2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽圖論基礎(chǔ)試卷一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）設(shè)G是具有n個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖，若G中不存在長(zhǎng)度為3的環(huán)（三角形），則G中最多可以有多少條邊？（）A.n(n-1)/2B.n(n-2)/2C.n(n-3)/2D.n(n-4)/2下列關(guān)于二分圖的描述中，正確的是（）A.二分圖一定包含偶數(shù)個(gè)頂點(diǎn)B.二分圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有邊相連C.二分圖的頂點(diǎn)集可以劃分為兩個(gè)不相交的子集，使得每條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)分別屬于這兩個(gè)子集D.二分圖中不存在奇數(shù)長(zhǎng)度的環(huán)一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的完全圖K?的邊數(shù)是（）A.nB.n-1C.n(n-1)/2D.n2競(jìng)賽圖中，若有5個(gè)頂點(diǎn)，那么邊的數(shù)量是（）A.10B.15C.20D.25下列哪個(gè)圖論概念與圖的連通性無(wú)關(guān)？（）A.割點(diǎn)B.橋C.獨(dú)立集D.強(qiáng)連通分量一個(gè)競(jìng)賽圖T是強(qiáng)連通的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意兩個(gè)頂點(diǎn)u和v（）A.存在從u到v的有向路徑B.存在從v到u的有向路徑C.同時(shí)存在從u到v和從v到u的有向路徑D.不存在環(huán)若一個(gè)圖的頂點(diǎn)度數(shù)序列為（3,3,3,3），則該圖一定是（）A.完全圖B.正則圖C.樹D.歐拉圖下列關(guān)于樹的性質(zhì)中，錯(cuò)誤的是（）A.樹是連通且無(wú)環(huán)的圖B.樹的邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減1C.樹中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間有且僅有一條路徑D.樹一定是二分圖一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖，其出度序列d?(v?),d?(v?),…,d?(v?)滿足（）A.Σd?(v?)=n(n-1)B.Σd?(v?)=n(n-1)/2C.Σd?(v?)=nD.Σd?(v?)=n2若一個(gè)圖既是歐拉圖又是哈密頓圖，則它（）A.一定是完全圖B.頂點(diǎn)數(shù)等于邊數(shù)C.每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)為偶數(shù)且存在經(jīng)過(guò)所有頂點(diǎn)的回路D.不存在割點(diǎn)二、填空題（每題4分，共20分）一個(gè)具有10個(gè)頂點(diǎn)的樹中，邊的數(shù)量是__________。若二分圖的兩個(gè)頂點(diǎn)子集分別有m和n個(gè)頂點(diǎn)，則該二分圖最多有__________條邊。競(jìng)賽圖中，若一個(gè)頂點(diǎn)的出度為n-1（n為頂點(diǎn)數(shù)），則該頂點(diǎn)被稱為__________。無(wú)向圖G是連通圖的充分必要條件是：G的頂點(diǎn)集不能劃分為兩個(gè)非空子集U和V，使得__________。一個(gè)圖的鄰接矩陣中，第i行元素之和等于該圖中第i個(gè)頂點(diǎn)的__________。三、解答題（共50分）1.（10分）已知一個(gè)簡(jiǎn)單圖G有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)均為3，且G中不存在三角形。（1）求G的邊數(shù)；（2）證明G中至少存在一個(gè)長(zhǎng)度為4的環(huán)。解答：（1）由握手定理，所有頂點(diǎn)的度數(shù)之和等于邊數(shù)的2倍。設(shè)邊數(shù)為E，則8×3=2E，解得E=12。（2）假設(shè)G中不存在長(zhǎng)度為4的環(huán)，即任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離至少為3。任取一個(gè)頂點(diǎn)v，其鄰接點(diǎn)記為u?,u?,u?（共3個(gè)）。由于G中無(wú)三角形，u?,u?,u?之間沒有邊相連。每個(gè)u?的度數(shù)為3，除了與v相連外，還需與其他頂點(diǎn)相連。G共有8個(gè)頂點(diǎn)，除去v和u?,u?,u?，剩余4個(gè)頂點(diǎn)，記為w?,w?,w?,w?。每個(gè)u?需與這4個(gè)頂點(diǎn)中的2個(gè)相連（因度數(shù)為3），且任意兩個(gè)u?不能共享同一個(gè)w?（否則會(huì)形成長(zhǎng)度為4的環(huán)u?-w?-u?-v-u?）。但4個(gè)w?最多能提供4×2=8個(gè)連接，而3個(gè)u?共需3×2=6個(gè)連接，6≤8，看似可行。然而，每個(gè)w?的度數(shù)最多為3，若每個(gè)w?被2個(gè)u?連接，則w?的度數(shù)至少為2，剩余度數(shù)可連接其他w?，但此時(shí)w?之間的邊會(huì)形成環(huán)。例如，w?與w?相連，則路徑u?-w?-w?-u?-v-u?構(gòu)成長(zhǎng)度為5的環(huán)，但題目?jī)H要求證明存在長(zhǎng)度為4的環(huán)，矛盾。因此假設(shè)不成立，G中至少存在一個(gè)長(zhǎng)度為4的環(huán)。2.（12分）某學(xué)校舉辦籃球聯(lián)賽，共有6支球隊(duì)參賽。每?jī)芍蜿?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局。（1）證明：該聯(lián)賽的結(jié)果可以表示為一個(gè)6頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖T；（2）若T是強(qiáng)連通的，證明T中存在一條哈密頓回路。解答：（1）將6支球隊(duì)視為6個(gè)頂點(diǎn)，若球隊(duì)A擊敗球隊(duì)B，則在頂點(diǎn)A和B之間畫一條有向邊A→B。由于每?jī)芍蜿?duì)之間僅比賽一場(chǎng)，該圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間有且僅有一條有向邊，符合競(jìng)賽圖的定義，故聯(lián)賽結(jié)果可表示為6頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖T。（2）強(qiáng)連通競(jìng)賽圖的性質(zhì)：對(duì)于n≥3的強(qiáng)連通競(jìng)賽圖，必存在哈密頓回路。證明（數(shù)學(xué)歸納法）：當(dāng)n=3時(shí)，強(qiáng)連通競(jìng)賽圖是一個(gè)有向三角形，顯然存在哈密頓回路。假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)結(jié)論成立，考慮n=k+1的強(qiáng)連通競(jìng)賽圖T。任取頂點(diǎn)v，T-v是一個(gè)競(jìng)賽圖，可能強(qiáng)連通或非強(qiáng)連通。若T-v強(qiáng)連通，由歸納假設(shè)存在哈密頓回路，加入v后可構(gòu)造新的回路；若T-v非強(qiáng)連通，可劃分為強(qiáng)連通分量C?,C?,…,C?（m≥2），且存在從C?到C?，C?到C?，…，C?到C?的邊。由于T強(qiáng)連通，v必與每個(gè)C?有雙向邊，從而可插入v到回路中，形成哈密頓回路。綜上，T中存在哈密頓回路。3.（14分）在一個(gè)8×8的國(guó)際象棋棋盤上，每個(gè)方格代表一個(gè)頂點(diǎn)，相鄰方格（上下左右）之間有一條邊，形成一個(gè)網(wǎng)格圖G。（1）求G的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)；（2）證明G是二分圖；（3）求G中最長(zhǎng)的哈密頓路徑的長(zhǎng)度。解答：（1）棋盤有8×8=64個(gè)方格，故頂點(diǎn)數(shù)為64。每個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)（非邊界）有4條邊，邊界頂點(diǎn)有3條或2條邊。但網(wǎng)格圖中，橫向邊每行有7條，共8行，共8×7=56條；縱向邊每列有7條，共8列，共8×7=56條?？傔厰?shù)為56+56=112。（2）將棋盤方格按黑白相間染色，每個(gè)黑格周圍都是白格，每個(gè)白格周圍都是黑格。將黑格作為頂點(diǎn)集U，白格作為頂點(diǎn)集V，則G的所有邊均連接U和V中的頂點(diǎn)，故G是二分圖。（3）網(wǎng)格圖G是連通圖，且頂點(diǎn)數(shù)為64，哈密頓路徑需經(jīng)過(guò)所有頂點(diǎn)，長(zhǎng)度為63（邊數(shù)）。由于G是二分圖，U和V的頂點(diǎn)數(shù)分別為32和32，哈密頓路徑的兩個(gè)端點(diǎn)必分別屬于U和V，因此最長(zhǎng)哈密頓路徑的長(zhǎng)度為63。4.（14分）設(shè)G是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖，定義G的補(bǔ)圖為?，其中?的頂點(diǎn)集與G相同，且兩個(gè)頂點(diǎn)在?中相鄰當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)贕中不相鄰。（1）若G是完全圖K?，求?的邊數(shù)；（2）證明：對(duì)于任意簡(jiǎn)單圖G，G和?中至少有一個(gè)是連通圖；（3）若n≥5，且G和?都是樹，求n的值。解答：（1）完全圖K?的邊數(shù)為n(n-1)/2，補(bǔ)圖?中任意兩個(gè)頂點(diǎn)不相鄰，故邊數(shù)為0。（2）假設(shè)G和?都是非連通圖。設(shè)G的連通分量為G?,G?,…,G?（k≥2），?的連通分量為H?,H?,…,H?（m≥2）。取G?中的頂點(diǎn)u和G?中的頂點(diǎn)v，在G中u和v不相鄰，故在?中u和v相鄰，因此u和v屬于?的同一個(gè)連通分量。同理，G的所有連通分量中的頂點(diǎn)在?中必屬于同一個(gè)連通分量，與?非連通矛盾。故G和?中至少有一個(gè)連通。（3）樹的邊數(shù)為n-1，故G和?的邊數(shù)之和為(n-1)+(n-1)=2n-2。另一方面，G和?的邊數(shù)之和等于完全圖K?的邊數(shù)n(n-1)/2，因此n(n-1)/2=2n-2，即n(n-1)=4n-4，整理得n2-5n+4=0，解得n=1或n=4。但n≥5，故無(wú)解。因此不存在滿足條件的n≥5。四、附加題（20分）某城市有10個(gè)小區(qū)，用10個(gè)頂點(diǎn)表示，小區(qū)之間的道路用邊表示。已知該城市的道路圖G滿足：任意兩個(gè)小區(qū)之間至多有一條道路；不存在三個(gè)小區(qū)兩兩之間都有道路（無(wú)三角形）；從任意一個(gè)小區(qū)出發(fā)，都能到達(dá)其他所有小區(qū)（連通圖）。求G中最多可能有多少條道路？并證明你的結(jié)論。解答：由題意，G是連通、無(wú)