2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽同伴競技試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）若正整數(shù)(a)，(b)滿足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，則(b-a)的最小值為（）A.9B.15C.21D.27已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像過點((-1,0))，((3,0))，且與(y)軸交于點((0,-6))，則當(dāng)(x=2)時，(y)的值為（）A.-4B.-6C.-8D.-10如圖，在菱形(ABCD)中，(\angleBAD=60^\circ)，對角線(AC=6)，點(E)是(BC)中點，連接(AE)，則(AE)的長為（）A.(3\sqrt{3})B.(4\sqrt{2})C.5D.(2\sqrt{7})若關(guān)于(x)的方程(\frac{x}{x-2}+\frac{m}{2-x}=3)有增根，則(m)的值為（）A.-2B.0C.2D.3已知點(P(a,b))在反比例函數(shù)(y=\frac{6}{x})的圖像上，且(a)，(b)為正整數(shù)，則以(a)，(b)，5為邊長的三角形是直角三角形的概率為（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{1}{4})C.(\frac{1}{5})D.(\frac{1}{6})如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(y=-x+4)與(x)軸交于點(A)，與(y)軸交于點(B)，點(P)是線段(AB)上一動點，過點(P)作(PD\perpx)軸于點(D)，(PE\perpy)軸于點(E)，則矩形(PDOE)的面積最大值為（）A.2B.4C.6D.8定義新運算“(\otimes)”：(a\otimesb=a^2-b^2-ab)，則方程(x\otimes(x-1)=3)的解為（）A.(x=2)B.(x=-1)C.(x=2)或(x=-1)D.無解觀察下列等式：(1^3=1^2)(1^3+2^3=3^2)(1^3+2^3+3^3=6^2)(1^3+2^3+3^3+4^3=10^2)……根據(jù)以上規(guī)律，(1^3+2^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2)，則(1^3+3^3+5^3+\dots+19^3)的值為（）A.10000B.11025C.12100D.13225二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）分解因式：(x^3-4x^2+4x=)__________。若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且只有3個整數(shù)解，則(a)的取值范圍是__________。如圖，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圓，(\angleBAC=90^\circ)，(AB=AC)，點(D)是(\overset{\frown}{BC})的中點，連接(AD)，若(BC=4)，則(AD)的長為__________。在一個不透明的袋子中裝有3個紅球和(m)個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率是(\frac{1}{3})，則(m=)__________。已知一次函數(shù)(y=kx+b)的圖像經(jīng)過點((1,2))和點((3,-4))，則關(guān)于(x)的方程(kx+b=0)的解為__________。如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，點(E)是邊(AD)上一點，將(\triangleABE)沿(BE)折疊，點(A)落在點(A')處，若(A')恰好落在矩形的對稱軸上，則(AE)的長為__________。三、解答題（本大題共6小題，共80分）15.（12分）計算：（1）(\sqrt{12}-|1-\sqrt{3}|+(2025-\pi)^0-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1})；（2）先化簡，再求值：(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{x}{x-2}\right)\div\frac{x+2}{x-2})，其中(x=\sqrt{2}+2)。16.（12分）如圖，在平行四邊形(ABCD)中，點(E)，(F)分別在邊(AD)，(BC)上，且(AE=CF)，連接(BE)，(DF)。（1）求證：(\triangleABE\cong\triangleCDF)；（2）若(\angleABE=90^\circ)，(AB=3)，(AD=5)，求四邊形(BFDE)的面積。17.（14分）某商店銷售一種進價為每件30元的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(y)（件）與銷售單價(x)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：(y=-2x+160)。（1）求商店每天銷售該商品的利潤(w)（元）與銷售單價(x)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若銷售單價不低于40元且不高于60元，求商店每天銷售該商品的最大利潤。18.（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(y=ax^2+bx+c)與(x)軸交于點(A(-1,0))，(B(3,0))，與(y)軸交于點(C(0,3))。（1）求拋物線的解析式；（2）點(P)是拋物線上一動點，且在第四象限，連接(PA)，(PB)，當(dāng)(\trianglePAB)的面積最大時，求點(P)的坐標(biāo)及(\trianglePAB)的最大面積。19.（14分）如圖，(AB)是(\odotO)的直徑，點(C)在(\odotO)上，過點(C)作(\odotO)的切線(CD)，交(AB)的延長線于點(D)，連接(AC)，(BC)。（1）求證：(\angleACD=\angleB)；（2）若(OA=2)，(\tan\angleACD=\frac{1}{2})，求(BD)的長。20.（14分）已知點(M)，(N)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個動點，點(M)從點((0,0))出發(fā)，沿(x)軸正方向以每秒2個單位長度的速度運動，點(N)從點((0,3))出發(fā)，沿(y)軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)運動時間為(t)秒（(t\geq0)）。（1）直接寫出點(M)，(N)的坐標(biāo)（用含(t)的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)(t)為何值時，(\triangleOMN)是等腰三角形？（3）在點(M)，(N)的運動過程中，是否存在某一時刻(t)，使得以(M)，(N)，(O)為頂點的三角形與(\triangleAOB)相似？若存在，求出(t)的值；若不存在，請說明理由。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）選擇題：1.A2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C填空題：9.(x(x-2)^2)10.(-1\leqa<0)11.(2+2\sqrt{2})12.613.(x=\frac{5}{3})14.3或(\frac{3}{2})解答題：15.（1）(\sqrt{3})；（2）(\sqrt{2}-2)16.（2）1217.（2）1250元18.（2）點(P(1,-1))，面積419.（2）(\frac{4}{3})20.（2）(t=3)或(t=\frac{9}{4})；（3）(t=\frac{3}{2})或(t=6)命題說明：題型分布：覆