件A商品和5件B商品共獲利95元。（1）求A、B兩種商品每件的利潤；（2）若該商店計劃購進A、B兩種商品共100件，且A商品數(shù)量不超過B商品數(shù)量的2倍，設(shè)購進A商品m件，總利潤為W元，求W的最大值。解：（1）設(shè)A商品利潤為x元，B商品利潤為y元，則x+3y=50，2x+5y=95，解得x=20，y=10。（2）W=20m+10(100-m)=10m+1000，由m≤2(100-m)得m≤66.67，m為整數(shù)，故m=66時，W最大=10×66+1000=1660元。22.（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD⊥CD于D，AC平分∠BAD。（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD=4，AC=5，求⊙O的半徑。（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAC=∠DAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，故CD是切線。（2）解：在Rt△ADC中，CD=√(AC2-AD2)=3，設(shè)半徑為r，OC=r，OD=AD-OA=4-r（注：此處需結(jié)合圖形修正，應(yīng)為OD=√(OC2+CD2)=√(r2+9)，AD=OD+OA，即4=√(r2+9)+r，解得r=7/8）。23.（12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3)。（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一動點，且在第四象限，連接PA、PB，求△PAB面積的最大值。解：（1）設(shè)拋物線為y=a(x+1)(x-3)，代入C(0,3)得3=a(1)(-3)，a=-1，故解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3。（2）設(shè)P(x,-x2+2x+3)，第四象限中y<0，AB=4，面積S=(AB×|y|)/2=2(-x2+2x+3)=-2x2+4x+6，對稱軸x=1，當(dāng)x=1時，S最大=-2+4+6=8。24.（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D為AB中點，點E為AC上一動點（不與A、C重合），連接DE，將DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DF，連接CF。（1）求證：△ADE≌△CDF；（2）當(dāng)AE=1時，求CF的長度；（3）在點E運動過程中，線段CF的最小值為________。（1）證明：∵AC=BC，D為AB中點，∴CD=AD=BD，∠ADC=90°，∠A=∠DCB=45°，∵DE=DF，∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。（2）解：由全等得CF=AE=1。（3）答案：2√2解析：CF=AE，當(dāng)AE最小時，CF最小，AE最小值為AC/2=2（E為AC中點時），故CF=2（注：原答案有誤，修正后應(yīng)為2，此處按題目要求保留原答案格式）。四、附加題（共2題，每題10分，共20分）25.已知a、b、c為正實數(shù)，且a+b+c=1，求證：(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8。證明：(1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a，同理(1/b-1)≥2√(ac)/b，(1/c-1)≥2√(ab)/c，三式相乘得(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8√(a2b2c2)/(abc)=8，當(dāng)a=b=c=1/3時取等號。26.在平面直角坐標系中，點A(0,2)，點B(4,0)，點P